第三章静电场中的电介质习题及答案

1、第三章 静电场中的电介质、判断题1、X2、V3、X4、X当同一电容器内部充满同一种均匀电介质后，介质电容器的电容为真空电容器的对有极分子组成的介质，它的介电常数将随温度而改变。在均匀介质中一定没有体分布的极化电荷。均匀介质的极化与均匀极化的介质是等效的。（内有自由电荷时，有体分布）1r倍。5、V6、在无限大电介质中一定有自由电何存在。如果一平行板电容器始终连在电源两端，则充满均匀电介质后的介质中的场强与真空中 场强相等。V7、V在均匀电介质中,如果没有体分布的自由电荷，就一定没有体分布的极化电荷。在均匀电介质中,只有PxP为恒矢量时，才没有体分布的极化电荷。PxPyPzp =恒矢量X9、V电介

2、质可以带上自由电荷，但导体不能带上极化电荷。10、电位移矢量 D仅决定于自由电荷。X11、电位移线仅从正自由电荷发出，终止于负自由电荷。 V12、在无自由电荷的两种介质交界面上， 荷产生的电场， E p为极化电荷产生的电场）V13、 在两种介质的交界面上，当界面上无面分布的自由电荷时，电位移矢量的法向分量是连 续的。V14、在两种介质的交界面上，电场强度的法向分量是连续的。X15、介质存在时的静电能等于在没有介质的情况下， 中原有位置的过程中外力作的功。X16、当均匀电介质充满电场存在的整个空间时，Ef线连续,Ep线不连续。（其中，Ef为自由电把自由电荷和极化电荷从无穷远搬到场介质中的场强为自

3、由电荷单独产生的场强的r分之一。V二、选择题1. 一平行板真空电容器，充电到一定电压后与电源切断，把相对介质常数为 介质充满电容器。则下列说法中不正确的是：r的均匀电(A)介质中的场强为真空中场强的r倍。(B)介质中的场强为自由电荷单独产生的场强的r倍。D2.A3.(C)(D)介质中的场强为原来场强的 / 介质中的场强等于真空中的场强。r倍。如果电容器两极间的电势差保持不变，这个电容器在电介质存在时所储存的自由电荷与没有电介质（即真空）时所储存的电荷相比（A）增多 （B）减少（C）相同 （D ）不能比较在图中，A是电量qo的点电荷，B是一小块均匀的电介质, 下列说法中不正确的是：S1、S2和S

4、3都是封闭曲面,0Eds0 D ds(A)S3S1DdsD D ds 口 D ds(B)S1S2S3DEfds百 Ef ds口 Ef(C)S1S2S3(D)Ea,Ef，Eb E f， Ec E fS2SS3dsD4.在均匀极化的电介质中，挖出一半径为r，高度为h的圆柱形空腔，圆柱的轴平行于极化强度P底面与P垂直，当h?r时，则空腔中心Eo和Do与介质中E和D的关系为:(A)EorE(B)(C)EoDo0 EoDo(A)Eo（rDoEo(B)0(C)Do0 Eo(D)DorD（D）C5.在均匀极化的，挖出一半径为r，高度为h的圆柱形空腔，圆柱的轴平行于极化强度的关系为:P底面与P垂直，当h?r时

5、，则空腔中心0和Do与介质中E和D1） EhJ2r厂P1FrE6. 一个介质球其内半径为 R，外半径为R+a，在球心有一电量为q。的点电荷，对于Rr+ P十一 +IItXE E Ev (X2i?f (t)取 则有f (0f (0所以r2 (xR2(R2E旦f2 0上(02 0tx -2 i)22tx 2Jr2 (x i)2V2(0) f(0)ti?_R2t(R2PR2t2 0(R2电位移矢量为x2)P (1)i?2( R2 x2)2p-n结中，n型内有不受晶格束缚的自由电子、P型区内则有相当于正电荷的空穴。由于两区交界处自由电子和空穴密度不同，电子向P区扩散，空穴向n区扩散，在D 0E P4、

6、半导体器件的结的两边留下杂质离子，因而产生电场，阻止电荷继续扩散，当扩散作用与电场的作用相平衡时，电荷及电场的分布达到稳定状态，而在结内形成了一个偶电区(如图如示)挡层。现设半导体材料的相对介电常数为，结外电荷体密度x 0，结内电荷的体分布为 X ekx -ax a,线性缓慢变结 式中e为电子电量，k为常数，试求p-n结 内电场强度和电势的分布，并画出x、Ex和 X随x变化的曲线。解：建立坐标轴如图 4-1所示，在结内距原点 X处取宽度为dx的无限大平面，该平面电荷 密度为,称为阻x dx该带电平面在结内 P点产生的场强为X、dxdE 2 0 rOB区电荷在2 0 rP点产生的场强为EbodE

7、aekxdx、+ +-B+7Aa+ +a+-+-广fdxn区P区图4-1ek2 0 rx12 0 r0寸 X2 |aeka24 0 r所以eka i?r图4-2OP区电荷在P点产生的场强为ekx24 0 rxekx dx、2 02 0 r所以Eopekx2 ?4 0 rPA区电荷在P点产生的场强为EpA1 a 、 ekx dx2X2 0 rek / 2 -(arx2)所以EpAek4 0 r由叠加原理得(a2x2)i?图4-4IIIP点的总场强为eka2ekx2eka2Ep 内E BOekEOPE PA 4 0 rx2)i? ( a x2 (a22 0 r场强随x变化曲线如图4-3所示 由高斯

8、定理知，结外的场强为a)EP外0当 a x a取x 0,在结内任意点P的电势为0P内Ep内dxx0 ek 2ax 920 rx2 dxek13 03x |x壬3a26 0 ra时,电势为0 eka2；x2 dxek2 0 ra时电势为1 3-X3l0eka30 _eka27a2X2dxek1-x34-4所示,|0aek2 0 r电势随X变化曲线如图5、半导体器件的p-n结中，n型内有不受晶格束缚的自由电子、 的空穴。由于两区交界处自由电子和空穴密度不同，电子向 结的两边留下杂质离子，因而产生电场，阻止电荷继续扩散，3 0 r 结内电荷体密度随 x变化曲线如图4-2所示。P型区内则有相当于正电荷

9、 P区扩散，空穴向n区扩散，在 当扩散作用与电场的作用相平5-1所示），称衡时，电荷及电场的分布达到稳定状态，而在结内形成了一个偶电区（如图 为阻挡层。现设半导体材料的相对介电常数为，如果电荷的体分布为n 区:XNDe（突变结）p区式中Nd,Na是常数，e为电子数且WeNaXpNdXn，其中Xp和Xn各为P区和n区的厚度, X、Ex和 X随X变化的曲线。试求结内电场强度和电势的分布并画出解：建立坐标轴，如图 5-1所示，在P区内距原点x处找一个考察点 P, P点的场强由三部 分即BO段、0P段和PA组成的，其电荷面密度为段体分布电荷产生的。每一段即可看成是由许多无限大带电平面dxn P + +

10、 十十+ + +-P十+-1 -+ +1XX+Xi_一1AB1? P +0 A1h1+ +一 一1+ +一 一h4h*1*Xn x p一 XHbttXn图5-1xP图5-2图5-3dE由EboEOPdx2 0得N pe Xn2 0ge0 dxpexn2 02 0图5-4EpAXpdx驴XP X)2 0X0dx2 0X所以，p点的总场强为EpNpexnNaGNaGXp x0 02 0 2NaG/(xp0x)hh.E、/: *fe图5-5取原点电势为零,0pE p dxx由电势定义得N Aex S、 (2x P X)2 0P,如图5-2所示在n区内取一点同理得各段在P点的场强为LNAeEoa亍 0

11、 dx 22 0 2 0Eop2 0NAexPNoexnEpB所以,EpN De ,-(Xn x)2 0P点的总场强为NdG/、(Xn x)0同理可得p点的电势为NDex2 0(2xn x)P1fP1?Pr21 Q画出 x、 x和Ex随x变化曲线如图5-3、5-4、5-5 所示6、平行板电容器的极板面积为 S,间距为d，其间充满线性的、各向同性的电介质。介质 的相对介电常数 r在一极板处为 rl,线性地增加到另一极板处为 r2。略去边缘效应。(1) 求这电容器的电容C;(2) 当两极板上的电荷分别为Q和-Q时，求介质内极化电荷体密度和表面上极化电荷的 面密度。解：(1)建立坐标轴，如图所示_r

12、1设r kxII则r2 kd由此得r1】dxr1如图所示，取距坐标原点为x ,厚k亠 d因此板间任一点的介电常数为_L2r1 xr,入r1d将平行板电容器的电容视为无限多个平行板电容元组成, 度为dx 一个电容元，该电容元的电容为dC 4 dx 其倒数为/ r2 r1、0(-xr1)Sddx.z r2 r1d(xdr1)dCz r2 r10S(-Xr1)0(r2r1)Sr2 r1x dr1积分得1dln(0( r2 r1)SdIn/ r10 ( r2 r1) Sr2dr1)所以0( r2 r1)Sd In(2)作一圆柱形高斯面 量为r.QDSS,如图中虚线所示,由介质中的高斯定理SDdSQ，得

13、电位移矢由E与D的关系和 为根据电位移矢量定义式oEp得，极化强度QP D 0E S极化电荷体密度为Q_S xr2 r1dr2r1r1Qdr2r1r 2 r12x d r1正极板处的极化强度为QSQr1 S板表面上的极化电荷面密度为P D 0E1r1 1Qr1 S负极板处的极化强度为P2D 0 E2r1 1 Qr1 Sr2S板表面上的极化电荷面密度为P2P2r2 1 Qr2 S半径为a的导体球被内半径为 b的同心导体球壳所包围，两球间充满各向同性的电介 质，在离球心为r处介质的相对介电常数r A r /r （ A为常数）。外球壳接地，试求：（1）在电介质中离球心为 r处的电势；（2）介质表面上

14、的极化电荷面密度和介质中任一点处极化电荷的体密度；（3）介质中极化电荷的总量。7、如果内球带电荷Q ,解：（1）根据对称性，以球心为心，r为半径在介质内作球面（高斯面）定理得S，由D的高斯口 DS所以dS Dr2 QbaQQ4 r2DQ0 r 40 rr因球壳的电势为零，故有b r r r E dr rdr0 A r rQ4 oAdrQ4 oAinbr13r AQ4（2）半径为a球面上的极化强度为C f L QQPaDa0Ea 2 一4 a2 4 该表面上极化电荷面密度为P QAPa P24 a A ab rin0A b A rQ4 a2QA4 a2 A a半径为b的球面上的极化强度为C f

15、L Q QPb Db oEb24 b24 Abb该表面上极化电荷面密度为QAQ4 b2QA4 b2 A bPb P24 b A b半径为r球面上的极化强度为P Dr oEr7%4 r介质内极化电荷体密度为QA4 A r r21At r2Prr r1r sinsin P r sin12r2QAr4QA2 24 r A r(3)介质中极化电荷总量包括介质表面上的极化电荷和介质中极化电荷，即2QPPa 4 aPb 4b2b r 4 r2drQA4 a2 A a 4aQA4 a2 A b 4 b2b QAa 4 r2 A r2 4 r2drQA QAA a A bQA QA 0 A b A a8、为了

16、使金属球的电势升高而又不使其周围空气击穿，可以在金属球表面上均匀地涂上一 层石蜡。设球的半径为1cm，空气的击穿场强为2.5 106V /m，石蜡的击穿场强为1.0 107V/m，其相对介电常数为2.0,问为使球的电势升到最高，石蜡的厚度应为多少?其中球的电势之值是多少？ 解：设金属球带电量为Q- 24 n 0汀EiE24 nofQ,由对称性和介质中高斯定理得介质内外的场强为rir 2EiQ2-由式和式联立得4 n 0frr12 E1E24 n 0r24 n 0E2訂12巳E2r1, r r2代入上两式，得介质球壳内外表面的最大场强为Qr2riri将已知数值代入式得r22 1 cm由电势与场强

17、积分关系得r2E1 drE2drrir2r2QQmaxr2 厂严Q 1丄4 0 r r1r24 0 r2将Q 40rrE1代入式得r122rr22r1E1r 1r2将已知数据代入式得1 10 141 10171 1022 122 10 2105V9、如图所示的圆柱形电容器，内圆柱的半径为R1,与它同轴的外圆筒的内半径为R2,长为L、其间充满两层同轴的圆筒形的均匀电介质，分界面的半径为R,它们的相对介电常数分别为r1和 r2，设两导体圆筒之间的电势差12 U略去边缘效应，求：介质内的电场强度。解：设充电后，单位长度的电量为，由对称性和介质中的高斯定理得卩 dS D 2 rL LD 2 r由D与E

18、的关系得两介质内的场强分别为E120 r1r E2R220 r2r 圆筒之间的电势差为R r rUE1 dlRR2 rR E2rdl20 r1R1drR1rIn lnR20 r1R120 r2 R2 0I RIn R1R2 1-drR rr2 rr1r2由式得导体圆筒电荷的线密度为20UIn旦InR2R1Rr1r2 将式分别代入式和式，得介质内的场强分别为EiU,RIn R1r1r1rr21U用丄InE丄InRr1R|r2 RU1 , R _1 , R2 In Inr1 R1 r2 R10、为了提高输电电缆的工作电压，在电缆中常常放几种电介质，以减小内、外导体间电场强度变化，这叫分段绝缘。图中

19、所示是这种电缆的剖面图。若相对介电常数r1r2 r3的三种电介质作为绝缘物时，设内部导体每单位长度上带电量为。试求：（1 ）各层内的电场强度；（2）各层电场强度极大值；（3）在什么条件下，才能使介质内的电场强度保持为常 数值？ 解：（1 ）根据对称性和高斯定理，求得电位移矢量为E2r2r%DdS D 2 rL根据D 0 rE 知,介质中离轴心分别为r处的电场强度为Ei20 r1 rE220 r2 rE30 r3rr分别等于a、b、寸,各层电场强度为极大值，其值为E1max20 r1aE2max20 r2bE3max(3)当12 0E1 E2r3CE3时，有1ririr2r2r3r3r11r2r

20、2所以11、平行板电容器的两极板相距为rr常数时，E 常数极板面积为 S,两极板之间填满电介质，绝对介电常a，/a，x轴的方向与平板垂直，x轴的原点在一块极板内表面数按下列规律变化0 x a上，若已知两极板间电势差为 U，略去边缘效应，求电容及束缚电荷分布。解：在距原点为x处取一厚度为dx的平行板电容器，其元电容为o x a Sadx其倒数为丄dC积分得1dCadx In x oSiaa 2a In o S a所以oSaI n2极板上的自由电荷oUqf CU aIn2由如图虚线所示作高斯面,S板内的场强为aln 2oUal n2板内的极化强度为oUD oE aIn2po在x由高斯定理得板内的电

21、位移矢量为oUx a aIn2aoUx a In 2o介质表面上，束缚电荷面密度为P 0a介质表面上束缚电荷面密度为oUP 2In 2a 介质中束缚电荷体密度为PaoU a x a axx In 2 a2 x a 212、一空心的电介质球，其内半径为oUIn 2In 2oU2x a In 2Ri，外半径为R2,oUxIn 2 a x a所带的总电荷量为Q,这些电荷均匀分布于R1和R2之间的电介质球壳内。求空间各处的电场强度。 介质的相对介电常数为 解：由对称性和咼斯定理得当 rR1 时 E=o当R1 R R2时D dS D 4 r2RiR2所以0 rR2时Q4 r 2Q3 R R3Q r3 R

22、3R； R3 r32Q r3 r373z4 0 r R；R3 r2Q4 0 r R； Rl3R13所以Q413、今有A、B、C三导体板互相平行地放置，AB、BC之间的距离均为 d.BC之间充满相 对介电常数为 r的介质，AB之间为真空，今使 B板带+Q,试求各导体板上的电荷分布。 忽略边缘效应。C板各组成电容器，其电容分别为C0 rSC2 F解：A、B板和B、CC1d取垂直B板的圆柱形高斯面，如图所示，根据高斯定理Di S D2S Q由D的法线连续性 Di=D2=D得QD 2S0 D dS Q/曰S得5再根据DQ2 0SEirE得Q2 0 rS:-112E2由此可得AB之间和Qd2 0SUiE

23、idBC之间的电势差为Qd2 0U2E2drSQiB极板所带电量为0 S Qdd 2 0SUiCiQ2C极板所带电量为0 r S Qd d 20 rSU2C2由电荷守恒定律知A、C板的内侧带-Q/2电荷，外侧带Q/2电荷。B板两侧各带Q/2电荷。电场强度为14、在一块均匀的瓷质大平板表面处的空气中，是指向瓷板且与它的表面法线成45角。设瓷板的相对介电常数220V/cm，其方向E的大小为r 6-0，求：（1）瓷板中的场强；（2）瓷板表面上极化电荷面密度。解：均匀极介板内无极化电荷，设表面上极化电荷的面密度为 在板内，极化电荷产生的电场强度为rEpP，如图13-1所示。0式中?为表面外法线方向上的

24、单位矢量 根据场强叠加原理，板内的电场强度为rrrEEpE0以上三者关系如图13-2所示，由图可知E jEp E； 2EP E0cos(18tf 45)极化电荷电密度为r 1)E0( r 1)(E p E。)n?PP0( r1)(（r整理上式得1) P-E0cos00(r 1)COS1) E o cosr将已知数据代入式得128.85 10(6“2/200 200 10 V 6Zm1.04 10 7%2cos450rEp(8；510(2002 8.J138.1 106_200 106_332.3 1061.83200 21o4vm1215、在相对介电常数为r的煤油中，离煤油表面深度煤油看作为无

25、限大均匀介质，h处，有一带正电的点电荷:求（1）在煤油表面上，该电荷的正上方Aq,如将 点处的极化电荷面密度 A ； （ 2）在煤油表面与点电荷相距 r处的B点的极化电荷面密度油表面极化电荷的总量 Q。解：（1 ）在点电荷q的周围将出现负的极化电荷，煤油表面出现正的极化电荷。煤油表面A点，极化电荷面密度最大，随着离A的距离增加，极化电荷面密度迅速减少,A点附近的液面两边的场强法向分量，可用叠加原理求得q_0 rh2B ；（ 3）煤（如图）在E空n在空气中E油n在煤油中q0 rh2由边界条件D空nD油n，即0E空n0 r E 油nq40 rh2整理上式得r 1q40 rh22）同理,在空气中q2

26、r 12 rhB点附近的液面两边场强法向分量为q h20 rr r在煤油中q h20 rr r由边界条件D 油n，得q. 240 rr整理上式得r 1B 1h2rr rqh2 rr33）以A点为圆心，在液面上距1（x? h）2，小圆环面积r 1 _ qh1 2dQds所以dsA为x处选一小圆环，设小圆环边缘离q的间距为r。显ds 23 2 xdxr 厶 rrqhxdxrh2）r（X2qhxdxr 1r （ x2 h2）21r亍16、两个相同的空气电容器，电容都是xdx，小圆环上极化电荷为900uF,分别充电到900V电压后切断电源，若把一个电容器浸入煤油中，（煤油的介电常数 求一电容器浸入煤油

27、过程中能量的损失; 求两电容器并联后的电压； 求并联过程中能量的损失。问上述损失的能量到那里去了？r=2.0），再将两电容并联。（1）（2）（3）（4）解：（1 ）电容器极板上的电量为Q QU 900 10 6 90081 10 2C电容器在空气中的储蓄的能量为1 812 10 4 6182.3J22 900 10 6Wo1Q2C0能量损失为WW（2 ）并联后总电容为182.2JC C0并联后总电量为Q总2Q所以并联后电压为Q总 U C(3 )并联前的能量:rC。(12Qr)Cor1) C。2 81 10 2 6600V(2 1) 900 101 Q21 Q22 C02 rC0CU2 1(122-(12)