行列式的解法技巧毕业论文

1、2一、行列式的基木理论（一）行列式定义（二）行列式的性质（三）基木理论（四）几种特殊行列式的结果2244二、行列式的计算技巧（一）定义法（二）化成三角形行列式法（三）两条线型行列式的计算（四）箭型行列式的计算（五）三对角行列式的计算（六）利用范德蒙行列式（七）HESSENBERG型行列式的计算（八）降阶法（九）加边法（升阶法）（十）计算行（列）和相等的行列式（十一）相邻行（列）元素差1的行列式计算 （十二）线性因子法（十三）辅助行列式法（十四）H阶循环行列式算法（十五）有关矩阵的行列式计算（十六）用构造法解行列式（十七）利用拉普拉斯展开.5.5.7.8.81010111213141516171

2、81920三、用多种方法解题2125参考文献:25行列式的解法技巧摘要:行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应 用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。本文先阐述行列式的基本理论，然后介绍各种具体的方法，最后由行列式与加它知识的联系介绍貝它几种方法。通过这一系列的方法进一步提高我们对行列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益关键词:行列式，矩阵，范德蒙行列式，递推法Determinant of the solution techniqueAbstract: Determinant is an basic and important subject in advanced

3、algebra .it is very useful in malhcmatic. It is very imporiant to know how to calculate determinant. The paper first introduced the basic nature of deienninant,then introduced some methods, Finally.with the other delerniinani of knowledge on the links in several other ways.through this series of met

4、hods will fuihcr enhance our understanding of the dcicrminant.on our learning will bring very useful help.Keywords: Determinant, matrix, Vandermonde Determinantrecurrence method行列式在高等代数课程中的重要性以及在考研中的重要地位使我们有必要对行列式进行较深入的认识，木文对行列式的解题技巧进行总结归纳。作为行列式木身而言，我们除了利用行列式的性质化三角行列式和按行或列展开公式使行列式降阶这些常用的手法外，要根据行列式不同

5、的特点采用特殊的方法，如递推法，数学归纳法，加边法（升阶法），以及利用范德蒙行列式的结论等等。一、行列式的基本理论（一）行列式定义定义行列式与矩阵不同，行列式是一个值，它是所有不同行不同列的数的积的和，那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有关，逆序数如么22之和为偶数符号为正，逆序数之和为奇数符号为负。这一定义可以写P / 八F(丿“2人)L (1)552 ,这里加2力1表示对所有级排列求和.（二）行列式的性质1、行列式的行列互换，行列式不变;11山2521521222”=1222叫2552%2、互换行列式中的两行或者两列，行列式反号;1112如5ln细5磁2% %2知5%d川%3、行列式中某行

6、乘以一个数等于行列式乘以这个数;4、5“124n(“2%=k2gh2 %ri2%行列式的某两行或者某两列成比例,|1如 |11252他如% m:=k:kg阳2如2 %你2nl%=0行列式为零;245、行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时,行列式可拆另两个行列式的和。1211勺+C| b, +C2叽+5hy 6、把一行的倍数加到另一行，行列式不变。7、行列式有两行（列）相同，则行列式为零。（三）基木理论1宀|+勺22+ 4加 =m jfjH丿其中每为元素呦代数余子式。yj = j2.降阶定理=AD-CATB3.4. |AB| = |A|B5.非零矩阵k左乘行列式的某一行加到另一行上，

7、则新的分块行列式与原来相等。（四）几种特殊行列式的结果1.三角行列式1104 2“221 a=5|422 （上三角行列式）2122=q “22% （下三角行列式）242.对角行列式1100“2211“12如021幺2252%D =3.对称与反对称行列式满足知=aji（i = 1,2= 1,2 ）, D称为对称行列式0“32行列式。若阶数n为奇数时,满足知=-”0 = 12 ） * D称为反对称I11“3144. D =a；心=n（q一 9）“iT仇则D=0二、行列式的计算技巧例1计算行列式D =0佝0012“32“42“52绚3 23 3创3024000如%00（一）定义法解：由行列式定义知/

8、）=为（-1）57。肿2八且皿即=0 ,所以h几D的非零项j,只能取2或3,同理由41=% =“45 =绚4 =“55 =0，因而4 75只能取2或3,又因Ji人要求各不相同，故卅S勺5项中至少有一个必 须取零，所以D=0。（二）化成三角形行列式法将行列式化为上三角形行列式计算步骤，如果第一行第一个元素为 零，首先将第一行（或第一列）与其它任一行（或列）交换，使第一行第一个 元素不为零，然后把第一行分别乘以适当数加到英它各行，使第一列除 第一个元素外其余元素全为零，再用同样的方法处理除去第一行加第一列余下的低阶行列式依次做下去，直至是它成为上三角形行列式，这时主对角线上元素的乘积就是行列式的值

9、。例2计算行列式2 =解J各行加到第一行中去a + (n -ib a + (n 一 b a0a-b000a-ha-b例3计算行列式h-2n-i解：从倒数第二行(J)倍加到第n行123 /I-Inn(n +1)23 /I-III111 I1 - n11 11I11l-1将所有列加到第一列上-011 1111-/I1 1101-1 111-M( + !)2第-行的I）倍加各行上呼11-/I一 n n1一一nn + )2-nn呛? + 1),-2 (j)n0-1一 0八.、jr-l(1 + nn（三）两条线型行列式的计算除了较简单的行列式（如上、下三角行列式等）可以用定义直接计算，少数几类行列式可利

10、用行列式性质直接计算外,一般行列式计算的主要方法是利用行列式的性质做恒等变形化简，使行列式中出现较多的三角行列式零元素，然后直接用特殊的行列式的值来计算（如上（下） 等）或利用按行（列）展开定理降低行列式的阶数。解:计算阶行列式D = 0000- 00 000- 0:-+(-1 严0- 000勺一1:000000按第1列展开得D =“心4”十（1严卯?2仇.（四）箭型行列式的计算的所对于形如谓箭型（或爪形）行列式，可以直接利用行列式性质化为三角或次三角 形行列式来计算，即利用对角元素或次对角元素将一条边消为零。例5计算行列式2 =ItD.=rCn0/III-0iHn-h11（一E厂一匚（五）三

11、对角行列式的计算对于形如的所谓三对角行列式，可直接展开得到两项递推关系+0D”_2，然后采用如下的一些方法求解。方法1如果n比较小，则直接递推计算方法2结论也成立,用第二数学归纳法证明：即验证时结论成立，设”MR时 若证明n二k+1时结论也成立，则对任意自然数相应的结论成立方法3将Q = ”2“ +阳“变形为D” - pD,z =q（D+pD其中 p + q = a、一 pq =卩 由韦达定理知p和q是一兀二次方程x -ax-P = 0的两个根。确定p和q后，令/W=-pAr-i*则利用递推求出/（）再由2 =+ /W递推求出2 O方法 4 设D” = x,代入-aDg-0g2 =0得x-ai

12、-0 = O (称之为 特征方程），求出其根X和 （假设冋工孔），则2=用+灯对，这里人,可通过n=l和n=2来确定。例6计算行列式% =0apa + 0解：将行列式按第展开,2 =(a + 0)入一妙卩2 - aQ” 0(2 -丿D厂 0D= a(Dnd - 02得 6 -叽=H (g - aD ) = =严(2 -aDJ =护同理，得Q-如厂( + l)a 9 a = P；所以a”+i_0“+i2丰队 I a-卩（六）利用范德蒙行列式范德蒙行列式具有逐行元素递增的特点。因此遇到具有逐行（或列）元素方幕递增或递减的所谓范德蒙型的行列式时，可以考虑将其转化为范德蒙行列式并利用相应的结果求值11

13、 1A| + 1%2 +1兀+12Xj +%2人力+X “A-ln-2nJ .n-2n-1 ,J1-：+旺也 +X&+兀例7计算行列式D =解：把第1行的一1倍加到第2行，把新的第2行的一1倍加到第3 行，以此推直到把新的第舁-1行的倍加到第行，便得范德蒙行列式（七）Hessenberg型行列式的计算对于形如所谓Hessenberg型行列式，可直接展开得到递推公式，也可利用行列式的性质化简并降阶。例8计算行列式2 =1 21-12-2n-2解：将第1, 2n-l列加到第n列,2 -211-2 -(n- 2)-(n-2)n-=(一 1 严(n + 1)!（八）降阶法将行列式的展开定理与行列式性质

14、结合使用，即先利用性质将行列式的某一行（或某一列）化成仅含一个非零元素，然后按此行（列）展开，化成低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式直接计算出结果。a ha- h-/ /Ccc=(a b)(a c)(a d)b c)h d)(c d)(a + b + c + J=(Z? a)(c 一 a)(d - a)左边1a0b-a0 0c ad ab_ac aJ7d -a.J -J-b- - a-c- -a- J-a-=Ir -crc -a-, -1 -,d(c- +r)(c -r)(J- +a-)(/-a-)h + a= (b a)(c - a)(d - a)(d b)(b- +a(

15、a + h) (c +a)(c + a) (a + d)(d + a)(c +he + h) + a(c + h) (2, n HO一 2勺L% + %2=1=(-2严 n(2)2-口A=I（九）加边法（升阶法）行列式计算的一般方法是降阶，但对于某些特殊的n阶行列式，如除对角元（或次对角元）外，其余元素相同或成比例的行列式，有时加上一行一列变成n+1阶的行列式，特别是第1列为（1,00）并适当选择第1行的元素，就可以使消零化简单方便，且化简后常变成箭型行列式,这一方法称为升阶法或加边法例10计算n阶行列式2 =x + a53叫x + a“3叫X + “3叫I3Wr； 一人(j = 2,9 +

16、1)(h0X-Un00七7=1 X1+工宁0（十）计算行（列）和相等的行列式对于各行（或各列）之和相等的行列式，将其各列（或各行）加到第1列（或行）或第n列（或行），然后再化简。例11计算n阶行列式2 =n-i 1解： Da +Cf(i = 12-1)-1 1-ri(/= 23-h)0-1 0=(-1)F (-!)S+2)(/r-l)G_l)=(_l)5_1)（十一）相邻行（列）元素差1的行列式计算以数字1, 2, - -n为（大部分）元素，且相邻两行（列）元素差1的n阶行列式可以如下计算：自第1行（列）开始，前行（列）减去后行（列）；或自第n行（列）开始，后行（列）减去前行（列），即可出现大

17、量元素为1或一1的行列式，再进一步化简即出现大量的零元素。对于相邻行（列）元素相差倍数k的行列式，采用前行（列）减去后行（列）的一k倍，或后行（列）减去前行（列）的一k倍的步骤，即可使行列式中出现大量的零元素。例12计算n阶行列式2 =)/一叫(j = 12F-l)-a000l-a0001-a= (l-d“yTIT（十二）线性因子法Q X y Z1+x I11X Q Z y(o1 l-x 11y z 0 X2丿111+z1z y X Q1111-z例13计算行列式（1）解：（1）由各列加上第一列可见，行列式D可被x+y + z整除。由第二列加到第一列，并减去第三.四列可见，D可被y + z-x

18、整除，由第三列加于第一列，并减去第二.四列可见，D被犬-y + z整除。最后由第四列加于第一列，并减去第二、三列可见，D可被x+y_z整除。我们把儿”Z视 为独立未知量，于是上述四个线性因子式是两两互素的，因此，D可被 它们的乘积(x + y + z)(y + z-x)(x-y + z(x + y-z)整除。此乘积中含有一项：-儿 而D中含有一项：（l）Yz4=/所以 D = -(x+y + z)(y + z-x)(x-y + z)(x + y-z)+ ;/+才_2心2_2迁2_2）七2将行列式D的前两行和两列分别对换，得-x11111 + x11111+zI111l-如果以7代替I又得原来形

19、式的行列式。因此 如果D含有因式X, 必含有因式-X,由于当x = 0时，D有两列相同，故D确有因式八 从而D含有因式xJ同理D又含有因式zS而D的展开式中有一项：xV,从而例14计算行列式：2 =1 l-JV(/I I) X解：由“阶行列式定义知，2的展开式是关于X的首项系数为（-1严的（-1）次多项式2（当X 心=02-2）时，2=0,因此2（0有_1个互异根0, 1、22由因式定理得na-R）ID“W*=0ft-2故 =(-ir*n(兀一幻R=0（十三）辅助行列式法例15计算行列式九（5）人（绻）其中= ha幵）为次数W n-2的数域F上多项式的为F中任意个数。解：若*中有两个数相等，则

20、2=0若互异，则每个”阶行列式G(x) =ZW 人2）（5）是 /lUX/zW-AU)的线九2）fM性组合，据题/心）的次数W-2（21町因而G（x）的次数W_2,但G(a2)= =G(4)=0,这说明G（x）至少有（H -1）个不同的根，故G（x） = 0,所以G（q） = 0（十四）阶循环行列式算法例16计算行列式2 =其中 abc H 07? H c24解：设/（X）= + b（x + F+ 丫1）且令x- = 0的个根为兀（,=1必 b/t C CX有XC厂兀f(x) = a + hP勺一1_ (a _ b)Xi + (c _ a)则 2=n/a) r-lFtl /(A-) = d +

21、= a + hX1X1 X 1利用关系式另期=心勺=兀1兀2耳1 = ，恥2暫=（1） b”/八/fjl(n-/7)x； + (c-n) /=l得n( )Ez(一吓 W+(Rc(a-by -b(a-cyc-b例17设M = 12，”）都是/iiW/12W/|W证明：dfiMfii W/2n(X)dxAl W几rj=zX的可微函数/nWi人*3Al W氏（X）证明:/iiW/nW九（X）/2IW712 Wfin MAl（X）AzW几wddx=?工（-1）“5心心几Q）艺（-1）5皿烷血（X）心3讥=Z（-1）“从5?心（力九“（小讥”（兀）+ - +（几（力心2（小讥（龙）（?心）/12W;）A

22、 AHXn=z和aa,wA.(x)/|2（X）/iiWaxfii w牛 fl2(X) ax/22W九(X) axflnM+/nW f T2O ax/12WV/22Wdxfu,M/2曲(X)ax九w九,（x）fnl W/2（兀）f,m Mhhin+ +=Z (T)hh-hw几）（2 fl yi（X）局 2（X）fj（X）+ + 艺（一1）从九 Y W-M （-V）整爲（X）/iiW/12W/lirW局w兀Q)A-i.iWfKx)f/n-l.n Wf九w朮w/nW例18设A与B为同阶方阵,证明:（十五）有关矩阵的行列式计算例19设A为阶可逆方阵,（X、 0为两个“维列向量 则ABA + BB +

23、AA + B0=A + BA-BBABABA-B证明:BAABA + aP =(1 + 0讥)4AaAa-01(/j+l)(n+l)0 + PAa证明:=A(l + /7A*ez)例20若川阶方阵A与B且第；列不同。证明：+ B =a.+ 6(K2* 2-2*=2* -2*+2* 2 2*anbn证明：A + B =2心* : *+ 2心* *anhn= 2T(A + B)（十六）用构造法解行列式例 21 设 /(X)=(4 - xX2 - x)(ay-xa h证明：D =ibha2ha-b证明：构造出多项式:+ x a + xa + xa, +xa _ qa - ,D=b + x+ xa +

24、 x=h + xa、-ha-hh + x b + x佝+ xb + x0a-ba aa -11a aa - a,=h-ba-b+ A1偽-ha-bh0 -b10“3 -bea a1a =b勺 a+ x12 -ba-bbb10“3 -b= Dx) = D + xDa + (-a)0Uy- a=(5 _ )仗2 _ 4)(3 -) = - “q = /()当 x = -h,D(-b) =“I -b a-h05 -h0 0a-ha-b“3 -b=(a - h(a /?)(3 一 b) = D hD=D_af(b)-M3a-b（十七）利用拉普拉斯展开例22证明：级行列式D =证明：利用拉普拉斯展开定理,按第“行展开有:2=（-1严陽-100 0000-00X-10 000-10 .004+（T）f4*V000 -10000 -10000 A-1000 X-1+ +X-10 00X-10 000X-1 000X-1 00444+（_1严心）（4+切4000 X0000 X-1000 0-1000 0X=(_1)*&(_1-+(_1)处乜-(-1)2兀 + +(_1尸(心么(_1)右 2+(_l)Xi (绚rft_|It=+ + 2兀 + X以上等式右端的舁-1级行列式均为“三角形行列式O用多种方法解题下面我们运用上面的介绍的各种方法，选用多种方法解题