完整版二次函数知识点与题型总结

1、二次函数知识点一、平面直角坐标系1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。注意： x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限。2、点的坐标的概念点的坐标用a, b 表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当ab 时， a,b 和 b, a 是两个不同点的坐标。知识点二、函数及其相关概念1 、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与 y ，如果对于 x 的每一个值， y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 x

2、 是自变量，y 是 x 的函数。2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。3、函数的三种表示法及其优缺点（ 1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。（ 2）列表法把自变量 x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。4、由函数解析式画其图像的一般步骤（ 1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（ 2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（ 3）

3、连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。知识点三、概念总结及基本性质1、二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（ a ，b ，c 是常数， a0 ）的函数，叫做二次函数。二次函数的定义域是全体实数2. 、二次函数yax2bxc 的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数，x 的二次式，x 的最高次数是b 是一次项系数，c 是常数项23、二次函数的基本形式（平移规律：左加右减，上加下减）（1） yax2 的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x0 时， y 随 x 的增大而增大；

4、 x0 时， y 随a0向上0 ，0y 轴x 的增大而减小；x 0 时， y 有最小值 0 x0 时， y 随 x 的增大而减小； x0 时， y 随a0向下0 ，0y 轴x 的增大而增大；x 0 时， y 有最大值 0 （2） yax2c 的性质：上加下减。a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0 ，cx0 时， y 随 x 的增大而增大； x0 时， y 随a0向上y 轴x 的增大而减小；x 0 时， y 有最小值 c x0 时， y 随 x 的增大而减小； x0 时， y 随a0向下0 ，cy 轴x 的增大而增大；x 0 时， y 有最大值 c （3） ya x2h 的性质：左加右减。（4

5、） y a x h2k 的性质：4、二次函数 y ax2bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bx c 化为顶点式 ya( xh) 2k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点0 ，c、以及 0 ，c关于对称轴对称的点2h ，c 、与 x 轴的交点 x1 ，0 ， x2，0 （若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点 .5、二次函数 y ax2bx c 的性质1. 当 a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为x

6、b ，顶点坐标为b ，4acb 22a2a4a当 xb时，y 随 x 的增大而减小； 当 xb时，y 随 x 的增大而增大； 当 xb时，y 有最小值 4ac b 22a2a2a4a2.当 a0 时，抛物线开口向下， 对称轴为 xb ，顶点坐标为b ，4acb 2当 xb 时， y 随 x2a2a4a2ab 时， y 随 x 的增大而减小；当2的增大而增大；当xxb时， y 有最大值 4ac b2a2a4 a6、二次函数解析式的表示方法1.一般式： yax2bxc （ a ， b ， c 为常数， a0 ）；2.顶点式： ya( xh)2k （ a ， h ， k 为常数， a0 ）；3.两根

7、式： ya( xx1 )( x x2 ) （ a0 ， x1， x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .知识点四、二次函数、二次方程、二次不等式相同：(1)表达它们的都是式子：函数式、方程式、不等式；(2)它们都含有类似的代数式：ax2bx c ；(3) 它们的代数式都只含有一个未知数( 一元 ) ；(4) 它们的代数式中的未知数的最高次数都是二次。区别：(1) 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的概念范畴分别是函数、方程、不等式；(2) 二次函数中，代数式ax2bxc 等于因变量y；一元二次方程中，代数式ax 2bxc等于零；一元二次不等式中，代数式ax 2bxc 大于或小于零；(3

8、) 图像：二次函数的图像是一条曲线：抛物线；一元二次方程的解是点：二个点或一个点或无点；一元二次不等式的解集是线段或射线。联系：(1) 一元二次方程的知识是研究二次函数和一元二次不等式的基础知识。(2) 令二次函数y ax 2bxc 的 y 0 ，则原式变为一元二次方程ax2bx c =0，令一元二次不等式 ax2bxc 0 的不等号变为等号，则原式变为一元二次方程ax 2bxc =0 。(3)二次函数 yax 2bx c 抛物线与x 轴的两交点的横坐标x1 、 x2（ x1 x2），即为一元二次方程ax 2bxc =0 的两根。（抛物线与 x 轴有一个交点，即方程有二个相同的根；没有交点，即

9、方程无解。）一元二次不等式 ax2bxc 0 解集是： x x1或 x x2 ；对于 ax2bxc 0，解集是： x1 x x2 。 当b 24ac 0 时，图象与 x 轴交于两点 a x1 ，0，b x2 ，0( x1 x2 ) ，其中的 x1 ，x2 是一元二次方程24ac .ax2bxc0 a0 的两根这两点间的距离abx2 x1ba 当0时，图象与 x 轴只有一个交点； 当0 时，图象与 x 轴没有交点 .1当 a0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y0；2当 a0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y0 8、两点间距离公式点 a 坐标为（ x1，y1

10、）点 b坐标为（ x2，y2）。则 ab间的距离，即线段ab的长度为x1x22y1 y22【题型总结】题型一：考查二次函数的定义、性质1、已知以 x 为自变量的二次函数 y( m 2)x 2m2m 2 的图像经过原点，则 m 的值是2、当 m _时，函数 y =(m 2 + m )x m 2 - 2m - 1 是关于 x 的二次函数 .3、下列函数：22221y = 3x ；y = x - x (1 + x ) ； y = x (x + x )- 4 ； y =x 2 + x ； y = x (1 - x ) ，其中是二次函数的是题型二：综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像3、如图

11、，如果函数ykxb 的图像在第一、 二、三象限内，那么函数 ykx 2bx1 的图像大致是（）yyyy110 xo-1 x0 x0 -1 xabcd4、在同一直角坐标系中， 函数y mx m和ymx22x20 ）的图象可能是 （）y（ m 是常数，且 myyyoxoxoxoxabcd题型三：考察图像平移5、把抛物线 yx2向左平移1 个单位，然后向上平移3 个单位 ，则平移后抛物线的解析式为 （）a y( x 1)23b y(x 1)23 c y( x 1)23d y( x 1)236、抛物线 y1 x2向左平移8 个单位，再向下平移9 个单位后，所得抛物线的表达式是（）2a. y=2-9b.

12、 y=2c. y=1 (x-8)221 (x+8)1 (x-8) +9-9 d. y=1 (x+8) +92222题型四：由抛物线的位置确定系数的符号7、二次函数 yax2bxc 的图像如图 1，则点 m (b, c ) 在（）aa第一象限b第二象限c 第三象限d 第四象限8、已知二次函数 y2bxc（ a 0）的图象如图2 所示， ?则下列结论： a 、b 同号； 当 x =1 和 x =3ax时，函数值相等；4 a + b =0；当 y=-2时， x 的值只能取0. 其中正确的个数是（）a 1 个 b2 个 c 3 个 d 4 个(1)(2)题型五：考查用待定系数法求二次函数的解析式9、已

13、知：关于 x 的一元二次方程 ax2bxc3 的一个根为 x2 ，且二次函数 y ax2bx c 的对称轴是直线 x 2，则抛物线的顶点坐标为( )a(2 ， -3)b.(2， 1) c(2 ，3)d(3 ， 2)10、已知一条抛物线经过(0,3) ， (4,6)两点，对称轴为 x5，求这条抛物线的解析式。3题型六：考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值11、已知抛物线2y3。y ax bx c（ a ）与 x 轴的两个交点的横坐标是、 ，与轴交点的纵坐标是01 32（1）确定抛物线的解析式； （2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.【过手训练】1、当 m_时，函

14、数 y =(m -4) x m 2- 5m + 6+3x 是关于 x 的二次函数。2、抛物线 yx2 不具有的性质是（）a、开口向下b、对称轴是y 轴c、与 y轴不相交d 、最高点是原点3、苹果熟了，从树上落下所经过的路程s 与下落时间 t满足 s 1 gt 2（ g 9.8 ），则 s 与 t的函数图像大2致是（）sssstootototabcd4、函数 yax2 与 yax b的图象可能是（）ab c d 5、二次函数 y3 x2 ，当 x1x2 0 时，求 y1 与 y2 的大小关系 .26、函数 y1x3 22的图象可由函数y1x2 的图象向平移 3 个单位，再向平移 222个单位得到

15、 .7、抛物线 yx 26x16 与 x 轴交点的坐标为 _8、二次函数 yx 22x1的图象在 x 轴上截得的线段长为（）a、 2 2b 、 3 2c 、 2 3d 、 3 39、二次函数 y = mx 2+ 2x + m -4m 2 的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是10、已知二次函数y4x 22mxm2 与反比例函数 y2m 4的图象在第二象限内的一个交点的横坐x标是 -2，则 m =11、二次函数 yax 2bxc( a0) 的图象如图所示，对称轴是直线x1 ，则下列四个结论错误的是a c 0b 2ab0c b24ac0 d a bc 012、已知二次函数 yax2bxc 的图象如

16、图所示，有以下结论：ab c 0 ； a b c1； abc0 ； 4a2b c0 ； c a1 其中所有正确结论的序号是（）abcd13、二次函数yax 2bxc(a0) 的图象如图，下列判断错误的是（）a a 0b b 0c c 0d b24ac014 、 二次函数 yax2bx c 的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（）a a 0b c0c b2 4ac 0 d a bc 0y111ox（11 题）（ 12 题）（ 13 题）（ 14 题）15ykx27 x7与x 轴有交点，则k的取值范围是.、已知二次函数16、关于 x 的一元二次方程x 2xn0 没有实数根，则抛物线 yx 2x

17、n 的顶点在第 _象限；17yx22kx2与 x 轴交点的个数为（）、抛物线a 、 0b 、1c、 2d 、以上都不对18、二次函数 yax 2bxc 对于 x 的任何值都恒为负值的条件是（）a 、 a 0,0b、 a0,0c、 a 0,0d、 a 0,019、 yx 2kx1与 yx 2xk 的图象相交，若有一个交点在x 轴上，则 k 为（）a、 0b 、 -1c、 2d 、 1420、若一次函数y(m1)xm 的图象过第一、三、四象限，则函数ymx2mx （）a有最大值 mb有最大值mc有最小值 md有最小值m444421、已知抛物线yx22 x 3 ，若点 p （2 ， 5 ）与点 q

18、关于该抛物线的对称轴对称，则点q 的坐标是22、抛物线 yax 2bxc( a0) 的对称轴是直线x1 ，且经过点 p（ 3，0），则 abc 的值为（）a. 0b. 1c. 1d. 223、二次函数 yax2bxc 的图象过 a (-3,0),b (1,0),c (0,3),点 d 在函数图象上，点 c, d 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数图象过点b, d求（ 1）一次函数和二次函数的解析式；（ 2）写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围 .24、已知二次函数的图象经过点a （ -3,0 ）， b （ 0,3 ）， c （ 2, 5），且另与 x 轴交于 d 点。（1）试确定此二次函数的解析式；（2）判断点 p （ 2,3 ）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出 pad 的面积；如果不在，试说明理由25