考研数三完整版历年真题答案详解2003 2010真题之

1、全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.xf f(t)dt(1)设函数f (x)在区间1,1上连续，则x=0是函数g(x)=的(x(A )跳跃间断点.(B )可去间断点.(C )无穷间断点.(D )振荡间断点.(2)曲线段方程为y = f(X)，函数f(X)在区间0, a上有连续的导数,则定积分a taf (x)dx 等于()(A )曲边梯形ABCD面积.(B )梯形ABCD面积.(C )曲边三角形ACD面积.(D )三角形ACD面积.(3)已知 f(X, y) =eY

2、X 勺，则(A)fx(O,O)，fy(O,O)都存在(B) f；(O,O) 不存在，fy(O,O)存在(C) fXO,O)不存在，fy(O,O)不存在(D)f；(0,0)，fy(O,O)都不存在f(x2+y2)(4)设函数f连续，若f(u,v)=H 八dxdy，其中Duv为图中阴影部分,Duv Jx2+y2石F CU(A)vf(u2)v 2v(B) f(u )(C) vf(u) ( D) - f (u)uu(5)设A为阶非O矩阵E为阶单位矩阵若3A=O，则()(A )E -A不可逆，E + A不可逆.(B)E-A不可逆，E+A可逆.(C)E-A可逆，E+A可逆.(D)EA可逆，E+A不可逆.(

3、6)设A=P 2则在实数域上域与 A合同矩阵为()匕1丿(A)r 1 -2 丿(B2 -1 2 丿(C)1)2丿$1_2、 1丿(7)随机变量 X,Y独立同分布且 X分布函数为F(x )，则Z =maxX,Y分布函数为()(B) F(x)F(y).2(A) F(X).(D) 1-F(x)1-F(y).(8)随机变量XN(0,1), YN(1,4 )且相关系数PXY =1,则()(A) P 丫 = -2X -1=1.(B )PY =2X -1=1.(C )P 丫 =-2X +1=1.(D ) PY=2X +1=1.二、填空题：9-14小题，每小题十 2X2 +1,(9)设函数 f(X)= 2I,

4、L|x|4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上c(10)1 X + X3 设f(x)=二X 1 +x2彥，则 I f(x)dx =(11)设 D =(x, y)|x2 +y2 1，则 JJ(x2 -y)dxdy =D(12)微分方程xy + y = 0满足条件y(1) = 1的解y =(13)设3阶矩阵A的特征值为1, 2, 2, E为3阶单位矩阵，则 4A亠-E =(14)设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则 Px=ex2 =三、解答题：15- 23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分1求极限lim pinxTx

5、2(16) (本题满分10 分) sin xx10 分)设z=z(x,y)是由方程X2+y2-z = W(x + y+z )所确定的函数，其中具有2阶导数且(17)计算(18)记 u(x,y)= 陛-仝X-ylx dy )，求竺(本题满分11分)jjmax(xy,1)dxdy,其中 D =(x, y)| 0 x 2,0 y nB=(1,0,m,0 ),(1 )求证 I A = ( n +1 归 n ；(2) a为何值，方程组有唯一解(3) a为何值，方程组有无穷多解(21)(本题满分10分)设A为3阶矩阵，,a2为A的分别属于特征值 -1,1特征向量，向量a3满足Aaa2+a3,证明(1) a

6、,a2,a3线性无关;(2)令 P -(a1,a2,a3 )，求 PAP.(22)(本题满分11分)设随机变量X与丫相互独立，X的概率分布为pX nl-ti =-1,0,1 ), Y的概率密度31 0y1为其它y，记(1 )求 P JZ ! X =0；I 2 I(2)求Z的概率密度.(23)(本题满分11 分)Xi,X2,H|,Xn 是总体为N(4申2的简单随机样本.记XXi ，n 7S2 =丄送(Xi X)2， n 1 i42T =X丄2.n(1 )证T是42的无偏估计量.(2)当卩：=0, b = 1 时，求 DT .考研数学(三)真题解析一、选择题(1)【答案】B【详解】x卵(“=四字=

7、四 f(x)=f(0)所以X = 0是函数g(x)的可去间断点.【答案】Caa【详解】0 xf (x)dx =)0 xdf(X)=xf(X)其中af(a)是矩形曲边三角形的面积.【答案】B【详解】fX(0,0)aaa J0 f(x)dx=af (a) Jo f (x)dxaABOC面积，L f (x)dx为曲边梯形 ABOD的面积，所以af0 xf (x)dx 为=lim TWO)0X-0严一1= lim7 Xlim17 xx .x .e -1. e -1lim = lim =1 ,xxex-1lim T 一 x_x /e -1= lim = 1T 一 x故fx(0,0)不存在.2ey -1f

8、y (0,0) = lim f (0, y) f (0,0) = lim = lim= lim 丫yTy 0yTylOylO2-=0y所以fy(0,0)存在.故选B .【答案】A【详解】用极坐标得f (u2 +v2 )T lU 1 V 1Vu f (r2)F (u,v )=仃一udv = dv f rrdr z / 2 , 2b1d U +vu 2= v；1 f(r )dr所以L=vf(u2).cu【答案】c【详解】(EA)(E+A + A2)=E-A3 = E , (E+A)(EA+A2)故E -A,E +A均可逆.【答案】D【详解】记Df 1-2?=I121 丿2=(A1) -4 又aE

9、- A =Z -1-2-2A-12=(几-1 ) -4，所以A和D有相同的特征多项式，所以 A和D有相同的特征值.又A和D为同阶实对称矩阵，所以 A和D相似.由于实对称矩阵相似必合同，故D正确.【答案】A【详解】Fz(z)=P(Z z)=pmaXx,YRz = P(X 0，排除(A )、( C )由 X N(0,1),Y N(1,4),得 ex =O,EY =1,所以 E(Y) =E(aX +b) =aEX + b =ax0+ b =1,所以 b =1 .排除(B ).故选择(D ).二、填空题(9)【答案】1【详解】由题设知 cxRO，所以f(x) =因为lim f (又因为f (X)在(所

10、以lim+f (X )= lim f(X )= f (c)，即X3C (10)【答案】丄山322 2X)=!imix +1)=c +1，2x,X A C X2 +1,1-C X C-2/ X,X -climJ(X3C2)=lim,= T十X2c-处，Xc)内连续，f(X)必在X = C处连续2+1 =- = C =1.C【详解】ffx+丄V X丿1 + xX1 + 2 p+x X丄+xX1 +丫一 +xJ丄+-21t，令 t+x，得 3=口所以2占2 f(x)dx=.2ln(x21211=(In6 In2 )= In 3.22(11)【答案】JI=1十JJ(x2-y)dxdy利用函数奇偶性 J

11、Jx dxdy = JJ(x + y dxdy2 =丄 J。曲 Jr 2rdrDD2 D2(12)【答案】1 y =- x【详解】由dydx二，两端积分得-ln y = ln X +G，所以=C，又y(1) =1，所X(13)X【答案】【详解】A的特征值为1,2,2，所以A-的特征值为1,12,1/2 ,所以4A- -E 的特征值为 4x1-1=3, 4x1/2-1=1 , 41/2-1 =1所以14B -E =3天1咒1 =3.(14)【答案】【详解】由DX2 2 2 2=EX -(EX)，得EX =DX +(EX)，又因为X服从参数为1的泊松分布，所以DX12二EX，所以 EX2，所以 P

12、X=2石 L1 _1 =一 e2三、解答题(15)【详解】1方法一 : lim InXT xsin X 1 f sin x“霊2】叫十一-1sin X -x =hm0cosx-1si nx=lim2 = Tim3x2T 6x、丄1 sin X万法二：殍尹6xcosx-sin XX -洛必达法则limxsinx1=xT洛必达法则町;x2si：Fxcosx-sin X2x36x2(16)【详解】(I) 2xdx + 2ydy-dz=W(x + y+ z ) (dx + dy + dz)(A+1)dz = (+2x )dx +(取+ 2y)dy:dz =e+2x )dx+(- + 2yXy(；9门t

13、p-+1(II)由上一问可知A + 2xcz-g2y所以 u(x,y) =(=-)= X -y x 令-g2x_-*2y _-2y+2x_2_ X - y (护+ 1 护+1 =7 P+1=亦匚1p- + 10得A = C+3980 C0故A至少为3980万元.(20) 【详解】(I)2a12a1证法证法二：rn2a22a2 a2a2a2a3a2.12 2an 1rn narn 二4a -记Dn=|A|,2a2 a2a2a3a2结论成立.当n =2时，D2a2 a12 一 an2F面用数学归纳法证明n =1(n+1)aDn2a3a2a4a32a=3a2，(n 中 1)a结论成立.翌12a2 2

14、a3a 4a=2a -2=(n +1)an .2a假设结论对小于n的情况成立将 Dn按第1行展开得2a2a4=(n+1)ann(n+1)a=(n +1)annD1 = 2a,1Dn =2aDn-12a 1 a2 2a(III)方程组有无穷多解，由IA=o,有a = 0，则方程组为= 2aDn 二一a Dn_2 1a2 2a2Dn/ =2ananLa (n 1)an 2(n +1)an故 I A| = (n+1)an证法三：记Dn =|A|，将其按第一列展开得2Dn = 2aDn_i a Dn_2，2所以 Dn -aDn 二=aDn-a Dn_2 =a(Dn-aDn/)= a2(D2 -aDnJ

15、 =|i=a2(D2 -aDJ =anDn =an + aDn=an + a(an+ 40 =2an + a2DnRH=(n- 2)an + af = (n-1)an+ af=(n - 1)an”2a =(n +1)anA = (n + 1)an，故 a H 0(II)因为方程组有唯一解，所以由 Ax = B知IA HO，又由克来姆法则，Dn的第1列换成b，得行列式为0 2a2 a2a所以Dn42annX1 =Dn (n +1)a2a2 a2a 1a2 2a2a(TXT0 1X2I 0 14此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为XnIIXn丿0丿n-1，所以方程组有无穷多解，其通解为k(1

16、0 0 (H 0 T +(00川 0 T ,k为任意常数.（21）【详解】（I）证法一：假设a:叫线性相关.因为a 1,分别属于不同特征值的特征向量，故a 1,%线性无关，则3可由a 1,口2线性表出，不妨设 4= 118+02，其中11,12不全为零（若 11,12同时为0,则a3为0,由As =口2 +口3可知2 = 0 ,而特征向量都是非0向量，矛盾）T 阿=-a1,他2 2” 他3 =口2 +旳=2 +l1Ot1 +122，又 AOts = AQt% +122)= 1梓!+ 12二斗/丄 +122 =2 +l1a1 +|2口2，整理得：Zpr +口2 = 0则a12线性相关，矛盾.所以

17、，线性无关.证法二：设存在数k1,k2, k3，使得kH + k k 0(1)用A左乘（1）的两边并由A% = 4人口2 =2得kH +(k2 +k3)ct2 +k3G3 =0(1) (2)得因为,口2是A的属于不同特征值的特征向量，所以a 1严2线性无关,从而k1*3=0，代入（1）得k0，又由于a20，所以k2 =0，故a1a2a3线性无关.(II)记P =件巴2,叫），则P可逆,AP =人(01,口2,3)=仲1,如2理3）巩亠仆冬宀+叫）1-1 0 01-1 0 0（円严2严3）0 1 1=p0 1 111。0 111。0 1f-1 0 0所以PAP = 011(22)【详解】(I)P

18、(Z 丄 X =0) = P(X + Y 丄 X =0)=2 21P(X=0 Y%)11乙=P (Y -) = f21dyP(X=0)2o(II)Fz(z) =PZ z =PX +Y z=PX +Y z, X =-1 + PX +Y z, X =0+ PX + Yz, X =1= PY z+ 1,X =-1 + PY z, X =0 + PY z-1,X =1= PY z+ 1PX =1 +PY zPX =0 + PY z 1PX =11= -pY z +1 +PY z +PY z-1 31=Fy(z +1) + Fy(z ) + Fy(z-1)3所以卩fzCzrlifYuwzn)- Z*30,其它(23)2 【详解】(I)