2020-2020学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：第4章 4.5.1　函数的零点与方程的解 Word版含解析

1、4.5函数的应用(二)4.5.1函数的零点与方程的解学 习 目 标核 心 素 养1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系(易混点)2会求函数的零点(重点)3掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数(难点)1.借助零点的求法培养数学运算和逻辑推理的素养2借助函数的零点同方程根的关系，培养直观想象的数学素养.路边有一条河，小明从a点走到了b点观察下列两组画面，并推断哪一组能说明小明的行程一定渡过河？(1)(2)将这个实际问题抽象成数学模型问题：如图，若将河看成x轴，建立平面直角坐标系，a，b是人的起点和终点，则点a，b应该满足什么条件就能说明小明的行程一定渡过河？提示：只要满足点a与点b

2、分布在x轴的两侧即可，即图中a处的函数值与b处的函数值符号相反，这也是我们将要学习的零点的相关知识1函数的零点对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点思考1：函数的零点是函数与x轴的交点吗？提示：不是函数的零点不是一点，而是一个数，该数是函数图象与x轴交点的横坐标2方程、函数、函数图象之间的关系方程f(x)0有实数解函数yf(x)的图象与x轴有公共点函数yf(x)有零点3函数零点存在定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就

3、是方程f(x)0的解思考2：该定理具备哪些条件？提示：定理要求具备两条：函数在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；f(a)f(b)0，则f(x)在a，b内无零点()(3)若f(x)在a，b上为单调函数，且f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点()(4)若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)f(b)0.()答案(1)(2)(3)(4)2下列各图象表示的函数中没有零点的是()abcdd结合函数零点的定义可知选项d没有零点3函数y2x1的零点是()a.bc. d2a由2x10得x.4函数f(x)3x4的零点所在区间为()a(0,1) b(1,0) c(2,3)

4、 d(1,2)d由f(1)0，f(0)30，f(1)10，f(3)230，得f(x)的零点所在区间为(1,2)求函数的零点【例1】(1)求函数f(x)的零点；(2)已知函数f(x)axb(a0)的零点为3，求函数g(x)bx2ax的零点解(1)当x0时，令x22x30，解得x3；当x0时，令2ln x0，解得xe2.所以函数f(x)的零点为3和e2.(2)由已知得f(3)0即3ab0，即b3a.故g(x)3ax2axax(3x1)令g(x)0，即ax(3x1)0，解得x0或x.所以函数g(x)的零点为0和.函数零点的求法(1)代数法：求方程f(x)0的实数根.(2)几何法：对于不能用求根公式的

5、方程f(x)0，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.1判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由(1)f(x)x27x6；(2)f(x)1log2(x3)；(3)f(x)2x13；(4)f(x).解(1)解方程f(x)x27x60，得x1或x6，所以函数的零点是1，6.(2)解方程f(x)1log2(x3)0，得x1，所以函数的零点是1.(3)解方程f(x)2x130，得xlog26，所以函数的零点是log26.(4)解方程f(x)0，得x6，所以函数的零点为6.判断函数零点所在的区间【例2】(1)函数f(x)ln(x1)的零点所在

6、的大致区间是()a(3,4)b(2，e)c(1,2) d(0,1)(2)根据表格内的数据，可以断定方程exx30的一个根所在区间是()x10123ex0.3712.727.3920.08x323456a.(1,0) b(0,1)c(1,2) d(2,3)(1)c(2)c(1)因为f(1)ln 20，且函数f(x)在(0，)上单调递增，所以函数的零点所在区间为(1,2)故选c.(2)构造函数f(x)exx3，由上表可得f(1)0.3721.630，f(0)1320，f(1)2.7241.280，f(3)20.08614.080，f(1)f(2)0，所以方程的一个根所在区间为(1,2)，故选c.判

7、断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值.(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断.(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数， 则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点.2若函数f(x)x(ar)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是()a2b0c1 d3af(x)x(ar)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a2时，f(1)1210.故f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选a.函数零点的个数探究问题1方程f(x)a的根的个数与函数yf(x)及ya的图象交点个数什么关系？提示：相等

8、2若函数g(x)f(x)a有零点，如何求实数a的范围？提示：法一：g(x)f(x)a有零点可知方程f(x)a0有解，即af(x)有解故a的范围为yf(x)的值域法二：g(x)f(x)a有零点，等价于函数ya与函数yf(x)的图象有交点，故可在同一坐标系中分别画出两函数的图象，观察交点情况即可【例3】已知0a1，则函数ya|x|logax|的零点的个数为()a1b2 c3 d4思路点拨 b函数ya|x|logax|(0a1)的零点的个数即方程a|x|logax|(0a1)的根的个数，也就是函数f(x)a|x|(0a1)与g(x)|logax|(0a1)的图象的交点的个数画出函数f(x)a|x|(

9、0a1)与g(x)|logax|(0a1)的图象，如图所示，观察可得函数f(x)a|x|(0a1)与g(x)|logax|(0a1)的图象的交点的个数为2，从而函数ya|x|logax|的零点的个数为2.1把本例函数“ya|x|logax|”改为“y2x|logax|1”，再判断其零点个数解由2x|logax|10得|logax|，作出y及y|logax|(0a1)的图象如图所示由图可知，两函数的图象有两个交点，所以函数y2x|logax|1有两个零点2若把本例条件换成“函数f(x)|2x2|b有两个零点”，求实数b的取值范围解由f(x)|2x2|b0，得|2x2|b.在同一平面直角坐标系中分

10、别画出y|2x2|与yb的图象，如图所示则当0b2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)|2x2|b有两个零点.1理解2个知识点零点的含义、零点存在定理(1)在函数零点存在定理中，要注意三点：函数是连续的；定理不可逆；至少存在一个零点(2)方程f(x)g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数yf(x)g(x)的图象与x轴交点的横坐标2掌握2种方法(1)转化法：函数的零点转化为方程的根还可转化为函数图象与x轴的交点的横坐标(2)数形结合思想：借助图象交点确定零点及方程根的问题3规避1个误区零点不是点， 而是数，是图象与x轴交点的横坐标1函数f(x)2x23x1的零点是()a，1b，1c.，1 d，1b方程2x23x10的两根分别为x11，x2，所以函数f(x)2x23x1的零点是，1.2函数f(x)2x3的零点所在的区间是()a(0,1)b(1,2)c(2,3) d(3,4)bf(1)2310，f(1)f(2)0，即f(x)的零点所在的区间为(1,2)3对于函数f(x)，若f(1)f(3)0，则()a方程f(x)0一定有实数解b方程f(x)0一定无实数解c方程f(x)0一定有两实根d方程f(x)0可能无实数解d函数f(x)的图象在(1,3)上未必连续，故尽管f(1)f(3)0，但方程f(x)0在(1,3)上可能无实数解