概率论、概率统计期末考试知识点

1、知识点第一章随机事件与概率本章重点：随机事件的概率计算.1 . *事件的关系及运算AU B (或 B 二 A).n和事件:积事件：AuB ; H2 An (简记为 iAi ).nn AAB , ACA2Cc代(简记为AA代或7).互不相容:若事件A和B不能同时发生，即 AB =*对立事件差事件：若事件A发生且事件B不发生，记作 A - B （或AB）. 德 尊根（De Morgan ）法则：对任意事件 A和B有Al7B=Acb AC B = AcBP(A)A中所含样本点的个数 0中所含样本点的个数几何概率A的长度（或面积、体积）P（A）=样本空间的的长度（或面积、体积）3. *概率的性质（有限

2、可加性）设n个事件A1,A2，An两两互不相容，则有nPWA2UAn) =2 P(A)i #3卩(A)=1- P(A).（4）若事件A, B满足A匸B，则有P (B-A) = P(B)-P (A),P(A) P(B) P(A) 1 .(6)(加法公式)对于任意两个事件A , B ,有P(A. B) = P( A) + P(B) - P( AB)对于任意n个事件AA,，An，有P(iAA) 1SRiAjAkA + 尸1) 1P( A n A) nnP(U A)=S P(A卜送i4i 生14. *条件概率与乘法公式P(A|B)P(AB)P(B)乘法公式:P(AB)=P(A)P(B|A) = P(B

3、)P(A| B).5. *随机事件的相互独立性事件A与B相互独立的充分必要条件一:P(AB) = P(A)P(B)，事件A与B相互独立的充分必要条件二:P(A|B) = P(A).对于任意n个事件Al，A2，代相互独立性定义如下：对任意一个k =2,，n，任意的1 ii V吒ik兰n，若事件Al，A2，A总满足P(A Ak) = P(Ai)p(Ak)，则称事件 AA,，An相互独立.这里实际上包含了 2n - n -1个等式.6. *贝努里概型与二项概率设在每次试验中，随机事件A发生的概率P(A) = p(0 V P 1)，则在n次重复独立试验中.，事件A恰发生k次的概率为fn尺叽丿Pk(1

4、-P )n=k=0,1；,nnU A =0P(Ak)P(B| Ak)如果事件AA，A!两两互不相容，且i,P(A)：0 ,心1,2,，n，则P(Ak|B)= n,k=12，nS P(A)P(B|A)i 2第二章一维随机变量及其分布本章重点：离散型和连续性随机变量的分布及其概率计算 概率论主要研究随机变量的统计规律，也称这个统计规律为随机变量的分布.1. *离散型随机变量及其分布律P = P(X =a), i =1,2,，n，分布律也可用下列表格形式表示：Xa a2anPP1P 2Pni =1,2,，n,c无 Pi =1 y3. *常用离散型随机变量的分布(1)0 1分布B(1, P)，它的概率

5、函数为p(x =i) = pt- p) *概率函数的性质 Pi,其中，i=0 或 1, 0 V P 吒1 .二项分布B(n，P)，它的概率函数为p(xpt-p厂v丿其中，i= 0,1,2,，n , Ocpcl .(4 )* 泊松分布P()，它的概率函数为-iP(X =i)=养5.*二维离散型随机变量的边缘概率其中，i =0,1,2，n，几0.4. *二维离散型随机变量及联合概率二维离散型随机变量（X，丫）的分布可用下列联合概率函数来表示:P(X=ai，丫 =bj) = Pij, i,j=12 ，其中,Pij 0, i, j =1,2，艺 SPij =1i j（X,Y）为二维离散型随机变量，Pi

6、j为其联合概率（ij1,2,），称概率P（X =ai）（i二1,2，）为随机变量X的边缘分布律，记为p贡有Pi. =P(X =ai) =2 Pij ,i =1,2，j称概率P（丫 =bj）（j二12,）为随机变量Y的边缘分布率，记为p.j，并有P, P(Y=brPij，j = 1,2,6. 随机变量的相互独立性设（X，丫）为二维离散型随机变量,X与丫相互独立的充分必要条件为p ij = Pi f j,多维随机变量的相互独立性可类似定义.对一切 i, j =1,2,.即多维离散型随机变量的独立性有与二维相应的结论.7. *随机变量函数的分布设X是一个随机变量，g（x）是一个已知函数，Y=g（x）

7、是随机变量X的函数，它也是一个随机变量.对离散型随机变量X，下面来求这个新的随机变量 丫的分布.设离散型随机变量X的概率函数为Xa a2 anPP1 P2 Pn则随机变量函数Y=g（x）的概率函数可由下表求得Y =g(x)g(q) g(a2)g)PpiP2-Pn但要注意，若g(ai)的值中有相等的，则应把那些相等的值分别合并，同时把对应的概率p相加.第三章连续型随机变量及其分布本章重点：一维及二维随机变量的分布及其概率计算，边缘分布和独立性计算1. *分布函数随机变量的分布可以用其分布函数来表示，F(x) = P(X x)2 .分布函数F(x)的性质(i)0F(x2i; |imF(X0,|ii

8、mF(X) =i由已知随机变量X的分布函数F(x)，可算得X落在任意区间(a,b内的概率P(a X cb) = F(b)-F(a)3 .联合分布函数二维随机变量(x，Y)的联合分布函数F(x, y) = P(.Xx, Yvx)4 联合分布函数的性质(1)0 F(x,y) 1 ；limF(x, y),lim F(x, y) =0y-严|imF(x,y)=O, HmFy)(3)5. *连续型随机变量及其概率密度P(Xi cX X2，yi Yy2)=F(X2，y2)-F(X2，yi)-F(N，y2)+ F(Xi，yi)设随机变量X的分布函数为F(x)，如果存在一个非负函数f(x)，使得对于任一实数x

9、，有F(x) = f (x)dx-oC成立，则称X为连续型随机变量，函数f(x)称为连续型随机变量 X的概率密度.6. *概率密度f(x)及连续型随机变量的性质(2) JX*1；(3) F(x)=f(x)；(4)设X为连续型随机变量，则对任意一个实数C, P(X C) = 0 ； (5)设f(x)是连续型随机变量 X的概率密度，则有P(a cX cb) = P(a X cb) = P(a X b) = P(a c X b)b=Ja f(X)dX7. *常用的连续型随机变量的分布其中,(1)均匀分布R(a,b)虫 a b 址)(2)指数分布E(X)，它的概率密度为f(X) =b-ai 0,它的概

10、率密度为f(x)吒I 0, X 0;其余.标准正态分布的分布函数记作(X)，即其中,(3)正态分布2N(巴b)，它的概率密度为f(x)= L其中,二 4 0，当卩=0,b =1时，称N(0,1)为标准正态分布，它的概率密度为f(x历29.*二维连续型随机变量及联合概率密度的性质（X）打丄e：dt当出x0时，（X）可查表得到；当x 0, -处 X, y 畑；If(x,y)dxd1 ； 在f（x,y）的连续点处有空df(x,y)cy设（XY）为二维连续型随机变量，则对平面上任一区域D有P(X,Y)-D) = JJf(x, y)dxdyD10,*二维连续型随机变量（X ,丫）的边缘概率密度设f （x

11、, y）为二维连续型随机变量的联合概率密度，则X的边缘概率密度为fx(X)二 Lc f (X, y)dy.Y的边缘概率密度为-befY(y)= Lcf(x,y)dx11.常用的二维连续型随机变量（1）均匀分布如果（X,Y）在二维平面上某个区域 G上服从均匀分布，则它的联合概率密度为1 1I, （X, y）G;f（X, y） = G的面积i 0,其余.2 2二维正态分布N（叫，卩2,F ,6, P）_2p（X - 卩 1）（y -巴）+（X-卩 1）211 亍JJ如果（x，Y）的联合概率密度（X-片）2 f（X,y） =exp - _I 2Zgq J1 - p 2（1 -P ） L w则称（X,

12、Y）服从二维正态分布，并记为2 2（X,Y）N（叫屮20 02,P）2 2 2 2即二维正如果（X,Y）N（41,42,b1,b2,P），则 XN（气,6） , YN（巴巴2）,态分布的边缘分布还是正态分布.12. *随机变量的相互独立性F（x,y） = Fx（x）FY（y）,对一切-处 x, y D(金)则称&比金有效。称在所有的0无偏估计中，方差最小的那一个为一致最小方差无偏估计。nnnnDX DX=2 = 2 = nnnZ Xi z DXi z DXDX =0仝n3. *单正态总体下的置信区间设X*，兀是取自正态总体N /a UX2则拒绝 月0，否则只能接受因此检验使用统计量 U，称之为

13、U-检验。注意:单边检验的区别H0:叫；Hl*ct/需= a构造水平口检验的拒绝域U Ux单侧分位数H0 :叫H1：卩屮0-U = J构造水平口检验的拒绝域U .2（n 1）=ot构造水平Q检验的拒绝域直2 （ n 1）其中ta，2为标准正态分布的 a双侧分位点。基于数据，算出T的观察值，如T二頁斤2（n-1）则拒绝 円0，否则只能接受因此检验使用统计量 T,称之为T-检验。注意：单边检验的区别H0:叫；Hi：血七ta（ n 1） = a构造水平C检验的拒绝域T ta（ n-1）单侧分位数H0 ：叫；H1 0_如（n- 1） = a构造水平C检验的拒绝域T = 一构造水平必检验的2 J 2拒绝

14、域 仁仆门-1）或乂2兰人2占2（ n-1）其中 逬电2（n -1）72（n-1）为标准正态分布的a双侧分位点。基于数据，算出厂的观察值，如工2 工22（n T）或工2兰工角2（nT）则拒绝，否则只能接受Ho.因此检验使用统计量 72,称之为72检验。第八章方差分析检验假设H 0 :出=込=.=4r找到F统计量单因素试验方差分析表方差来源平方和自由度均方和F值F值临介值组间SSadfASSaMSa =AdfAF=MSaMSe酗-1 n-r)组内SSedfEMSe =强dfE总和SStdfT若接受H0,说明在统计意义下，因素 A对实验指标X的没有显著影响,或者说明因素A对实验指标造成的差异无统计

15、意义。若拒绝H0,说明在统计意义下，因素A对实验指标X的有显著影响, 或者说明因素A对实验指标造成的差异有统计意义。简便计算公式:SS=2Z： Xi2-S SSt =S+SSey j=inTi =2 Xij,T =!： Tij#idfA =r -1,dfE = n r,dfT1.回归函数或回归方程的建立LxyLxx第九章回归分析PiX_ 1 n _ 1 nX =送 Xi, 一工 y n yn yni 4ni丄niLxyLxxLyyn(Xi -X)(yi -y) =2y nX * yi 4n(xX)2=Zi丄n(Yi -ypXj2 - nx22_2Vi -nyx = x0,y = a即为y的点预测值。2.回归方程的有效性检验 F检验法 检验假设Ho：叫=0,已：叫工0,找到F统计量元回归分析表方差来源平方和自由度均方和F值F值临介值回归ss.dfR =1ssMSr = %dfR