第8章反常积分练习

1、反常积分3 1反常积分的概念与计算问题的提出：针对Riemann积分的缺陷要求积分区间有限；被积函数有界再结合1P264两例.广义积分亦称为 Cauchy Riemann积分，或C R积分.一.无穷限广义积分：1.概念和几何意义：-beJf =F(均-F(a).a几何意义：讨论积分y dx0仆20 dxAx2-be df-dx的敛散性.x+x2 计算积分0 x +2x+5讨论以下积分的敛散性-tc1赛-bedx2 x(ln x) P-be讨论积分Jcosxdx的敛散性.a2.无穷积分的性质：f(x)在区间a,+处)上可积,k为常数,则函数k f(x)在区间a,+处)上可-be-be积，且Jkf

2、 (x)dx = k / f (x)dx.aaf (x)和g(x)在区间a, +处)上可积=f(x) g(x)在区间a , +处)上可积,-be-be -be且 J(f g) = Jf Jg.aaa 2反常积分的收敛判别法无穷积分收敛的 Cauchy准则：(翻译 F(A)t B, At +处.)-beTh积分Jf(x)dx收敛二VS 0, 3A, V A：A A,=aJf(x)dx gA绝对收敛与条件收敛绝对收敛=收敛，(定义概念.但反之不确.绝对型积分与非绝对型积分3. 无穷积分判敛法非负函数无穷积分判敛法对非负函数，有F (A) /.非负函数无穷积分敛散性记法比较判敛法：设在区间a, +处

3、)上函数f(X)和g(x)非负且f(X)a , f(X )和g(x)在区间a, A上可积.则-be-be-befg +处=J f 0, lim f = C.则I处g-bei 0 C C=0= g a-be+处时,J f 0 )1设对任何 Aa, f(x)Ca,A,0f(x)1,-be=f f 丄且 p 1,-beJfap Jxex,0 0);0ii J dX.0 Jx +11P324 E6其他判敛法：51Abel判敛法：若f(x)在区间a , +处)上可积，g(x)单调有界，则积分-bea f (x)g(x)dx收敛.Dirichlet 判敛法：A设F(A)=f在区间a,+处)上有界，g(x)

4、在a )上单调,且当XT 时,-beg(x) T 0.则积分 J f(x)g(x)dx收敛.a-bCi例6讨论无穷积分竺竺J P1 xpcosxdx与f 一 dx ( P 0)的敛散性.1 xp例7例7证明下列无穷积分收敛，且为条件收敛：9-beJsin x2dx,1-beJcosx2dx,1-befxsin x4dx.1例8 (乘积不可积的例一，sin X f(xr，-beX r 1, +处).由例6的结果，积分J f (x)dx1-be收敛.但积分J f(X)f (x)dx1乂.2-_ dx却发散.(参阅例6 )1 x反常积分：先介绍函数的瑕点.1.瑕积分的定义：以点b为瑕点给出定义.然后

5、就点a为瑕点、点C迂(a,b)为瑕点以及有多个瑕点的情况给出说明例9 判断积分f dx 的敛散性.0、氏例10讨论瑕积分f直(q 0)的敛散性，并讨论积分f-dx的敛散性.0 xq0xp2.瑕积分与无穷积分的关系：设函数f(x)连续，b为瑕点.有bJf(x)dxa/b-X丄dt,把瑕积分化成了无穷积分t2-he设 a 0,有 fg(x)dx =a0Jg1a1 ）2，把无穷积分化成了瑕积分可见,瑕积分与无穷积分可以互化.因此,它们有平行的理论和结果例11Th （推论推论J器dx,（注意被积函数非正0 Jx).证明瑕积分；sinldx当2时收敛.0 XX11 r 牲jntr = f驴dt,由例6

6、,该积分当a 2时收敛. JJ 2_a01 L1.瑕积分判敛法：比较原则）见教材Th10-23.1 （ Cauchy判别法）2 （ Cauchy判别法的极限形式）例12判别下列瑕积分的敛散性址a4例13讨论非正常积分0訂严的敛散性.三.C R积分与R积分的差异：1. f(x) Ra,b=在a,b上 f(x) =0(1)；但 f (x)在区间a ,+述)上可积,0 f（X）在区间a,+处）上有界.例如函数f(xTn,X = n,X汨但X Hn.2. f(x)亡 Ra,b,二f（X）I忘Ra,b,但反之不确.R积分是绝对型积分.| f(x) |在区间a,+处)上可积=f(x)在区间a,+oc)上可积，但反之不确.C R积分是非绝对型积分.3. f(X), g(x) Ra,b = f