2019-2020学年高中北师大版数学选修2-3学案：2.2超几何分布 含解析

1、祝学子学业有成，取得好成绩 - 1 - / 9 2超几何分布超几何分布 qerror!error! 投掷一颗骰子，所得点数记为，则可取哪些数字？取各个数字的概率分别是多少？可否用 列表法表示的取值与其概率的对应关系?投掷两颗骰子，将其点数之和记为,则可能的取值有哪 些,你能列出表示取各值的概率与取值的对应关系吗？ xerror!error! 1超几何分布列 一般地,在含有m件次品的n件产品中，任取n件，其中恰有x件次品，则事件xk发生的 概率为p（xk)_error!error!_,k0，1，2,，m,其中mminm,n，且 nn，mn，n、m、nn n*，称分布列 x01m perror!e

2、rror!error!error! 为_超几何分布列_. 如果随机变量x的分布列为超几何分布列,则称随机变量x服从_超几何分布_. 2公式p(xk)error!error!的推导 由于事件xk表示从含有m件次品的n件产品中,任取n件,其中恰有k件次品这一随机事件， 因此它的基本事件为从n件产品中任取n件由于任一个基本事件是等可能出现的，并且它有_c _个基本事件，而其中恰有k件次品，则必有（nk)件正品，因此事件xk中含有 n n _ccerror!error!_个基本事件，由古典概型的概率公式可知p(xk）. yerror!error! 1在 15 个村庄中，有 7 个村庄交通不方便，若用随

3、机变量x表示任选 10 个村庄中交通不方便 的村庄的个数，则x服从超几何分布，其参数为（a） an15,m7，n10bn15,m10,n7 祝学子学业有成，取得好成绩 - 2 - / 9 cn22，m10，n7 dn22,m7,n10 解析根据超几何分布概率模型知 2设袋中有 80 个红球,20 个白球，若从袋中任取 10 个球，则其中恰有 6 个红球的概率为（ d) aerror!error!b cerror!error!derror!error! 解析若随机变量x表示任取 10 个球中红球的个数，则x服从参数为 n100，m80，n10 的超几何分布取到 10 个球中恰有 6 个红球，即x

4、6，p（x6) error!error!(注意袋中球的个数为 8020100） 3已知某批产品共 100 件，其中二等品有 20 件从中任意抽取 2 件，表示取出的 2 件产品 中二等品的件数,试填写下列关于的分布列： k 012 p（k) _error!error!_error!error!_ _ 解析的可能取值为 0,1,2，服从参数为n100，m20，n2 的超几何分布,则 p（0）error!error!，p(1）error!error!，p(2）error!error!. 19 495 4袋中有 6 个红球、4 个白球，从袋中任取 4 个球，则至少有 2 个白球的概率是_error!

5、error!_. 解析设取出的白球个数为离散型随机变量x，则x的所有可能取值为 0、1、2、3、4,则 p（x2）p(x2）p(x3）p（x4)error!error!error!error!。故至少有 2 23 42 个白球的概率为error!error!。 h 命题方向 1求超几何分布的分布列 典例 1在一次购物活动中，假设某 10 张券中有一等奖券 1 张，可获价值 50 元的奖 品；有二等奖券 3 张，每张可获价值 10 元的奖品；其余 6 张没有奖，某顾客从此 10 张中任取 2 张， 求： （1）该顾客中奖的概率； 祝学子学业有成，取得好成绩 - 3 - / 9 (2）该顾客获得的

6、奖品总价值x（元)的概率分布列 思路分析解答本题可先利用对立事件求出顾客中奖的概率,再分析x的所有可能取值，明确 x取各个值的事件，利用组合及公式p进行计算求解 解析（1）p1error!error!1error!error!， 即顾客中奖的概率为 . 2 3 （2）x的所有可能值为 0,10,20,50,60. p（x0) ， 1 3 p(x10)error!error! ， 2 5 p（x20）error!error!， p（x50）error!error!， p(x60)error!error!error!error!，故x的分布列为： x010205060 p errerr or!or

7、! erroerro r!r! 规律总结本题以超几何分布为背景，主要考查了概率的计算，离散型随机变量的分布列 的求法及解决实际问题的能力 跟踪练习 1 某校高三年级某班的数学课外活动小组中有 6 名男生、4 名女生,从中选出 4 人参加数学竞赛考 试,用x表示其中的男生人数，求x的分布列 解析依题意随机变量x服从超几何分布， 所以p（xk）error!error!(k0、1、2、3、4) p(x0）error!error!error!error!, p(x1）error!error!error!error!， p(x2）error!error!error!error!， p(x3)， c3 6

8、c 4 c4，10） 祝学子学业有成，取得好成绩 - 4 - / 9 p（x4)error!error!, x的分布列为: x01234 p erroerro r!r! erroerro r!r! 命题方向 2超几何分布的应用 典例 2某中学统计了该校 100 名学生在放假期间参加社会实践活动（简称活动)的情 况：有 20 人参加 1 次活动，有 50 人参加 2 次活动，有 30 人参加 3 次活动 （1）从这些学生中任选两名，求恰好有一名参加 1 次活动的概率； (2）从这些学生中任选两名,用表示这两人参加活动次数之差的绝对值,求随机变量的分布 列 解析(1)由题意知若设x为任选两名学生中

9、参加 1 次活动的人数，则x服从参数为 n100，m20，n2 的超几何分布，故p(x1）error!error!。 (2）的可能取值为 0、1、2。 从这些学生中任选两名,记“这两人中一人参加 1 次活动，另一人参加 2 次活动”为事件a， “这 两人中一人参加 2 次活动，另一人参加 3 次活动为事件b， “这两人中一人参加 1 次活动，另一人 参加 3 次活动”为事件c,易知p( 1）p（a）p（b）error!error!，p（2） p（c)error!error!error!error!，p(0)1p(1）p（2）. 所以随机变量的分布列为 k 012 p（k） 跟踪练习 2 盒中共

10、有 9 个球，其中有 4 个红球,3 个黄球和 2 个绿球，这些球除颜色外完全相同 (1)从盒中一次随机取出 2 个球，求取出的 2 个球颜色相同的概率p; （2)从盒中一次随机抽出 4 个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别为x1、x2、x3,随机变量x表 示x1、x2、x3的最大数，求x的概率分布 祝学子学业有成，取得好成绩 - 5 - / 9 解析(1）一次取 2 个球共有 c36 种可能情况，2 个球颜色相同共有 cerror!error!cerror!error!c10 种可能情况， 2，2 取出的 2 个球颜色相同的概率perror!error!。 10 36 （2)x的所有可能取值

11、为 4、3、2,则p(x4）error!error!,p(x3)error!error!, c 3）cc 于是p(x2)1p（x3)p（x4）， x的概率分布列为 x234 p errorerror ! ! x 离散型随机变量的分布列的求法 学科核心素养）， 求离散型随机变量的分布列，明确离散型随机变量所取的每个值表示的意义是关键,其一般步骤 是： (1)明确离散型随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义; （2）利用概率的有关知识，求出离散型随机变量取每个值的概率； （3)按规范形式写出其分布列 典例 3在一次购物抽奖活动中，假设 10 张奖券中有一等奖奖券 1 张，可获价值 50 元

12、的奖品,有二等奖奖券 3 张，每张可获价值 10 元的奖品，其余 6 张没有奖品 （1)顾客甲从 10 张奖券中任意抽取 1 张，求中奖次数x的分布列； (2）顾客乙从 10 张奖券中任意抽取 2 张； 求顾客乙中奖的概率； 设顾客乙获得奖品总价值为y元，求y的分布列 解析(1）抽取一次，只有中奖和不中奖两种情况，故x的取值只有 0 和 1 两种情况 p（x1）error!error! ， 2 5 则p（x0)1p（x1)1error!error!error!error!. 因此x的分布列为： 祝学子学业有成，取得好成绩 - 6 - / 9 x01 p (2）顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所

13、抽取的 2 张奖券中有 1 张中奖或 2 张都中奖 故所求概率perror!error!. 30 45 y的所有可能取值为：0，10，20，50,60,且 p(y0) ； 1 3 p(y10)error!error!； c1 3c 6 c2，10） p(y20）； c2 3c0，6，c 10 ） 3 45 p（y50)error!error!error!error!error!error!； p（y60）error!error!。 因此随机变量y的分布列为： y010205060 p 1 3 2 5 erroerro r!r! erroerro r!r! 规律总结求超几何分布的分布列的步骤 (

14、1)验证随机变量服从超几何分布，并确定参数n,m，n的值； (2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率; (3)用表格的形式列出分布列 跟踪练习 3 从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛,设随机变量x表示所选 3 人中女生的人数 (1)求x的分布列； (2）求“所选 3 人中女生人数x1的概率 解析（1）x可能取的值为 0,1，2，服从超几何分布， p（xk）error!error!，k0,1,2。 所以x的分布列为： 祝学子学业有成，取得好成绩 - 7 - / 9 x012 p errerr or!or! errerr or!or! (2)由(1）知

15、“所选 3 人中女生人数x1”的概率为 p（x1)p(x0)p(x1)error!error!。 y ） 典例 4在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有 10 个红球和 20 个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出 5 个球，至少摸到 3 个红球就中奖，求中奖的概 率 误解摸到的红球个数x服从参数为n30,m5，n10 的超几何分布，p(xk) error!error!（k0，1，2,3,4,5)，至少摸到 3 个红球的概率为p(x3)error!error!error!error!。 正解摸到的红球个数x服从参数为n30，m10,n5 的超几何分布，它的可能取值为 0，

16、1，2，3,4,5.则至少摸到 3 个红球概率为p（x3）p（x3)p(x4）p（x5) error!error!error!error!error!error!0.191. 规律总结错解中混淆了m与n的取值，在本题中m指红球个数，应为 10,n指任意取出 的球的个数,应为 5. 跟踪练习 4 盒中装有一打（12 个)乒乓球，其中 9 个新的，3 个旧的，从盒中任取 3 个来用，用完后装回盒 中，此时盒中旧球个数x是一个随机变量，求x的概率分布 解析由题意，盒中共有 12 个球，9 个新球，3 个旧球，任取 3 个用后放回盒中，此时盒 中旧球的个数x的可能取值为 3、4、5、6. p(x3）e

17、rror!error!; p（x4）error!error!; p(x5）error!error!； p（x6)error!error!error!error!. 所以x的概率分布表如下： x3456 祝学子学业有成，取得好成绩 - 8 - / 9 p errorerror ! ! kerror!error! 1一个袋中有 6 个同样大小的黑球，编号为 1，2，3,4,5，6，还有 4 个同样大小的白球，编号 为 7,8,9，10.现从中任取 4 个球，有如下几种变量： x表示取出的球的最大号码；y表示取出的球的最小号码;取出一个黑球记 2 分，取出一 个白球记 1 分,表示取出的 4 个球的

18、总得分；表示取出的黑球个数 这四种变量中服从超几何分布的是（b） ab c d 解析依据超几何分布的数学模型及计算公式，或用排除法 2一个盒子里装有大小相同的红球、白球共 30 个，其中白球 4 个从中任取两个,则概率为 的事件是(b) c 26c1，4c2 4，c2，30） a没有白球 b至少有一个白球 c至少有一个红球 d至多有一个白球 解析error!error!error!error!表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率， c 4 ，c 230） 即至少有一个白球的概率 3袋中有 10 个球，其中 7 个是红球，3 个是白球，任意取出 3 个,这 3 个都是红球的概率是（ b) aerro