在线课程中高等数学经济应用教学分析3800字

1、在线课程中高等数学经济应用教学分析3800字 摘要：针对目前高校高等数学教学中存在的重理论，轻应用的现象，利用高等数学在线课程，在在线课程中向经管类专业的学生介绍高等数学的经济应用，主要内容有：微分学在经济学中的应用，积分学在经济学中的应用。对于经济管理类专业的学生来讲，这是对高等数学教学的重要补充，有助于学生深刻体会到数学和经济学的结合，以及经济学是一门逻辑思维严谨的学科。 关键词：微积分；边际分析；弹性分析；最优化；无理数e中图分类号：G4文献标识码：Adoi：10.19311/ki.16723198.2018.02.074高等数学作为理工农经类学生的必修基础课，具有课堂大，时间长，进度快

2、的特点，课程内容十分丰富，但学时有限，所以我们往往在紧锣密鼓地讲重点、难点、疑点、概念、思路的时候，忽略了它的应用，忽略了它对后继专业课的基础作用。对于经管类学生而言，能够在各种各样的数学活动中了解、体验数学在经济学中的应用，体会到数学的乐趣与神奇，在某种意义上来讲，比学习抽象的定理证明更为重要。基于在线课程的混合式教学模式，有效的弥补了传统课堂的这一不足。为此我们在在线课程中增加了经济应用板块，学生通过这个板块的学习，深刻体会到数学和经济学的结合，给经济学的发展带来了很大的进步，让经济学成为一门逻辑思维严谨的学科，给经济学的研究方法带来质的飞跃，成为经济学分析方法上的里程碑。1微分学在经济学

3、中的应用微分学在经济学中的应用主要包含边际分析、弹性分析以及最优化问题。在经济学中， 常常会用到平均变化率和边际量，这些都是用来表示变化率的。边际量表示的是当自变量发生一个单位的变化时，因变量究竟变化了多少。从数学意义上讲， 如果我们考虑的经济函数是连读的， 则边际量表示的是当自变量的改变量趋于零时，因变量的对应改变量与自变量改变量的比值的极限， 假设函数为y=f（x），那么边际量就是导函数y=f（x）。对边际量的研究主要包括两个内容边际成本和边际收入。在经济学中，我们把产量增加一个单位时，所增加的总成本称为边际成本，边际成本就是总成本函数C=C（x）在定点处的导数C=C（x），其中变量x为产

4、量。其经济学意义为：在某一产量水平上的边际成本，指的是相应的总成本函数图像在该点处切线的斜率，也就是总成本函数在该产量处的导数。在实际经营管理中，边际成本可以用来判断产量的增减在经济上是否合算。类似地，我们定义边际收入为R（x），也就是说边际收入为总收入函数R（x）关于销售量x的导数，其经济含义是：当销售量为x时，销售量增加一个单位（即x=1），总收入增加了多少。所以边际收入约等于收入函数的变化率。在经济分析中，边际分析研究的是函数的绝对改变量和绝对变化率，然而很多时候，我们需要研究一个变量对另一个变量的相对变化情况。而弹性这个概念，就是用来描述当自变量发生变化时，因变量的反应程度，详细来说，

5、就是自变量变化了1%时，因变量会变化多少个百分比。对函数y=f（x），函数的相对改变量yy=f（x+x）-f（x）f（x）与自变量的相对改变量xx之比yyxx，称为函数f（x）在x与x+x两点间的弹性。而这个比值的极限limx0yyxx称为函数f（x）在x处的弹性。如果函数y=f（x）为需求函数Q=f（P），这里P表示产品的价格，则可以得到需求弹性=（P）=limP0QQPP=limP0QP?PQ=P?f（P）f（P），需求弹性的经济学意义是，近似地表示价格当为P时，价格变动1%，需求量变化%，它反映产品需求量对价格变动反应的强烈程度。利用导数求函数的最大最小值是高等数学中的一个重要内容，而利

6、用这种求最值的方法，可以解决很对经济学中最优化的问题，比如成本最小化问题，利润最大化问题，利用需求弹性分析总收益的变化等。例如假设需求函数为Q=f（P），则总收益为R=P?Q=P?f（P）由R=f（P）+P?f（P）=f（P）1+f（P）Pf（P）=f（P）（1+），知若|1，那么需求的变动幅度大于价格的变动幅度；若|=1，那么需求的变动幅度等于价格的变动幅度，此时，R=0，取得最大收益。2积分学在经济学中的应用作为导数（微分）的逆运算，如果我们已知边际函数F（x），通过不定积分运算，可求出原经济函数F（x）=F（x）dx ，其中常?C可由经济函数的具体条件确定。我们也可以利用牛顿莱布尼兹公式

7、x0F（x）dx=F（x）-F（0）求得原经济函数F（x）=x0F（t）dt+F（0）并可由此求原经济函数从a到b的变动值F=F（b）-F（a）=baF（x）dx比如说成本函数C（x）=x0C（t）dt+C0，其中C（x）为边际成本，C0为固定成本。收入函数R（x）=x0R（t）dt，因为R（0）=0。利润函数L（x）=R（x）-C（x）=x0R（t）-C（t）dt-C0=x0L（t）dt-C0其中x0L（t）dt称为产销量为x时的毛利，毛利减去固定成本即为纯利。3无理数e在经济学中的应用3.1经济学中关于无理数e的计算及函数Aert的应用从数学上看，数e等于极限limx1+1xx。在经济学中

8、，它可以解释成复利的一种具体计算过程的结果。假设张某有本金1美元，一个银行年利率为100%（每年1美元利息）。若利息按复利每年计算一次，那么第一年末资产价值为2美元，我们用P（1）表示此值，其中括号里的数字代表一年内计算复利的次数。 P（1）=本金（1+利息率）=1（1+100%）=2但是，如果半年计算一次复利，则六个月末利息等于本金的50%（本金的一半）。因此在第二个六月期间，本金为1.5美元，此期间利息按1.5美元的50%计算。所以年末资产可用如下公式表示：P（2）=（1+50%）（1+50%）=（1+50%）2以此类推，我们可以用表达式来表示它们的关系：P（m）=1+1mm其中m表示1年

9、内进行复利计算的次数。当利息在一年内连续按复利计算时，就是说当m取无穷大时，资产价值将以“利滚利”的方式增长，在一年末变成：limmP（m）=limm1+1mm=e因此，如果按年利率100%连续计算复利，那么无理数e可以解释为1美元本金到年底的价值（其中应要注意：100%的利息率仅是名义利息率，若一年后1美元变成e美元，那么该情况下的实际利率约为每年172%）。假设初始本金为A美元，名义利息率为r，投资t年，复利计算公式将变为：P（m）=A1+rmmt不难得出，连续复利计算方法求得的资产价值为P=limmP（m）=Aert与前面的预期相同（其中应要注意的是t是一个离散的变量）。3.2无理数e和

10、银行业在今天的银行业里， 无理数e对银行家们是一个非常重要且不可或缺的数。到底它与银行业有什么样的关系呢？起到什么样的重要作用呢？我们不妨看银行的储存利息的问题：正如刚才的分析，如果一家银行的年利率是1（即100%），那么半年的利率就是50%；相对的一个月的利率就是更具体一点就是倘若有位客户储户在银行存1元钱，如果他一年存两次，那么他就多得0.25元的利息，如果一年存三次，那么他就多得0.37元的利息这样下去你是不是会发现，存储户只要多存几次多几次手续，那么他就可以多得很多利息了，这样下去那些多得的利息钱从哪儿出呢？通过上面的案例分析，是不是也让你感觉到在1年的时间内，存取款越?l繁，就会得到

11、越多的利息呢？事实真的是这样吗？咱们一起来分析一下，如果存取款的次数是可以无限增加的，那是不是哪怕如果只有一元钱，但是在1年的时间里，也许他可能就会增加到1万元钱？如果有这样的事情，是每个人都十分期待的发生的！但是，实际情况并不是这样的，当存取款的次数很少时，每多存取一次，增加的利息收益还是很好的，然而，随着存取次数的不断增加，我们会发现，总利息增加的幅度越来越小，并且无法跨过无理数e这个数值。这就意味着，即使一个人存取次数为无限多，1年后，1元会变成大概2.7183元，这一年的总利息最多为1.7183元。虽然不能让1元钱在一年里变成10000元，但储户们为了得到最大的利益想，仍然会不断地多次存入取出，这样造成储蓄的混乱。所以，虽然从直觉上我们认为利率与存期成正比，但实际操作中，它却存在着重大的缺陷。事