林寿数学史世纪的代数

1、第八讲第八讲 1919世纪的代数世纪的代数 代数学的新生代数学的新生 代数代数 方程与根方程与根 数系扩张数系扩张 行列式与矩阵行列式与矩阵 布尔代数布尔代数 代数数论代数数论 突破传统突破传统 高斯(联邦德国, 1955) 1799年高斯(德, 1777-1855)代数基本定代数基本定 理理 )r-(x)r-)(xr-a(xP(x) n21 代数方程根式解代数方程根式解 v高斯，数学家、物理学家和天文学家高斯，数学家、物理学家和天文学家 v17951795年进入哥廷根大学年进入哥廷根大学 v正正1717边形尺规作图法（边形尺规作图法（17961796） v数论、代数、非欧几何、复变函数和数论

2、、代数、非欧几何、复变函数和 微分几何等方面做出了开创性的贡献微分几何等方面做出了开创性的贡献 v近代数学奠基者之一，近代数学奠基者之一，“数学王子数学王子” v“宁可少些，但要好些。宁可少些，但要好些。” 高斯和正十七边形 (民主德国, 1977) 代数方程根式解代数方程根式解 代数方程根式解代数方程根式解 高斯墓 n 1824年阿贝尔(挪, 1802-1829)定理 拉格朗日 n 1770年拉格朗日(法, 1736-1813)关于代数方程解的思考：预解式 代数方程根式解代数方程根式解 n 1799年鲁菲尼(意, 1765-1822)定理 鲁菲尼 阿贝尔 伽罗瓦 n 18291831年伽罗瓦

3、(法, 1811-1832)理论 代数方程根式解代数方程根式解 阿贝尔 v阿贝尔（挪，18021829）贡献：方程 论、无穷级数和椭圆函数论 v16岁开始阅读牛顿、欧拉、拉格朗日、 高斯的著作 v1821年，阿贝尔进入奥斯陆大学，1824 年，证明了一般五次方程根式解的不可 能性 v1825.5到柏林，五次方程论文发表于克 雷勒杂志、完成了椭圆函数的论文 v1826.7到巴黎，论文提交法国科学院 v1827.5回到奥斯陆 v1841年椭圆函数论论文发表 1908年维格兰(挪, 1869- 1943)雕塑的阿贝尔塑像 数学奖 阿贝尔奖(2003- ) 1898年挪威数学家李(1842-1899)

4、提议设 立阿贝尔奖。 挪威政府拨款2亿挪威克郎(约合人民币 2.73亿元)设立阿贝尔纪念基金，在阿贝尔 诞辰200周年之际设立阿贝尔奖, 从2003年 起每年颁发一次。 阿贝尔奖颁发给那些在数学领域做出杰 出贡献的数学家，奖金额为600万挪威克朗。 阿贝尔的塑 像 (挪威, 1983) 数学奖 阿贝尔奖(2003- ) 20032003年塞尔年塞尔( (法法, , 1926- )1926- )关于代数拓关于代数拓 扑、代数几何获奖扑、代数几何获奖 数学奖 阿贝尔奖(2003- ) 20032003年塞尔年塞尔( (法法, 1926- ), 1926- )关于代数拓扑、代数几何获奖关于代数拓扑、

5、代数几何获奖 伽罗瓦(法,1811-1832) (法国, 1984) 代数方程根式解代数方程根式解 v伽罗瓦贡献：群论，宣告方程根式解这 一经历了300年问题的彻底解决，及尺 规作图中“三等分任意角”问题和“倍 立方”问题不可能 v在中学读书时，已经熟悉欧拉、高斯、 雅可比（德，18041851年）的著作 v1829年进入巴黎高等师范学校 v18291831年提交法国科学院的数学 奖论文，分别交柯西、傅里叶、泊松 v1831年1月被校方开除，两次入狱，死 于为“爱情与荣誉”的决斗 v1846年论文发表 伽罗瓦的遗书 我请求我的爱国同胞们，我的朋友们，不要指责我不是为我的国家而死。 我是作为一个

6、不名誉的风骚女人和她的两个受骗者的牺牲品而死的。我将在可 耻的诽谤中结束我的生命。噢！为什么要为这么微不足道的，这么可鄙的事去死呢？ 我恳求苍天为我作证，只有武力和强迫才使我在我曾想方设法避开的挑衅中倒下。 我亲爱的朋友，我已经得到分析学方面的一些新发现。 在我一生中，我常常敢于预言当时我还不十分有把握的一些命题。但是我在这 里写下的这一切已经清清楚楚地在我的脑海里一年多了，我不愿意使人怀疑我宣布 了自己未完全证明的定理。 请公开请求雅可比或高斯就这些定理的重要性（不是就定理的正确与否）发表 他们的看法。然后，我希望有人会发现将这些整理清楚会是很有益处的一件事。 热烈地拥抱你。 伽罗瓦 代数方

7、程根式解代数方程根式解 有限置换群 1849-1854年凯莱(英, 1821-1895)引入抽象群 伽罗瓦域 1893年韦伯(德, 1842-1913)抽象域 抽象化尝试 )log- n 1 3 1 2 1 (1 lim n n n 1811 1811，18311831年高斯年高斯( (德德, 1777-1855), 1777-1855)讨论了复数几何表示讨论了复数几何表示 n 1797 1797年威塞尔年威塞尔( (挪挪, 1745-1818), 1745-1818)、18061806年阿甘德年阿甘德 ( (瑞瑞, 1768-1822), 1768-1822)讨论了复数几何表示讨论了复数几何

8、表示 数系扩张数系扩张 n 17471747年达朗贝尔年达朗贝尔( (法法, 1717-1783), 1717-1783)断言复数表示为断言复数表示为a+iba+ib， 17771777年欧拉年欧拉( (瑞瑞, 1701-1783), 1701-1783)支持用支持用i i表示虚数单位表示虚数单位 n 1737 1737年年欧拉欧拉( (瑞瑞, 1701-1783), 1701-1783)证明证明了了e e是无理数是无理数 n 17611761年兰伯特年兰伯特( (法法, 1728-1777), 1728-1777)证明了证明了 是无理数是无理数 n 18441844年刘维尔年刘维尔( (法法

9、, 1809-1882), 1809-1882)第一次显示了超越数的存在第一次显示了超越数的存在 n 18731873年和年和18821882年埃尔米特年埃尔米特( (法法, 1822-1901), 1822-1901)和林德曼和林德曼( (德德, 1852-1939), 1852-1939) 分别证明了分别证明了e e和和 是超越数，是超越数，“化圆为方化圆为方”问题的不可能问题的不可能 n 欧拉常数欧拉常数 是否是无理数是否是无理数? ? 实数 复数 1837年哈密顿(爱尔兰, 1805-1865)表示复数为有序实数对 1843年哈密顿(爱尔兰, 1805-1865)定义了四元数 数系扩张

10、数系扩张 1844年格拉斯曼(德, 1809-1877)引进了n个分量的超复数 dkcjbia -1kji 222 j-ikki i,-kjjk k,-jiij 1847年凯莱(英, 1821-1895)定义了八元数 麦克斯韦(英, 1831-1879)创造了向量分析 哈密顿的四元数 (爱尔兰, 1983) 数系扩张数系扩张 v哈密顿（爱尔兰，哈密顿（爱尔兰，1805180518651865年年 ），光），光 学、力学和代数学、力学和代数 v自幼聪明，具有非凡的语言能力，自幼聪明，具有非凡的语言能力，“神神 童童” v18201820年已阅读牛顿年已阅读牛顿自然哲学的数学原自然哲学的数学原 理

11、理，拉普拉斯的，拉普拉斯的天体力学天体力学，18231823 年进入剑桥大学三一学院年进入剑桥大学三一学院 v18341834年发表论文年发表论文“一种动力学的普遍方一种动力学的普遍方 法法” v18431843年年1010月月1616日定义了四元数日定义了四元数“思思 想电路接通之火花想电路接通之火花” v1837183718451845年任爱尔兰皇家科学院院长年任爱尔兰皇家科学院院长 v英国声誉仅次于牛顿的数学家，物理学英国声誉仅次于牛顿的数学家，物理学 家家 1683年关孝和(日, 1642-1708，“算圣”)完成解伏题之法提出 行列式理论和代数方程变换理论 1750年克莱姆(瑞, 1

12、704-1752)法则 1772年范德蒙(法, 1735-1796)、拉普拉斯(法, 1749-1827)行列式 展开定理 1841年凯莱(英, 1821-1895)行列式记号 1852年西尔维斯特(英, 1814-1897)惯性定理 1854年埃尔米特(法, 1822-1910)使用了正交矩阵 1858年凯莱证明了凯莱-哈密顿(爱尔兰, 1805-1865)定理 1870年若尔当(法, 1838-1921)建立了若尔当标准形 1879年弗罗贝尼斯(德, 1849-1917)引入矩阵的秩 行列式与矩阵行列式与矩阵 凯莱 西尔维斯特 埃尔米特 弗罗贝尼斯 若尔当 行列式与矩阵行列式与矩阵 克莱姆

13、 拉普拉斯 关孝和 布尔代数布尔代数 来源于对数学和逻辑基础的探讨, 莱布尼茨(德, 1646-1716)提出思 维演算和逻辑的数学化思想 德 摩根(英, 1806-1871)1847年形式逻辑首创关系逻辑研究 德 摩根 布 尔 施罗德 施罗德(德, 1841-1902)逻辑代数讲义(1890-1905)把布尔的逻 辑代数推向顶峰 布尔(英, 1815-1864)用代数方法建立了逻辑代数, 1847年和1854年 布尔出版逻辑的数学分析和思维规律研究 布尔代数布尔代数 全称肯定命题 所有 X 是 Y x(1-y)=0 全称否定命题 所有 X 不是 Y xy=0 特称肯定命题 有些 X 是 Y

14、xy0 特称否定命题 有些 X 不是 Y x(1-y)0 布尔布尔( (英英, 1815-1864), 1815-1864)，数学、逻辑学家，数学、逻辑学家，5050篇学术论文和两部教篇学术论文和两部教 科书，科书，1919世纪数理逻辑的最杰出代表世纪数理逻辑的最杰出代表 “自学成才自学成才”著称于世，掌握了拉丁语、希腊语、意大利语、法著称于世，掌握了拉丁语、希腊语、意大利语、法 语和德语，自学了牛顿语和德语，自学了牛顿自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理，拉格朗日，拉格朗日解解 析函数论析函数论和拉普拉斯和拉普拉斯天体力学天体力学 18391839年申请进剑桥大学，年申请进剑桥大学，1844

15、1844年发表年发表“关于分析中的一般方法关于分析中的一般方法” 18491849年爱尔兰科克皇后学院数学教授，年爱尔兰科克皇后学院数学教授，18571857年英国皇家学会会员年英国皇家学会会员 v费马费马 v律师律师 v解析几何解析几何 v微积分 v概率论 v数论数论 l 费马小定理: 1640年10月18日 l 费马大定理 “业余数学家之王业余数学家之王”费马费马 （法，（法，1601160116651665年）年） l 平方数问题 l 费马数: 1640年给梅森(法, 1588-1648)的信 17世纪的数论 a-a|p ,pa ,p p 则互素与是素数如果 无非零整数解的自然数对大于n

16、 2 zy x nnn 22222 435 ,125 , 14n I 如表示为两个平方数之和 能以一种方式的素数和它的平方都只形如： 个平方数之和超过每个正整数可表示成不：4 II 形形如如 12F n 2 n 的的数数永永远远是是素素数数 l1732年欧拉(瑞, 1701-1783)证明F5不是素数 l1736年欧拉证明了费马小定理 l1742年哥德巴赫(德, 1690-1764)猜想 l1753年欧拉宣布证明了n=3时的费马大定理(1770发表) l1754年欧拉证明了费马平方数I问题 l1770年拉格朗日(法，1736-1813)证明了费马平方数II问题 l1770年华林(英, 1734

17、-1798)问题 18世纪的数论 无解 有解 ) (mod 1,- ) (mod 1, )( 2 2 pax pax p a 2 1-q 2 1-p (-1) p q )( q p ( l 1743年欧拉发现二次互反律: 代数数论 . ,19 ,9 ,4 等等个四次方数之和或者是 个立方数之和或者是个平方数之和每个自然数或者是 高斯高斯算术研究算术研究（18011801） 同余理论，复整数理论和型的理论同余理论，复整数理论和型的理论 “数学，科学的女皇；数论，数学的女皇。数学，科学的女皇；数论，数学的女皇。” 开创德国数学成为世界数学的中心之路开创德国数学成为世界数学的中心之路 代数数论代数数

18、论 德国马克上的高斯 (1989) 高斯和哥廷根(尼加拉瓜，1994) 代数数论代数数论 l1801年高斯(德, 1777-1855)出版算术研究：二次互反律 l 1871年戴德金(德, 1831-1916)创立代数数 )5-)(15-(1326 因式分解 2)/5-(1,2)/5-(1,2,6 2121 2 其中 希尔伯特 戴德金 库默尔 l 1844-1847年库默尔(德, 1810-1893)提出理想数 l 1897年希尔伯特(德, 1862-1943)“代数数域理论” 戴德金 (民主德国, 1981) 代数数论代数数论 素数判定素数判定 梅 森 n 梅森(法, 1588-1648)数:

19、 物理数学随 感(1644), 2p-1=Mp , p是 素数. n 1772年欧拉(瑞, 1701-1783)证明第8个梅森素数M31, 有10位数字. n 1996年美国数学家及程序设计师乔治沃特曼编制了因特网梅森素数 大搜索程序(GIMPS项目), 将其放置在因特网上供数学爱好者使用。目 前有150多个国家的9万多名志愿者、超过25万台计算机参与这项计划. n 该计划利用大量普通计算机的闲置时间, 获得 相当于超级计算机的运算能力，近年来新产生的 梅森素数都是通过GIMPS项目找到的. n 美国电子新领域基金会设立了10万美元的奖金, 鼓励第一个找到超过千万位素数的人; 25万美元 奖第

20、一个找到超过十亿位素数的人. 素数判定素数判定 n 在“手算笔录年代”仅找到12个梅森素数, 近10多年来通过GIMPS 项目找到了10个(35至44个)梅森素数. n 德国眼科专家马丁诺瓦克2005年2月18日发现第42个梅森素数 M25964951, 有7816230位数. n 美国数学家库珀和化学家布恩美国数学家库珀和化学家布恩, 2005, 2005年年1212月月1515日发现第日发现第4343个梅森素个梅森素 数数MM30402457 30402457, , 有 有91520529152052位数位数; ; 他们在他们在20062006年年9 9月月4 4日又发现第日又发现第444

21、4个梅个梅 森素数森素数MM32582657 32582657, , 有 有98083589808358位数位数, , 如果用普通字号将这个数字连续写如果用普通字号将这个数字连续写 下来下来, , 它的长度超过它的长度超过4040公里公里. . n 周海中（中）梅森素数分布猜测（1992） 素数判定素数判定 个素数有时，当 1-2 M2p2 1n p 22 1nn 。 第八讲思考题第八讲思考题 1 1、谈谈数、谈谈数e e的历史与作用。的历史与作用。 2 2、虚数的历史地位是如何逐步确立的？、虚数的历史地位是如何逐步确立的？ 3 3、对素数判定意义的分析。、对素数判定意义的分析。 4 4、如何理解、如何理解“数学是科学的王后数学是科学的王后”、“数学数学 是科学的女仆是科学的女仆”？ 数学奖 阿贝尔奖(2003- ) 20032003年塞尔年塞尔( (法法, , 1926- )1926- )关于代数拓关于代数拓 扑、代数几何获奖扑、代数几何获奖 代数方程根式解代数方程根式解 有限置换群 1849-1854年凯莱(英, 1821-1895)引入抽象群 伽罗瓦域 1893年韦伯(德, 1842-1913)抽