18个基础的圆锥曲线专题

1、18个基础的圆 锥曲线专题1、设椭圆E:x2y2a21a231，其焦点在X轴上，若其准焦距（焦点到准线的距离）P -,4求椭圆的方程.2、设椭圆E:x2y2a2b21 （a b 0）的离心率ev，其通径（过焦点且垂直于长轴的焦直2设椭圆E:勺ayb21 (a4FBN2、设椭圆E*2 y b2（a b 0），其离心率e彳，其通径d“3，求椭圆E的方程.两条焦直径（过焦点的弦）A B与CD互相垂直.求设椭圆E: 36271，左焦点为F ,在椭圆上任取三个不同2点片、p2、电，使得 p1fp2p2fp3p3fp1 孑，求:1 1 1如图所示,y2161，过原点的两条直线交圆于ABCD，AD与CB的延

2、长线相交于 M ， AC与DB的延长线 相交于N，求MN所在的直线方程.1AB1CD径）d 1，F1，F2为两焦点，P是E上除长轴端点外的任一点，FPF2的角平分线PM交长轴于M （m,0），求m的取值范围.1b 0）的离心率e -，F1，F2为两焦点，椭圆E与y轴的交点2 2、设椭圆E : %每 1 a2 b2为AB中点.(a b 0)，过右焦点的直线l : x y .3 0交E于A、B两点，P若0P的斜率为：k1，求椭圆E的方程;若直线m: x y .30交E于C、D两点，AD与BC相交于Q，求Q点的坐标.2 2、设椭圆E：16詈1的长轴端点为A、B，与 y轴平行的直线交椭圆E于P、Q两点

3、,PA、QB的延长线相交于S点，求S点的轨迹.1 0、已知抛物线P: y 3、已知动圆C过定点A(4,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为 8，求动圆圆心C的轨迹方程.1 4、如图已知，在抛物线P:y2 4x的焦点为F，其准线与x轴 的交点为A.过原点的圆C其圆心在抛物线P上，与抛物线 的准线I交于不同的两点M、N，若AF|2| AM | AN，求圆C的半径. 1 5、如图，抛物线片：x2 4y，抛物线Pg : x22py (p 0)，点M (命,y0)在抛物线F2上，过M作片的两条切线 MA和 2px (p 0)，F为P的焦点，M为P上任一点，I为过M点的切 线，求证：FM与I的夹角等于I与x

4、轴的夹角.3 21 1、已知抛物线P的顶点为原点，其焦点F(O,c)到直线l : x y 20的距离为d ，M2在I上，过M作抛物线P的两条切线MA、MB，其中A、B为切点.当M的坐标为(4,2)时，求AB的直线方程；当M在I上移动时，求AF| |BF的最小值.1 2、过抛物线P:x2 2py (p 0)的焦点F作斜率分别为 环k2两条不同弦AB和CD，的公共弦所在的直线记为k1 k2 2，以AB、CD为直径的圆M圆N ( M、N为圆心)I，若圆心M到I距离的最小值为7.5求抛物线P的方程._1MB，当Xc 12时，切线MA的斜率为k -.U2求：AB所在的直线方程；当点M在抛物线F2上运动时

5、，求AB中点的轨迹方程.、已知抛物线P:y2 8x ,焦弦AB被F分为FA、FB|FA|FB|1 7、如图，在正方形一中，0为坐标原点，点A的坐标为10,0，点C的坐标为0,10，分别将线段。.0A和AB.等分成十等分，分点分别记为A1,A2, ,A9和B1，B2, ,B9，连接OBj，过Aj作轴的垂线与OBj交于点P i N*,1 i 9 .(1 )求：点p的轨迹方程； (2 )求：过点p的切线方程。2 2、已知，双曲线H, y 1，过右焦点F的直线交H于A、B两点，以AB为直径的4 5圆C与H的准线还有另外两个交点 M、N，与原点0构成的三角形，求:S MON的最小1 8个基础的圆锥曲线专

6、题解答2、设椭圆E:X2 a椭圆的方程2丄 12 ，1 a2其焦点在X轴上，若其准焦距(焦点到准线的距离)p解：先求a2的范围:由焦点在x轴上，贝U： a21 a2，即：a21 ；2另外，b2 1 a2 0，所以 a2 1;所以 a2 (?,1).求a2的值：焦点坐标：c2 a2 b2 a2 (1 a2) 2a2 1 ；椭圆的准线:准焦距：pa2a2 c22 2b21 a2c 2a2 1则：16(1 a2)29(2a21),即:16a4 50a225 0方程有两个解:a250| 30321 （舍），和a250 30325 I，故 a2 I确定椭圆方程:33代入方程得:88x!52、设椭圆2E：

7、X_ a22 y b2（a b 0）的离心率e2，其通径（过焦点且垂直于长轴的焦直1，F1,F2为两焦点，P是E上除长轴端点外的任一点,FPF2的角平分线PM交长轴于M （m,0），求m的取值范围.解：通径，即x c时的yc.当x c时代入方程得：令b2b4話，故通径：d c2 a2 c21 -2 Ta a2b2b2 訶，由离心率a2 b2a2则：a 2b 联立解得：a写出椭圆E的方程:x24yc1，即:a 2b2即:a2 b2a23，即:bia21，则cy21求F1PF2的角平分线PM的直线方程:由得过P（x0，y0）点的切线方程为:即：y (1红)y04十瓷，其斜率为：k根据椭圆的切线定理

8、，1 4yPM是过P(x0,y0)点的法线，其斜率为：k -0则PM的直线方程为：4y0 y y0x0(x x0)将M(m,0)代入上式得：4y00 y0(m xjX。即：m x 0，故：m 044求出m的范围因为P(x。, y。)点是E上除长轴端点外的任一点，故：X。( a,a),3即：x0 (2,2).代入式得：m(232)2 23、设椭圆E:冷匕1 (a ba2 b2为A(0,3)，求三角形的面积S0)的离心率e,fvf2为两焦点，椭圆E与y轴的交点f1af2解：先求E的方程:将A(0,3)代入E的方程得:a2b2故:再由e a1，即:cla2a2 b2a2则：a 2 3，c故:S F|

9、AF2oa 22屁朋另外，F1AF2是椭圆的焦点三角形，可以用椭圆的焦点三角形公式秒之.SF1AF2 b2tan2 b 2E的方程为：1b bc 129求三角形 f1af2的面积s:F1AF2 的高，即 OA b 3 ；F1AF2的底，即焦距FF2 2c 2亦； 32 24、如图，设椭圆E:每1 (a b 0)，M , N为长轴顶a2 b2点，过左焦点F、斜率为k .3的直线I交椭圆E于A、S两点，若FA 2 FB，求FAM ?S FBN解：本题由于直线I过左焦点F ,所以采用以左焦点为原点的 极坐标，可使问题大大简化3椭圆的极坐标方程为:ep1 ecos直线l的方程为:那么:FAepFBec

10、os3epepe22ep ；2 e ；代入FA2 FB得:于是:FM1 ecos(-32,即:e 2 eep ep1 eep 2ep e 2 e 22(2e)4 2e ,故:故:FAFBFMFNecos01 2_31 23FNep1 ecos2e -3ep1 eS所以：-FAMS FBN1-FA FM21FBI FN sin2sinFA FMFB |FN102 25、设椭圆E:-a2 b21 (a b 0)，其离心率e其通径d尔3，求椭圆E的方程两条焦直径(过焦点的弦)A B与CD互相垂直.ABCD解：先求椭圆由离心率E的方程：3得得:2-2 b2a2b2 2 a2 3由通径d2 b2- 2

11、2联立得：a .3，b .2，故椭圆E的方程为：丄 y-32两条焦直径都过焦点，所以采用以焦点为原点的极坐标解题更便捷ep 1 ecos以左焦点为原点的椭圆极坐标方程为:那么，设：A( 1,)，则:代入方程式得：B(2ABep21 ecosepecos(epep1 ecos 1 ecos2ep221 e cos于是,AB2 21 e cos2epCDepep于是,1CD1 ecos(2)1 ecos(ep1 esi nep1 esi n2ep1 e2si n2由式式得:AB6、设椭圆P1FP2CDE:x236e2 sin22ep2 21 e cos2epb21 e2 sin 22ep222代入

12、式得:1，左焦点为e222ep1AB1_CD5.312F，在椭圆上任取三个不同点冃、P2、P3，使得P2FP32P3FP1 ，求:FP1FP21FP3解：椭圆E的参数:故离心率e丄，准焦距p虽2cb2 cc米用极坐标,a以左焦点为原点的极坐标方程为:27 9.3ep1 ecos1，即:-1 ecosep设 FP ( 1,)，则 FP2分别代入式得：2勺，FP331 ecos( )3ep1 ecos( 2 )11 ecos 13ep1 ep由于：cos cos(所以上三式相加得:cos(3epFP11FP2FP33-9223x 17、如图所示，椭圆E:-169线交圆于ABCD , AD与CB的延

13、长线相交于M , AC与 DB的延长线相交于N，求MN所在的直线方程.解：首先看一下原点0（0,0）和椭圆的位置关系y2 1，过原点的两条直X 1 2 y20 1 2 021将原点坐标代入y 1得：-1-1016916916小于0表明原点在椭圆内部.本题中，原点O和直线MN是椭圆E的一对极点和极线这里先简单介绍一下极点和极线：过椭圆外一点P向椭圆E作的所有割线点的连线，相交于两点 A和B，一个点在椭圆内（假设A），一个点在椭圆外（假设B ）.这3个点P、A和B构 成特殊的三角形，称为自极三点形其中，点P和直线AB是一对极点和极线；点A 和直线PB是一对极点和极线；点 B和直线PA是一对极点和极

14、线如果将极点的坐 标，做等效代入椭圆方程，得到的就是其极线方程这样使得求极线方程变得极为简单故：代入x 0，y 0后得到:本题，将原点坐标做等效代入椭圆方程，就得到 MN所在的直线方程将极点坐标（x0，y0）做等效代入椭圆方程得到极线方程：x0 1 X 1yy1690 1x1161即：x 1 16，即：x 15所以MN所在的直线方程是：x 15x28、设椭圆E:-a2为AB中点b1（a b 0），过右焦点的直线30交E于A、B两点，P若OP的斜率为:1k 1，求椭圆E的方程;若直线m:x y . 30交E于C、D两点，AD与BC相交于Q，求Q点的坐标.30，解：由于右焦点在直线I上，将右焦点F

15、(c,O)的坐标代入l : x y .30，得：c 0故：c -.3，c2 3x2联立椭圆E和直线I得到交点A、B的坐标:a2b2x y , 3 0消元法消去y得：( ； x21a a c即：(a2 3)x2 a2j3 x)2 a2(a2 3) 0整理得：(2a2 3)x2 2 一3a2x a2(6 a2)01 一由于P为AB中点，所以Xp -(xa xB)， yp 、3 Xp代进式由韦达定理得：xp12(xA xB)-2 3a22 2a23,3a22a23yPxp .3,3a22a23、3a2 3.322a23由此得到op的斜率为：k生 迂f 3 -3xp血a2a2已知k 1，故：a26，于

16、是b2 a2 3 32x2 y2所以椭圆E的方程为：丄16 3直线m:x y .30经过F( .3,0)点，直线l也经过F(J,0)点,故Q点必在关于椭圆E以F为极点的极线上代入极线方程得：-3x1 ；即：x 6 2 363Q V3由于AD与BC关于x轴对称，根据对称性，yQ 0所以Q点的坐标为：Q(2、3,0)2 29、设椭圆E令詈1的长轴端点为A B，与 y轴平行的直线交椭圆E于P、Q两点,PA、QB的延长线相交于S点，求S点的轨迹.解：设 S(X0,y。)， P(m,n)，Q(m, n)由 PA/AS得:kPA kASkPAn 0m ( a)kAS0 yX0(a)X0y0a故:y0由 B

17、Q/QS 得:kBQkQSkBQQSy。0aX0y0X0故:y0X0 a2由式得：a2 m2y22 2X0a又，P、Q两点在椭圆E上,满足:m2n2b2n2即：乡b2a2a2 m2a2，即:bin2n2n2a2 m2代入式得:b2n22 2an_z 2n a i2 2X0 aa2 a2m2m2n22 即：电 b22X0 a2a2故:a22b1X0,1,这就是S点的轨迹方程.1 0、已知抛物线P： y2 2px (p 0) , F为P的焦点，M为P上任一点，I为过M点的切y故M点的切线为:tan yXMpyMtan(2 )-12ta ntan22yMrM2pyM_P22pyM2 p22pyM22

18、pxM p即： 2yMx PM 2，FM与I的夹角为tan1 1、已知抛物线，而就是I与x轴的夹角.3丘P的顶点为原点，其焦点F(0,c)到直线I : x y 20的距离为d ，M2线，求证：FM与I的夹角等于1与x轴的夹角.证明：FM为抛物线的焦半径，设其倾角为，M(xM，yM), F(舟,0)在I上，过M作抛物线P的两条切线MA、MB，其中A、B为切点.当M的坐标为(4,2)时，求AB的直线方程； 当M在I上移动时，求AF BF的最小值.解：先求抛物线P的方程由焦点F(0,c)到直线I :x y 2 0的距离为d0 c 212 ( 1)2%2也，即：c 12 2抛物线P的方程为：x2 4c

19、y 4y 下面求AB的直线方程：AB的直线方程与M点是抛物线P的一对极线和极点，故用极线方程秒之AB的直线方程：xM x 2(yM y)将M (4,2)的坐标值代入得：4x 2(2 y) 4 2y，即：2x y 20AFA点到准线的距离，BFB点到准线的距离.AFBF(yA c)(yB c)(yA 1)(yB 1)即:AFBF(yA 1)(yB1)yAyB (yA yB) 1由于M 1，可将l : x y 20作为极线，来求其极点N .极点N(xN，yN)关于抛物线P的极线为：XNX 2(yN y)，即: xNx 2y 2yN 0与 l : x y 20 对比得：X” 2， y” 2当M在l上

20、移动时，其极线AB必过N点设AB的直线的斜率为k，则AB的直线方程为：y k(x xN ) yN即：y kx 2k 2AB点为与的交点、 212 2将代入式得：4 y x2- y - k 1k k即：4k2y y2 4(k 1)y 4(k 1)2即：y2 4(k2 k 1)y 4(k 1)2 0方程的两个根就是a和yp.由韦达定理得：yAyB 4(k 1)2，yA yB 4(k2 k 1)代入式得：AF| |BF 4(k 1)2 4(k2 k 1) 14(k2 2k 1 k2 k 1) 14(2k2 3k) 924(2k23k) 98k22 3 k4労8 (4)2 944故AF9BF的最小值是

21、-21 2、过抛物线P:x2 2py (p 0)的焦点F作斜率分别为k、k?两条不同弦AB和CD，k1 k22，以AB、CD为直径的圆M圆N ( M、N为圆心)的公共弦所在的直线记为I，若圆心M到l距离的最小值为7 5亠，求抛物线P的方程.5解：抛物线x2 2py的焦点F(0, E).2设AB直线的方程为：y Kx -，1 2贝U: AB点的坐标满足抛物线方程和2x2 2py即:py k1x iCD直线的方程为：y k2xAB直线的方程于是：x2 2py2p(kx 2 2pkx p2故：x2 2pkxP2AB是圆M的直径,则由韦达定理得：xM 2(xA xB)pk1，xA xBp21A XB)

22、yA yB (k1xA 舟)(k1xB 2 k1(x圆M的直径平方为：AB2 (xA xB)2B)2 (1 kf)(xA xB)2 (1 k12) xA x2B4xA xB将式代入上式得：2 2 2 2 2 2 2 22 (1 k；)(4p2k； 4p2) 4p2(1 k；)22p(1 kj)AB故圆M的直径为:AB圆M的半径为：rM p(1 k12)圆M的方程为：(X Xm)2 (y yM )2 rMp2(1 k12)2同理，圆N的方程为：(x xN )2 (y yN )2 p2(1 k；)2由-得：(XN XM)2x (xn XM ) (yN yM)2y (yN yM ) P2(%2 k2

23、)(2 k1 k2) 将 XNXMp(k2k1)，XNXMp(k2k1)2p2 2 2 2yNyMP(k2k1)，yNyM P(1k2k1)代入上式化简得：x 2y 0这就是两圆的公共弦I的直线方程.由圆心M到I距离为：XM %护(2)2XM 2yM5Pk1，yMp 2 Pk1XM2 Pk12代入上式，并由圆心M到1距离的最小值为号得:41.5(Pk12pkjP)1 2扌(牛2 k1 1)2P “1 277p 75.5 k14168.552P kf 2k1丄丄丄1.5 1 1 4 42 42 2故：p 8，则抛物线方程为：x216y.M(0,y0)，贝U： N(0,y08)，MN的垂直平分线方

24、程为：y12 (yMyN)yoAM的斜率为：k AM严ZaM XAyo 00 4Io4则AM的垂直平分线的斜率为：k1kAMyoAM的中点K为:xxMxA口 2 yxK222，yKyMyA2则AM的垂直平分线方程为:4y (xyo4 xK) yK 才2)联立,消去y0得：y4(y 4)(x2)几(x 2)，即:y2 428(x 2) 8x 16，即：y2 8x这就是求动圆圆心C的轨迹方程，是条抛物线.1 4、如图已知，在抛物线P: y2C其圆心在抛物线M、N，若 AF 2P 上,AM解：抛物线的准线方程:4x的焦点为F ,其准线与x轴的交点为A.过原点的圆 与抛物线的准线I交于不同的两点AN，

25、求圆C的半径.设圆C其圆心坐标为：处占。）,因圆心在抛物线P上，贝U: x02Zq4又圆C过原点，贝y016y0故圆C得方程为:x42yo即：X2162 2y 2y0y y016y0即：X2y2%y 0对于在准线I上的M、N两点，其x代入上式得：11 ,即:y2 2y0y g 1 0N的纵坐标.方程的两个解就是M、由韦达定理得:yMyN2y0， yMyNAFAMyM，ANyN ；代入AFAM将结果代入式得:将结果代入式得:故：圆C的半径为:1 5、如图，抛物线P1AN得:rC:x2yM16yN即:2y036166.3344y，抛物线F2:x22py(p 0)，点 M(x0,y0)在抛物线 p

26、上,过M作p的两条切线MA和MB，当x01迈时，切线1MA的斜率为k.2求：AB所在的直线方程；当点M在抛物线F上运动时，求 AB中点的轨迹方解：先求A点的坐标:抛物线P1:x2 4y的导函数为：4y 2x，即：y I牛就是切线MA的斜率为k故: xA 1，yA2Xa41 1；，即:A( 1,4)再求AB所在的直线方程:M (x, y)点与AB所在的直线是关于 片的一对极点和极线,故：AB所在的直线方程为:x0x2(y y0)Xc即: y fx y0求M (x, y)的坐标因为方程过A点，故:y0 ；当x01 &时,yoXo22 2,2 1确定AB所在的直线方程:将M (x, y)代入式得：y

27、Jx3 2迈、123 2.2x2这就是AB所在的直线方程设AB的中点为N(XN，yN)，贝U：1乂0xN 2(xA xB)，yN TxN y0Xo2xN2x04将代入抛物线耳方程得:x2 4y 4(x2y0)2x0x 4y0，即:x22x0x由韦达定理得:1(x./ AxNxB)122xxyNx0x2 Nyo3 24xN或者:2xN43yN.这就是AB中点的轨迹方程.1 6、已知抛物线P:y28x，焦弦AB被F分为FA、FB两段，求:1FA1FB解：抛物线的焦点pF(P0)，即: F(2,0)，p 4，e 1以焦点为原点建极坐标，则抛物线的极坐标方程为:ep1 ecos 1 cos设：A( 1

28、,)，则:B( 2,)c.B工曰11于疋.I |FA11 COS41 11 cos()1coslFB 2448.故：111cos1cos1a.A故：|FA| |FB|4421 7、如图，在正方形.中，O为坐标原点，点A的坐标为10,0，点C的坐标为0,10，分 别将线段OA和AB等分成十等分，分点分别记为A1，A2，,A和B1，B2，,B9，连接OBj， 过A作轴的垂线与OB.交于点P i N*,1 i 9 .iii求：点p的轨迹方程；求：过点P的切线方程。i解：因为B.(10,i)，所以OB.的直线方程为：上丄，即：y丄xiix 1010A所在的的垂线方程为：x ii2 i2那么过A作轴的垂

29、线与OB.交于点R(i,)，故：x i，y ，iii 10Pp 10贝U： y ，这就是点P的轨迹方程.10 ii2P点的坐标为：P(i,)ii 10y y x xx.则该点的切线方程为：-，即：y x yi2105i解：该双曲线的基本参数:a2 * 4 4， b25， c2 a2 b29，故：c 3，焦点 F(3,0)设过右焦点F的直线方程为：y k(x 3)，贝U: x - 3.k代入双曲线方程4yyB)2 5x2 20 0得：4y2 5(- 3)2 200k化简得：4k2y2 5(y 3k)2 20k20(k 0 时)即：(4 k2 5)y2 30ky 25k20当k 0时，直线方程为y 0,与h的准线的交点，不构成三角形yC12(yA yB)15k24k25yA25k2yB(4k2 5)圆c的方程设圆c的圆心坐标为：C(x y )， A、B两点为圆直径上的点,故由式得韦达定理得:9则:212k224k25152 4k2 5