2019-2020学年高中北师大版数学选修2-1学案：3.4第1课时　曲线与方程、圆锥曲线的共同特征 含解析

1、祝学子学业有成，取得好成绩4曲线与方程第1课时曲线与方程、圆锥曲线的共同特征q 在我们的日常生活中,许多物体都呈现出多种多样的曲线，你所熟悉的曲线有哪些?你知道它们有怎样的特性吗?x 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线c（看作满足某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：（1）_曲线上点的坐标都是这个方程的解_；(2）_以这个方程的解为坐标的点都在曲线上_.那么,这条曲线叫作_方程的曲线_，这个方程叫作_曲线的方程_.1圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e。当_0e1_时,圆锥曲线是椭圆；当_e1_时，圆锥曲线是双

2、曲线;当_e1_时，圆锥曲线是抛物线2圆锥曲线的统一定义平面内与一个定点f和一条定直线l（l不过f)的距离的比等于常数e的点的集合叫作圆锥曲线这个定点f叫作圆锥曲线的焦点,这条定直线l叫作圆锥曲线的准线,常数e叫作圆锥曲线的离心率y 1曲线 c的方程为yx(1x5),则下列四点中在曲线c上的是(d）a(0，0）bc（1,5)d(4，4）2方程（xy1）0表示的曲线是（c）a两条互相垂直的直线b两条射线c一条直线和一条射线d一个点（2,1）3已知方程yax|和yxa（a0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是(a)aa1b0a1c0a1或a1da4动点p到点f（2,0）的距离与它到直线x

3、20的距离相等,则点p的轨迹方程为_y28x_.解析本题考查了抛物线的定义及p的几何意义由抛物线的定义知p4，方程为：y28x.h 命题方向1曲线与方程的概念典例1如果曲线l上的点的坐标满足方程f（x,y)0,则以下说法正确的是(c）a曲线l的方程是f（x，y）0b方程f(x,y)0的曲线是lc坐标不满足方程f（x，y）0的点不在曲线l上d坐标满足方程f(x,y）0的点在曲线l上思路分析从“曲线的方程”和“方程的曲线”两方面判断解析直接法:原说法写成命题形式即“若点m（x，y）是曲线l上的点,则m点的坐标适合方程f(x，y)0，其逆否命题即“若m点的坐标不适合方程f（x，y)0，则m点不在曲线

4、l上”,此即说法c特值方法:作如图所示的曲线l，考查l与方程f（x，y）x210的关系，显然a、b、d中的说法全不正确选c规律方法本例给出了判定方程和曲线对应关系的两种方法-等价转换和特值方法其中特值方法应引起重视，它的使用依据即“方程的曲线上的点的纯粹性和完备性”,简言之,即“多一点不行，少一点不可”跟踪练习1判断下列结论的正误，并说明理由(1）过点a(3，0）且垂直于x轴的直线的方程为x0；(2)到x轴距离为2的点的直线方程为y2;(3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy1；（4)abc的顶点a(0，3)、b（1，0）、c（1，0)，d为bc中点，则中线ad的方程为x0。解析

5、（1)过点a(3，0)且垂直于x轴的直线方程为x3.结论错误（2）因到x轴距离为2的点的直线方程还有一个y2，即不具备完备性结论错误（3）到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程应为x|y1，即xy1.所给问题不具备完备性结论错误（4)中线ad是一条线段,而不是直线,应为x0（3y0),所给问题不具备纯粹性结论错误命题方向2求曲线的方程典例2已知rtabc，|ab|2a(a0），求直角顶点c满足的方程解析以ab所在直线为x轴,ab中点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则有a（a,0),b(a,0)，设顶点c(x，y）方法一由abc是直角三角形可知|ab|2ac|2|bc|2，即（2a）2

6、（xa）2y2(xa)2y2，化简得x2y2a2.依题意可知xa.故所求直角顶点c满足的方程为x2y2a2(xa)方法二由abc是直角三角形可知acbc，所以kackbc1，则1（xa）,化简得直角顶点c满足的方程为x2y2a2(xa）方法三由abc是直角三角形可知|oc|ob，所以a（xa),化简得直角顶点c满足的方程为x2y2a2（xa）规律方法坐标系的选取，一般将定点或定直线选在坐标轴上，原点有时选在定点处较为方便，有时也要考虑“对称性（如此例）跟踪练习2过点p（2，4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于a点，l2交y轴于b点，求线段ab的中点m的轨迹方程解析解法一：如图所示

7、，设点a(a,0）,b（0，b），m（x，y），因为m为线段ab的中点,所以a2x，b2y,即a(2x,0）,b(0，2y)因为l1l2,所以kapkpb1。而kap（x1)，kpb，所以1（x1)整理得，x2y50（x1）因为当x1时,a、b的坐标分别为(2,0），（0,4)，所以线段ab的中点坐标是(1，2)，它满足方程x2y50。综上所述,点m的轨迹方程是x2y50.解法二：设m(x，y），则易知a、b两点的坐标分别是(2x，0)，（0，2y),连接pm.因为l1l2，所以|pmab|。而|pm，|ab，所以2，化简，得x2y50为所求轨迹方程命题方向3直接法求曲线的方程典例3如图已知f

8、（1,0），直线l：x1，p为平面上的动点，过点p作l的垂线，垂足为q,且，求动点p的轨迹方程思路分析设动点坐标寻求几何条件将几何条件坐标化（解析法)求轨迹方程解析设点p（x，y），则q(1,y)，由(x1，0)，（2,y)，（x1,y），（2，y)，由，（x1，0)（2，y)(x1,y)(2，y）,2x22x2y2，即y24x为动点p的轨迹方程规律方法求曲线方程的基本方法是:建系设点、列等式、代换、化简、证明“五步法”在解题时，根据题意,正确列出方程是关键，还要注意最后一步，如果有不符合题意的特殊点要加以说明一般情况下，求出曲线方程后的证明可以省去跟踪练习3如图，圆o1和圆o2的半径都等于1

9、，o1o24.过动点p分别作圆o1、圆o2的切线pm、pn（m、n为切点),使得pmpn.试建立平面直角坐标系，求动点p的轨迹方程解析以o1o2的中点o为原点，o1o2所在直线为x轴，建立如图所示的坐标系,则o1（2，0)，o2(2,0)由已知pmpn,pm22pn2.又两圆的半径均为1，所以po12(po1）设p(x，y）,则(x2)2y212(x2）2y21,即(x6)2y233。所求动点p的轨迹方程为（x6)2y233。命题方向4定义法求曲线方程典例4f1、f2是椭圆1（ab0)的两焦点,p是椭圆上任一点,从任一焦点引f1pf2的外角平分线的垂线，垂足为点q，则点q的轨迹为(a)a圆b椭

10、圆c双曲线d抛物线解析延长垂线f2q交f1p的延长线于点a，如图则apf2是等腰三角形,pf2|ap，从而|af1|ap|pf1|pf2|pf12a.o是f1f2的中点，q是af2的中点，|oqaf1a。q点的轨迹是以原点o为圆心，半径为a的圆规律方法(1)本题是用定义法求动点的轨迹方程，当判断出动点的轨迹是双曲线的一支,且可求出a、b时，直接根据定义写出其标准方程，而无需用距离公式写出方程，再通过复杂的运算进行化简(2）由于动点m到两定点c2、c1的距离的差为常数，而不是差的绝对值为常数,因此，其轨迹只能是双曲线的一支这一点要特别注意！跟踪练习4如图所示,已知定圆f1:x2y210x240，

11、定圆f2：x2y210x90,动圆m与定圆f1、f2都外切，求动圆圆心m的轨迹方程解析圆f1:（x5）2y21，圆心f1(5，0），半径r11。圆f2:（x5)2y242，圆心f2(5,0）,半径r24.设动圆m的半径为r，则有mf1|r1，mf2r4，mf2|mf13。m点轨迹是以f1、f2为焦点的双曲线左支，且a，c5。b2c2a2.双曲线方程为1（x)命题方向5参数法求曲线方程典例5设圆c：（x1）2y21，过原点o作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程解析方法一：直接法设oq为过o的一条弦，p(x,y）为其中点，则cpoq，设oc中点为m（，0)，则|mpoc|,得方程(x)2y2，考

12、虑轨迹的范围知0x1。方法二：定义法opc90。动点p在以m（，0）为圆心oc为直径的圆上|oc|1,再利用圆的方程得解方法三：代入法设q（x1，y1），则，又（x11）2y1,(2x1)2(2y)21(0x1）方法四：参数法设动弦pq的方程为ykx代入圆方程得(x1）2k2x21，即(1k2）x22x0，x，ykx消去k即可规律方法本题中的四种方法都是求轨迹方程的常用方法,在求轨迹方程时，要注意挖掘题目的条件，恰当选取方法跟踪练习5过抛物线y22px（p0）的顶点o作两条互相垂直的弦oa、ob，再以oa、ob为邻边作矩形aobm,求点m的轨迹方程分析由oaob，可设oa方程为ykx，则ob的

13、方程为yx，由此可得a、b两点关于k的坐标，再由，得动点m的参数轨迹方程，消去参数k即可得m的轨迹方程解析设m(x,y），a(x1，y1），b(x2，y2）,oa斜率为k（k0)，则ob斜率为，oa所在直线为ykx。代入y22px(p0）得:即a（，），（，）ob所在直线方程为yx，代入y22px（p0）可得：（2pk2，2pk）又,整理得:y22p（x4p）(p0)即点m的轨迹方程为y22p(x4p)(p0)总结反思用参数法求轨迹方程时,一要选好参数,将动点的横、纵坐标表示成参数的形式；二要掌握消参的技巧x 曲线方程与其他数学知识的交汇问题 （1)曲线的方程探求中,在给出的条件中刻画条件关系

14、时，常用其他部分的知识来表达如数列、集合、函数、平面向量等（2)平面向量既有数的特点又有形的特点,因而它与解析几何的联系尤为密切如平行关系可用向量共线关系来表示，垂直关系可用向量垂直的关系来表示(3）解答此类问题时，只要充分运用诸如向量的数量积、数列等相关概念即可求得典例6已知两点m(1,0），n(1，0)，且点p使,，成公差小于零的等差数列求点p的轨迹方程解析本题考查向量数量积与数列知识的综合应用设点p（x，y)，由m（1,0),n(1，0)，得（1x,y）,（1x，y)，2(x1）,x2y21，2（1x）于是，是公差小于零的等差数列等价于:即点p的轨迹方程为x2y23(x0）规律总结求解此

15、类平面向量、曲线方程、数列等多知识点交汇的问题的思路是：先转化，即利用平面向量的坐标表示，去掉平面向量的“外衣”；再应用数列的相关公式与性质，转化为关于x,y的关系式；最后下结论跟踪练习6在平面直角坐标系xoy中，已知点a(0,1），点b在直线y3上，点m满足,，点m的轨迹为曲线c求曲线c的方程解析设m（x，y）,由已知得b(x,3）,a(0,1），所以（x,1y），(0，3y)，(x，2)由题意可知()0,即(x，42y)(x，2）0,整理化简得yx22.所以曲线c的方程为yx22。y 典例7等腰三角形的顶点是a（4,2)，底边的一个端点是b(3，5),求另一端点c的轨迹方程，并说明它的轨迹

16、是什么错解设另一端点c的坐标为（x，y），依题意得ac|ab，即,两边平方,得(x4)2（y2)210,即另一端点c的轨迹是以a(4，2)为圆心，以为半径的圆辨析上述求得的轨迹方程忽视了a，b，c不共线这个隐含条件，因为a，b，c为三角形的顶点,所以a，b,c三点不共线，即b，c不能重合，且b，c不能为圆a的一直径的两个端点正解设另一个端点c的坐标为（x，y)，依题意得|ac|ab|，即，两边平方，得（x4)2(y2)210。令4，2，得x5，y1。因为a,b，c三点不共线，所以轨迹不包括点（3，5），（5，1）故另一个端点c的轨迹方程是（x4）2（y2）210,且其轨迹不包括点(3，5），（5，1）,这是以a(4，2)为圆心,以为半径的圆，且除去点(3，5），(5，1）k 1“以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线c上”是“曲线c的方程是f(x，y)0”的(b)a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件解析根据曲线方程的概念“曲线c的方程是f(x，y)0包含“曲线c上的点的坐标都是这个方程f（x，y）0的解”和“以方程f(x，y）0的解为坐