第十五章 机械振动基础[高等教学]

1、 理论力学多媒体课件 单单 位：理学院工力系位：理学院工力系 制作人：商制作人：商 泽泽 进进 时时 间：间：20132013、0303 1严选课件 第十五章 机械振动基础 理论力学理论力学 2严选课件 理论力学理论力学 机械振动基础 振动是日常生活和工程实际中常见的现象。振动是日常生活和工程实际中常见的现象。 例如：钟摆的往复摆动，汽车行驶时的颠簸，电动例如：钟摆的往复摆动，汽车行驶时的颠簸，电动 机、机床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的机、机床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的 振动等。振动等。 利利：振动给料机：振动给料机 弊弊：磨损，减少寿命，影响强度：磨损，减少寿命，影

2、响强度 振动筛振动筛 引起噪声，影响劳动条件引起噪声，影响劳动条件 振动沉拔桩机等振动沉拔桩机等 消耗能量，降低精度等。消耗能量，降低精度等。 3. 3. 研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利 用振动为人类服务。用振动为人类服务。 2. 2. 振动的利弊：振动的利弊： 1. 1. 所谓所谓振动振动就是系统在就是系统在平衡位置平衡位置附近作往复运动。附近作往复运动。 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础 3严选课件 理论力学理论力学 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础 机械振动基础 按振动产生的原因分类：按振动产生的原因分

3、类： 自由振动：自由振动： 无阻尼的自由振动无阻尼的自由振动 有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动 受迫振动：受迫振动： 无阻尼的受迫振动无阻尼的受迫振动 有阻尼的受迫振动有阻尼的受迫振动 自激振动自激振动 本章重点讨论本章重点讨论单自由度系统单自由度系统的的自由振动自由振动和和受迫振动受迫振动。 4. 振动的分类：振动的分类： 单自由度系统的振动单自由度系统的振动 按振动系统的自由度分类按振动系统的自由度分类 多自由度系统的振动多自由度系统的振动 连续体的振动连续体的振动 4严选课件 理论力学理论力学 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础 机械振动基础 第十五章第十五章 机械振动基础机

4、械振动基础 q单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 q计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法 q单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 q单自由度系统的无阻尼受迫振动单自由度系统的无阻尼受迫振动 q单自由度系统的有阻尼受迫振动单自由度系统的有阻尼受迫振动 q转子的临界转速转子的临界转速 q隔振隔振 5严选课件 理论力学理论力学 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础 单自由度系统的自由振动 1.1.自由振动微分方程自由振动微分方程 l l0 0 弹簧原长；弹簧原长； k k 弹簧刚度系数；弹簧刚度系数； st st 弹簧的静变形；弹簧的静变形； 取静平衡位置

5、为坐标原点，取静平衡位置为坐标原点，x 向下为正，则有：向下为正，则有： kPkP stst / kxxkPFP dt xd m st )( 2 2 恢复力：恢复力：物体偏离平衡位置后受到的与偏离距离成正比且物体偏离平衡位置后受到的与偏离距离成正比且 与偏离方向相反的合力与偏离方向相反的合力 l0 k k x O x l0 st F P l0 m k st 6严选课件 理论力学理论力学 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础 单自由度系统的自由振动 kx dt xd m 2 2 只在只在恢复力恢复力作用下维持的振动称为作用下维持的振动称为无阻尼自由振动无阻尼自由振动 令令 ，则，则 m

6、 k 2 0 0 d d 2 0 2 2 x t x 无阻尼自由振动微分方程无阻尼自由振动微分方程的标准形式。二阶齐次线性常系的标准形式。二阶齐次线性常系 数微分方程，其通解为数微分方程，其通解为 积分常数积分常数 210201 ,sincosCCtCtCx 21 2 2 2 1 /tan,CCCCA: :令令 )sin( 0 tAx 7严选课件 理论力学理论力学 )sin( 0 tAx 无阻尼自由振动是无阻尼自由振动是简谐振动简谐振动 2. 2. 无阻尼自由振动的特点无阻尼自由振动的特点 （1 1）固有频率）固有频率 无阻尼自由振动是无阻尼自由振动是简谐振动简谐振动，是一种，是一种周期振动周

7、期振动 2)( 00 tTt f T T 2 1 2; 2 0 0 则周期周期 f 称为振动的称为振动的频率频率，单位为，单位为1/s或或Hz 0 称为称为圆频率（固有频率）圆频率（固有频率），表示每，表示每2 秒内振动的次秒内振动的次 数，单位为数，单位为rad/s，只与系统的质量m和刚度系数和刚度系数k有关。有关。 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础 单自由度系统的自由振动 8严选课件 理论力学理论力学 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础 单自由度系统的自由振动 m k 2 0 st Pk/ gPm/ st 0 g 只要知道重力作用下的静变形，就可求得系统的固有频率

8、。只要知道重力作用下的静变形，就可求得系统的固有频率。 （2 2）振幅与初相位）振幅与初相位 )sin( 0 tAx A相对于振动中心O的最大位移，称为振幅振幅。 0 t + 决定了质点在某瞬时 t 的位置，称为相位相位。 决定质点运动的初始位置，称为初相角初相角。 振幅A和初相角 两个待定常数由运动的初始条件初始条件确定。 00, 0vvxxt 时， 9严选课件 理论力学理论力学 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础 单自由度系统的自由振动 )sin( 0 tAx )cos( 00 tA dt dx v 00, 0vvxxt 时， cos,sin 000 AvAx 0 00 2 0

9、 2 0 2 0 tan, v xv xA 10严选课件 理论力学理论力学 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础 单自由度系统的自由振动 例例 题题 15.1 提升重物系统中，钢丝绳的横提升重物系统中，钢丝绳的横 截面积截面积A A2.892.891010 4 4m m2 2，材料的弹性模量 ，材料的弹性模量E E 200GPa200GPa。重物的质量重物的质量m m6000kg6000kg，以匀速以匀速 v v 0.25m/s 0.25m/s 下降。当重物下降到下降。当重物下降到 l l 25m 25m 时，钢丝绳上端突然被卡住。时，钢丝绳上端突然被卡住。 求求：（：（1 1）重物

10、的振动规律重物的振动规律； （2 2）钢丝绳承受的最大张力。）钢丝绳承受的最大张力。 解：解：（1 1）重物的振动规律）重物的振动规律 钢丝绳重物系统可以简化为弹簧钢丝绳重物系统可以简化为弹簧质量质量系统系统，弹簧的刚度为弹簧的刚度为 N/m10312. 2 6 l EA k v l m 11严选课件 理论力学理论力学 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础 单自由度系统的自由振动 设钢丝绳被卡住的瞬时设钢丝绳被卡住的瞬时t t0 0，这时重物的位置这时重物的位置 为初始平衡位置；以重物在铅垂方向的位移为初始平衡位置；以重物在铅垂方向的位移x x作为作为 坐标，则系统的振动方程为坐标，

11、则系统的振动方程为 方程的解为方程的解为 利用初始条件利用初始条件 求得求得 1 00 s63.19)sin( m k tAx其中 vvxt 00 , 0,0时 m0127. 0; 0 0 v A txsin19.630127. 0重物的运动方程为重物的运动方程为 kxxkmg dt xd m st )( 2 2 m k 静平衡位置静平衡位置 O x 12严选课件 理论力学理论力学 （2 2）钢丝绳承受的最大张力。）钢丝绳承受的最大张力。 取重物为研究对象取重物为研究对象 txsin19.630127. 0 tmAPF tmAxmFP T T 0 2 0 0 2 0 sin sin kN2 .

12、88 )( 2 0 2 0max AgmmAPF T m k 静平衡位置静平衡位置 O x m x P 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础 单自由度系统的自由振动 FT 13严选课件 理论力学理论力学 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础 单自由度系统的自由振动 例题15.2 均质等截面悬臂 梁，长度为 l，弯曲刚度为 EI。梁的自由端放置一质量 为m的物块，其静挠度为st。 若不计梁的质量，物块在梁 未变形位置处无初速释放， 求系统的振动规律。 解：此无重弹性梁相当 于一个弹簧，其静挠度相 当于弹簧的静伸长，则梁 的刚度系数为 EI mgl EI Pl 33 33 st

13、 3 st 3 l EImg k l 固定端 m EI l 固定端 st O x 14严选课件 理论力学理论力学 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础 单自由度系统的自由振动 x st m EI l 固定端 O x P=mg F 分析物块运动到 任意位置(坐标为x) 时的受力，有 kxxkmg t x m st )( d d 2 2 设 ，则 m k 2 0 0 d d 2 0 2 2 x t x 上述振动微分方程的解为 st g m k tAx 00 )sin(其中 15严选课件 理论力学理论力学 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础 单自由度系统的自由振动 初始条件为初

14、始条件为 0, 00 vx st 振幅为振幅为 st v xA 2 0 2 0 2 0 2 )arctan(arctan 0 00 v x 初相角为初相角为 系统的自由振动规律为系统的自由振动规律为 ) 3 cos( 3 ) 2 sin( 3 3 t ml EI EI mgl t g x st st 16严选课件 理论力学理论力学 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础 单自由度系统的自由振动 3. 3. 弹簧的并联与串联弹簧的并联与串联 （1 1）弹簧并联）弹簧并联 并 联 21 2 2 1 1 , FFmg k F k F st 等效弹簧刚度系数）( , )( 21 21 21 k

15、kk kk mg kkmg eq stst eq steq , k mg kmg st 或即 则此并联系统的固有频率为则此并联系统的固有频率为 m kk m k 21 eq 0 17严选课件 理论力学理论力学 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础 单自由度系统的自由振动 串 联 ) 11 ( 2121 21 kk mg k mg k mg ststst （2 2）弹簧串联）弹簧串联 21 21 eq 21eq ) 11 ( kk kk k kk mg k mg st 则此串联系统的固有频率为则此串联系统的固有频率为 )( 21 21 eq 0 kkm kk m k 18严选课件 理论

16、力学理论力学 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础 单自由度系统的自由振动 （3 3）多个弹簧的并联和串联）多个弹簧的并联和串联 n n个弹簧个弹簧并联并联后的等效刚度系数后的等效刚度系数 n n个弹簧个弹簧并联并联系统的固有频率系统的固有频率 m kkk m k n 21 eq 0 n n个弹簧个弹簧串联串联后的等效刚度系数后的等效刚度系数 n n个弹簧个弹簧串联系串联系统的固有频率统的固有频率 m kkk m k n 111 1 21 eq 0 n kkkk 21eq n kkk k 111 1 21 eq 19严选课件 理论力学理论力学 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振

17、动基础 单自由度系统的自由振动 例题例题15.3 15.3 图示系统中有四根铅直弹簧，图示系统中有四根铅直弹簧， 它们的刚度系数分别为它们的刚度系数分别为 k1 、 k2 、 k3 、 k4 且且k1 =2 k2 =3 k3=4 k4 。假设质量为。假设质量为m 的物块被限制在光滑铅直滑道中作平的物块被限制在光滑铅直滑道中作平 动。试求此系统的固有频率。动。试求此系统的固有频率。 解解：（：（1）计算）计算3、4的等效刚度的等效刚度 （2）计算）计算2、3、4的等效刚度的等效刚度 1 43 43 34 7 1 k kk kk k 1342234 14 9 kkkk k4 k3 k2 k1 m

18、20严选课件 理论力学理论力学 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础 单自由度系统的自由振动 k4 k3 k2 k1 m （3 3）计算系统的等效刚度）计算系统的等效刚度 （4 4）计算系统的固有频率）计算系统的固有频率 12341eq 14 23 kkkk m k m k 14 23 1 eq 0 21严选课件 理论力学理论力学 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础 单自由度系统的自由振动 4.4.其他类型的单自由度振动系统其他类型的单自由度振动系统 工程上很多振动系统都可以用相同形式的运动微分工程上很多振动系统都可以用相同形式的运动微分 方程表示方程表示 t 2 2 d

19、 d k t JO 扭振系统扭振系统 由刚体转动微分方程有由刚体转动微分方程有 令 ，则 O t J k 2 0 0 d d 2 2 2 t O J O t k 22严选课件 理论力学理论力学 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础 单自由度系统的自由振动 例题例题15.4 15.4 图示结构中，不计图示结构中，不计 质量的杆质量的杆OAOA在水平位置处于在水平位置处于 平衡，若，若k、m、a、l 等均为等均为 已知。已知。求：系统微振动的固求：系统微振动的固 有频率。有频率。 解：取静平衡位置为其坐标原点，解：取静平衡位置为其坐标原点， 由刚体转动微分方程，有由刚体转动微分方程，有

20、在静平衡位置处，有在静平衡位置处，有 coscos d d 2 2 Famgl t JO )sin( st akF sin, 1cos akmgl st 考虑到微转角，则考虑到微转角，则 mg m k a l OA F 23严选课件 理论力学理论力学 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础 单自由度系统的自由振动 2 st 2 2 )( d d ka aakmgl t JO 0 d d 2 2 2 O J ka t m k l a J k a O 0 mg F m k a l OA 在静平衡位置处，有 coscos d d 2 2 Famgl t JO )sin( st akF sin

21、, 1cos akmgl st 考虑到微转角，则 24严选课件 理论力学理论力学 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础 计算固有频率的能量法 k x O x l0 st 物块的动能为物块的动能为 取静平衡位置为零势能点，有取静平衡位置为零势能点，有 在静平衡位置处，有在静平衡位置处，有 )sin( 0 tAx )cos( d d 00 tA t x v )(cos 2 1 2 1 0 222 0 2 tAmmvT mgxxkV)( 2 1 2 st 2 st mgk st )(sin 2 1 2 1 0 222 tkAkxV 25严选课件 理论力学理论力学 当前位置：理论力学 动力学

22、第十五章机械振动基础 物块在平衡位置处，其动能最大物块在平衡位置处，其动能最大 物块在偏离平衡位置的物块在偏离平衡位置的 极端处，其势能最大极端处，其势能最大 无阻尼自由振动系统是保守系统，系统的机械能守恒无阻尼自由振动系统是保守系统，系统的机械能守恒 )(cos 2 1 2 1 0 222 0 2 tAmmvT )(sin 2 1 2 1 0 222 tkAkxV 22 0max 2 1 AmT 2 max 2 1 kAV maxmax VT m k 0 计算固有频率的能量法 26严选课件 理论力学理论力学 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础 计算固有频率的能量法 解：设解：设O

23、A杆作自由振动时，杆作自由振动时， 其摆角其摆角 的变化规律为的变化规律为 系统的最大动能为系统的最大动能为 系统的最大势能为系统的最大势能为 由机械能守恒定律有由机械能守恒定律有 例题例题15.5 15.5 由能量法解由能量法解 例题例题15.415.4 )sin( 0 tA 2 0 222 maxmax 2 1 )( 2 1 AmllmT 222 maxmax 2 1 )( 2 1 AkaakV maxmax VT m k l a 0 m k a l OA 27严选课件 理论力学理论力学 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础 计算固有频率的能量法 例题例题15.6 半径为半径为r

24、、质量为质量为 m的均质圆柱体，的均质圆柱体， 在在固定不固定不 动、动、半径为半径为 R 的刚性圆槽内的刚性圆槽内 作纯滚动作纯滚动 。 求：求：1 1、圆柱体的运动微分方程；、圆柱体的运动微分方程； 2 2、微振动固有频率。、微振动固有频率。 R C O 28严选课件 理论力学理论力学 （用第二类拉格朗日方程解）（用第二类拉格朗日方程解） 由运动学可知：由运动学可知： 解：取摆角解：取摆角 为广义坐标，则系统的动能为广义坐标，则系统的动能 系统的势能系统的势能 拉格朗日拉格朗日 函数为函数为 22 2 1 2 1 CCC JmvT r rR r v rRv C C C )( )( 22 )

25、( 4 3 rRmT cos)(rRmgV cos)()( 4 3 22 rRmgrRmVTL 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础 计算固有频率的能量法 R C O 29严选课件 R C O 2 )( 2 3 rRm L sin)(rRmg L 2 )( 2 3 )( d d rRm L t 0)( d d LL t 0sin)( 2 3 grR 0 )( 3 2 rR g 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础 计算固有频率的能量法 )( 3 2 0 rR g 微振动固有频率为微振动固有频率为 30严选课件 理论力学理论力学 例例15.7 15.7 用能量法求固有频率用能

26、量法求固有频率 解：设摆角解：设摆角 的变化规律为的变化规律为 系统的最大动能为系统的最大动能为 取平衡位置处为零势能点，则系统的势能为取平衡位置处为零势能点，则系统的势能为 )sin( 0 tA 2 0 22 2 max 2 max )( 4 3 )( 4 3 ArRm rRmT 2 sin)(2)cos1)( 2 rRmgrRmgV sin 考虑到微转角，则考虑到微转角，则 2 )( 2 1 rRmgV 2 max )( 2 1 ArRmgV 计算固有频率的能量法 R C O 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础31严选课件 理论力学理论力学 计算固有频率的能量法 当前位置：理论

27、力学 动力学第十五章机械振动基础 由机械能守恒定律有由机械能守恒定律有 maxmax VT )(3 2 0 rR g R C O 32严选课件 理论力学理论力学 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 阻尼阻尼振动过程中的阻力。振动过程中的阻力。 干摩擦力，润滑表面阻力，液体或干摩擦力，润滑表面阻力，液体或 气体等介质的阻力、材料内部的阻力。气体等介质的阻力、材料内部的阻力。 当振动速度不大时，由当振动速度不大时，由介质粘性介质粘性引引 起的阻力近似地与起的阻力近似地与速度速度的一次方成正的一次方成正 比，这种阻尼称为比，这种阻

28、尼称为粘性阻尼。粘性阻尼。 c c粘性阻粘性阻力力系数系数（阻阻力力系数系数） 1. 阻尼阻尼 k m c vF c d 33严选课件 理论力学理论力学 单自由度系统的有阻尼自由振动 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础 2. 2. 振动微分方程振动微分方程 取平衡位置为坐标原点，在建取平衡位置为坐标原点，在建 立此系统的振动微分方程时，立此系统的振动微分方程时， 可以不再计入重力的影响。可以不再计入重力的影响。 物块的运动微分方程为物块的运动微分方程为 kxF e 弹性恢复力弹性恢复力 粘性阻尼力粘性阻尼力 t x cF d d d t x ckx t x m d d d d 2

29、2 令 m c m k 2 , 2 0 m k m c x O Fe Fd v 阻尼系数阻尼系数 0 d d 2 d d 2 0 2 2 x t x t x 34严选课件 理论力学理论力学 单自由度系统的有阻尼自由振动 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础 本征方程本征方程 本征根本征根 本征根为实数或复数时，通解的形式不同，运动本征根为实数或复数时，通解的形式不同，运动 规律有很大的不同。规律有很大的不同。 设其解为设其解为 振动微分方程的通解为振动微分方程的通解为 0 d d 2 d d 2 0 2 2 x t x t x t r xe 02 2 0 2 rr 2 0 2 2 2

30、 0 2 1 r r trtr CCx 21 ee 21 35严选课件 理论力学理论力学 单自由度系统的有阻尼自由振动 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础 3. 欠阻尼状态欠阻尼状态 振动微分方程的解为振动微分方程的解为 利用初始条件利用初始条件 求得求得 或或 当当 0 时，阻力系数时，阻力系数 ，称为，称为过阻尼状 态。本征方程有两个不等的实根，即：本征方程有两个不等的实根，即： cr cc 振动微分方程的解为振动微分方程的解为 C1和和C2两个积分常数由运动的两个积分常数由运动的初始条件决定。决定。 )ee(e 2 0 22 0 2 21 tt t CCx 2 0 2 2 2

31、 0 2 1 ;rr , , 0 00 vvxxt 时 2 0 2 00 2 0 2 2 2 0 2 0 2 0 2 0 1 2 )( ; 2 )( vx C xv C 所示规律已不是周期性的了，随时间的增长，所示规律已不是周期性的了，随时间的增长， x 0，不具备振动特性。，不具备振动特性。 41严选课件 理论力学理论力学 单自由度系统的有阻尼自由振动 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础 例题例题15.8 质量弹簧系统，质量弹簧系统，P=150N， st=1cm , A1=0.8cm, A21=0.16cm。求阻尼系数。求阻尼系数c 。 20 21 20 3 2 2 1 21 1

32、 )( d T e A A A A A A A A 解：解： 20 )( 16. 0 8 . 0 d0T e 2 0 0 d0 1 220 205ln T 由于 很小，405ln )s/cmN(122. 0 9801 150 2 40 5ln 2 40 5ln 2 2 st P g P mkc 42严选课件 理论力学理论力学 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础 单自由度系统的无阻尼受迫振动单自由度系统的无阻尼受迫振动 受迫振动的概念受迫振动的概念 受迫振动：在外加激振力作用下的振动。受迫振动：在外加激振力作用下的振动。 简谐激振力：简谐激振力： H力幅；力幅； 激振力的角频率激振力

33、的角频率 ； 激振力的初相位。激振力的初相位。 )sin(tHF )sin(tHkxx m 则令 , 2 0 m H h m k )sin( 2 0 thx x 无阻尼受迫振动微分方程的标无阻尼受迫振动微分方程的标 准形式，二阶常系数非齐次线准形式，二阶常系数非齐次线 性微分方程。性微分方程。 1、振动微分方程、振动微分方程 43严选课件 理论力学理论力学 单自由度系统的无阻尼受迫振动 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础 )sin( )sin( 2 01 tbx tAx 为对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解 为特解为特解 )sin( , 22 0 2 22 0 t h x h

34、b )sin()sin( 22 0 0 t h tAx 全解为：全解为： 稳态受迫振动稳态受迫振动 21 xxx 3、受迫振动的、受迫振动的振幅振幅大小与运动初始条件无关，而与振动大小与运动初始条件无关，而与振动 系统的系统的固有频率固有频率、激振力的、激振力的频率频率及激振力的及激振力的力幅力幅有关。有关。 2. 受迫振动的振幅受迫振动的振幅 1、简谐激振力简谐激振力下，单自由度系统受迫振动亦为下，单自由度系统受迫振动亦为简谐振动简谐振动。 2、受迫振动的频率等于简谐激振力的频率，与振动系统、受迫振动的频率等于简谐激振力的频率，与振动系统 的质量及刚度系数无关。的质量及刚度系数无关。 44严

35、选课件 理论力学理论力学 单自由度系统的无阻尼受迫振动 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础 (1) 0时时 k Hh b 2 0 0 (2) 时，振幅时，振幅b随随 增大而增大；当增大而增大；当 时，时， 0 b 0 0 rad (3) 时，振动相位与激振力相位反相，差时，振动相位与激振力相位反相，差 。 0 22 0 h b b 随随 增大而减小；增大而减小； 0 ; , 2 00 bbb时时 振幅比或称动力系数振幅比或称动力系数 频率比频率比 曲线曲线 振幅频率曲线振幅频率曲线 （幅频特性曲线，共振曲线）（幅频特性曲线，共振曲线） 1 45严选课件 理论力学理论力学 单自由度系

36、统的无阻尼受迫振动 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础 3、共振现象、共振现象 , 0时 b，这种现象称为，这种现象称为共振共振。 此时，此时，)cos( 02 tBtx )cos( 2 2 , 2 0 0 2 00 tt h x t h b h B 46严选课件 理论力学理论力学 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础 单自由度系统的有阻尼受迫振动单自由度系统的有阻尼受迫振动 tHFxcFkxF de sin , , tHxckxxmsin 将上式两端除以将上式两端除以m ，并令，并令 m H h m c m k ; 2 ; 2 0 thxxxsin2 2 0 有阻尼受迫

37、振动有阻尼受迫振动微分方程的标准形式，二阶常系数非微分方程的标准形式，二阶常系数非 齐次微分方程。齐次微分方程。 21 xxx 47严选课件 理论力学理论力学 单自由度系统的有阻尼受迫振动 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础 x1是齐次方程的通解是齐次方程的通解)02( 2 0 xxx 欠阻尼：欠阻尼：)sin( 22 01 tAex t （A、 积分常数，取决于初始条件）积分常数，取决于初始条件） x2 是特解：是特解：)sin( 2 tbx代入标准形式方程并整理代入标准形式方程并整理 22 0 22222 0 2 tg 4)( h b 受迫振动的振幅受迫振动的振幅 受迫振动相位滞后激振力相位角受迫振动相位滞后激振力相位角 振动微分方程的全解为振动微分方程的全解为 )sin()sin( 22 0 tbtAex t 衰减振动衰减振动 强迫振动强迫振动 48严选课件 理论力学理论力学 当前位置：理论力学 动力学第十五章机械振动基础 单自由度系统的有阻尼受迫振动 振动开始时，二者同时存在的过程振动开始时，二者同时存在的过程瞬态过程瞬态过程。 仅剩下受迫振动部分的过程仅剩下受迫振动部分的过程稳态过程稳态过程（需着重讨（需着重讨 论部分）论部分） 000 ; , b b 令 频率比频率比 振幅比振幅比 阻尼比阻尼比 因此：因此： 2 2222