求极限的方法本科生毕业论文

1、求极限的方法摘要 求数列和函数的极限是数学分析的基本运算。求极限的主要方法有用定 义,四则运算,两边夹法则,函数连续性等。除这些常规方法外 ,还有许多技巧 ,这 些技巧隐含在函数的相关理论中 , 对这些技巧进行探讨归纳 , 不仅有教材建设的 现实意义 , 而且便于解决极限相关问题。在这里简单综述了一些常用的求极限的 方法，目的在于大家更好地学习极限，并为以后的学习打下坚实的基础。关键词 极限 洛必达法则 重要极限 等价无穷小The limit of the methodAbstract For the sequenceand function limit is the basic operat

2、ion mathematical analysis. The main methods used for limit definition, arithmetic, both sides clip law, function, continuity, etc. In addition to the conventional method, but there are many techniques that these skills implicit in the related theory, of the techniques discussed induction, not only h

3、ave the practical significance of the construction of teaching material, and easy to solve the problems related to the limit. Here some commonly used article reviews for the limits of the method, the purpose is to you better learning limit, and for the future study and lay a solid foundation.Key wor

4、d Limit LHospital Rule Important limit Equivalent infinitesimal引言 极限是研究变量变化趋势的基本工具，数学分析中许多基本概念， 如连续，导数，定积分，无穷级数都是建立在极限的基础上，极限方法又是研究 函数的一种最基本的方法，因此学好极限在高等数学学习中具有重要意义。本文介绍了一些求极限的方法有：利用 或 n定义求极限、函数连续性求极限、 四则运算、两个重要极限、等价无穷小量代替求极限、洛必达法则、泰勒展式求 极限、微分中值定理、积分中值定理、夹逼准则等等。那么在运用这些方法时应 该注意一些细节问题。在利用 或 n定义，求解的关键在

5、于不等式的建立， 在求解过程中往往采用放大、缩小等技巧。运用连续性求极限时，在定义域范围 内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点 的函数值。运用极限四则运算时，要注意分子分母有理化，当然对于简单的一类， 直接代入，如果代入后分母为零，就化简，比如分解因式，然后代入其中。当极 限形式中含有三角函数时，这时我们一般可通过三角公式恒等变换和等价变换，x然后利用重要极限lim 叱 1来求解。在运用重要极限lim 1 -e求极限时，X 0 XXX可通过配系数法、变量替换来转换成1型极限。在利用等价无穷小量求极限，那就要求要先熟记几个替换了，如：tanx x(x 0)， s

6、inx x(x 0)，也要注 意到只有对所求函数式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替换 ，而对于极 限式中的相加或相减的部分则不能随便替换。 而在运用夹逼准则时，关键在于构 建两个函数f(x)和g(x)。在求极限的过程中，会经常发现一道题可以运用多种方法解答， 因此给我们 的启示是每种方法之间都有一定的联系。那我们在解题时，最常用的方法是洛必达法则，等价无穷小代换，两个重要极限公式在做题时，如果是分子或分母的一 个因子部分，如果在某一过程中，可以得出一个不为0的常数值时，我们常用数 值直接代替，进行化简。也可以用等价无穷小代换进行化简， 化简之后再考虑用 洛必达法则。对0/0和/ /型的，

7、用洛必达法则，还有一些待定型函数的极限， 先化为0/0或/的再用此法则。求极限必须是在极限存在的前提下进行的，根据不同的形式可以选择不同的计算方法，合理利用各种计算方法，亦可进行适当的结合，使得求极限的方法更明了，算法更加简单。1利用 或-N定义设f为定义在a ,+ )上的函数，A为定数.若对人给的 0,存在正数M ( a)，使得当xM时有：f (x) A ，则称函数f当x趋于+时，以A为 极限，记作：lim f (x) A或 f (x) A(x) x例 1 求证 lim (x2 xy y2)7 .(x,y) (2,1)证明x2 xy y2 7 = (x2 4) xy 2 (y2 1)=(x

8、2)(x 2) (x 2)y 2(y 1) (y 1)(y 1)x 2 |x y2+y1|y3，先限制在点(2，1 )的=1的方域：(x,y ) | x 2 1， y 1 1内讨论，于是有 |y 3 y 1 4|y 1 +45 x y 2 = (x 2) (y 1) 5x 2 + y 1 +57,；|x2 xy y277 x 2 +5 y 1上有定义，x ( a ,b)固定，则定义导数f (x)为差商y/ x的极限:y . f (x x) f (x)f (x)= lim = limx 0 x x 0X如果f(x)存在且有限，则称f在点X可导.2例 2 求 lim (x ) ctg2x.2解取

9、f(x)=tg2x.则1Xim(x 2)ctg2x 厂亦2limX 2 X2tg2x tg(2 ) lim2X 2X= limX1 1 =12 一2sec 2x|2f (?)y(X) f(-)利用导数定义求极限时，要注意判断题目给的函数是否可导，若可导，就可以在于构造函数f(x)与X.3利用函数连续性求极限若函数f在X0点处连续,则f在点X0有极限,且极限值等于函数值f X).可以用连续性的一种推广定理：设复合函数f (X)是由函数y f (u)，u(x)复合形成的，并且lim (x) a , lim f (u)X X0-f (a)，则 y f (x)在 xXo处的极限存在且limX Xof(

10、x) =啊(X)3f (a).解令ax 1 = y，则xloga(1y),当x 0时，y 0,于是有:Xa 1 lim=limx 0X y 0loga(1 y)= lim=lim y 0 1y 0丄yloga(1 y)loga(1 y)y8yi叫log a(11y)loga e=ln a,由此可见，利用连续性可以求复合函数不连续点处的极限，只要该函数满足定理条件.4利用定积分求几个和式的极限利用定积分求几个和式的极限时首先选好恰当的可积函数f(x)，取特殊的点，把所求极限的和式表示成f(x)在某区间a,b上的待定分法(一般是等分)的积分和式的极限，即是所求的极限等于f(x)在a,b上的定积分，

11、因此遇到求一些和式的极限时，若能将其分化为某个可积函数的积分和， 就可以用定积分求 此极限.例4计算数列极限lim (x. 1-/2.n3 n3解将数列通项变形为-1_2.n3令f (x) x，0 x 1它是n等分区间0，1，k 1 k取区间-的右端点构k n成的积分和。已知函数f(x) x在0，1可积，于是由定积分求和式有limx1n5利用函数极限的四则运算求极限利用函数极限的四则运算法则求极限是最基本、 最直接的方法，但需注意的 是各个函数的极限必须存在且分母的极限不能为零.有些情况下能直接利用极限 的四则运算法则，而有时我们无法直接利用极限的四则运算法则， 这时就要求我 们对所给的函数进

12、行化简变形，之后再利用四则运算法则求解 .求02X3 2x2 4xx3 3x24解由于 x 2 时，x3 2x2 4x 80 , x3 3x240故无法直接用四则运算，应先化简原函数原式=02x3 2x2 4xx3 3x248=limxx2(x 2) 4(x 2)(x3 2x2) (x24)对要求的函数进行适当变形和化简,常用的变形或化简有：分式的约分或通lim (x2)(x2)(x2)lim (x 2)4x 2 (x2)(x2)(x1)x 2(x 1)3分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积 公式以及适当的变量替换.6利用两个重要极限求函数的极限灵活运用两个重

13、要的极限：x.sin x1lim1 lim 1e ，x 0 xxx对所求的函数进行适当变形，将其变为与两个重要极限的形式相同，再求解. 例 6（ 1）求 lim 1 cosx .xsin 22 22 =lim（一 ）n o x2一般可通过三角公式恒等变换，然后利用重n x si nx亠1 1丄sinx 2222sin2 -n 0 x sin xn 0 x sin x解血5空=佃当极限形式中含有三角函数时, 要极限lim沁1来求解.X 0 x例 6（ 2）求lim (1色xxa22 xa33 xan、bxn) ，n N .x0 时，lim (1 axxa22 xa33 x%0=1,x当b 0时，

14、此极限为1型，且故有0tan x sin x3sin x1cosxx3limx(1a1xa22 xa33 xana1a2a3)bx b lim (a2xn2x x xann 1)=时,xlimx(1a1xa22 xa3飞 xan)bx=ea1b，n N. nx对于这类求极限的题目，可以通过配系数法、变量替换，来转换成1型极限，函数中含有幕指函数时，往往出现这种情形，这时可通过变换化成(1 -)x或x1(1 x)x的形式，再利用重要极限求解7利用等价无穷小量代替求极限例7求limtanx劭吧x 0 sinx解 由于 tanx sinx sinx (1 cosx), cosx2x 0 时，sin

15、x x ,1 cosx ， sinx3x3,2在利用等价无穷小量求极限时应注意，只有对所求函数式中相乘或相除的因 式才能用等价无穷小量替换，而对于极限式中的相加或相减的部分则不能随便替 换.如在上题中，若用 tanx x(x 0) , sin x x(x 0),而推出 lim tanx 身nx =nm 上_笃 0,则得到的是错误的结果 .x 0sinx3x 0sinx38利用洛必达法则求极限洛必达法则是以导数为工具研究不定式极限，只能对-型和一型的不定式极0限直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，然后再应用洛必达法则 . 利用这种方法求解既简单又有效，但并不是任何比式极限都可以按洛必达

16、法则来 求解,需注意其条件极其繁琐程度.对无穷小(大)进行降价处理，使得过未定式一步步的转化，最终分子或是分母中至少有一个不再是无穷小（大），这时就 可以直接用极限的四则运算法则求出结果.例 8（1）求 limCOSX.x tan x解令f x 1 cosx, g x tan2 x,易知f x、g x在点x0的领域内0满足I叫f x x叫g x o,且在x0的空心邻域u（xo）内两者都可导,贝ulimx3cos x2I1 cosxf xsinxlim 2 lim limx tan x x g x x 2tanx sec x当用洛必达求解极限不存在时，不能说明原函数极限不存在例 8(2)求极限l

17、im xsin xxx sin xsin x解 limlim11,xxxx但用洛必达法则时：limxsi nxlim 1 cosx ,极限不存在xxX19利用级数收敛的必要条件求极限利用级数收敛的必要条件：若级数 un收敛lim un 0 ,利用该条件，可以求 n 1n极限,而且利用此条件可以判断级数的敛散性.对于级数收敛性有这样的一个推广定理：设数列Xn，对n=1,2,及某一自然数P,满足：yn c1xn c2xn p , GC2，贝U： lim Yn A的必要充分条件是nA 5lim xn.c1C2例9设数列一般项为：Xn=a+aqa (n 1)qnq,其中q1,证明Xn收敛，并求其极限.

18、解qXn 1 a2q2q+a(nq迥 +7xnq(nnq1)qqXn 1Xn = a令 yn qXn 1 Xn，则limnyn故由定理知： xn收敛，且lim Xnnq a(q 1)2aq1),x3=cos0 x叫10利用泰勒公式求极限在处理某些特殊函数（高阶函数或几种不同类型的初等函数的混用）的极限 时,用其他方法会受到一定的限制或是计算过于繁琐，则可考虑用泰勒公展式（或 麦克劳林公式）来求极限，但在运算过程中，必须注意高阶无穷小的运算及处理.X2210 求极限 lim CoSX4ex 0x4可,因为分母是X的阶无穷小,所以只需将分子中各函数展开到含x4项即2彳 Xcosx 1 24X24o

19、 X5eT因此 cosx e2X2X4x2cosx e 2 limx 04x5o x lim 12 4x 0x4在运用泰勒公式时，将分母中各函数在xX。点按泰勒公式展开到第n项，n为使新分母不为0的最小项数，再化简得到新的分母，同时分子也如此展开到与 分母具有同次幕的项止，化简得到新分子，然后再求极限 11利用幕级数的展开式求极限幕级数是一类最简单的函数项级数，可以看作是多项式函数的延伸，因此可 以利用逐项求导、逐项求积分及将利用初等函数的幕级数展开式将复杂的多项式 简单化,进而方便求其极限例 11 求 lim x x2lnx解由题可得2 1 lim x x ln 1 x21111limxxo

20、4xx2x23x3xlim11o11x23x2x2(i)在a,b连续，(ii)在(a,b)可导；则在(a,b)内至少存sin (sin x) lim亍x 0x3(sinx x) cos (x sinx) x =limx 0cosx 13x2=x叫sin x = 16x = 612在一点 ，使：1f ()f(bbf (a)7ba例12求limsin (si nx)3sin xx 0x解si n(sinx) sin x(sin xx) cos(x sin x) x (0若函数f(x)满足:sin x在运用此定理时，首先应确定连续函数f(x)，再找出范围(a,b).13夹逼准则0设 limfx li

21、mgx A ,且在某 U(x0,)内有 fx h x g x ,则x X)x xolim h x A.应用夹逼准则时，要构造两个函数f (x)和g(x)，使得它们在点xx x处的极限相等，而同时建立不等式使得h(x)在这两函数之间，此时极限就求得.例13求 lim x -X 0 x解当x0时,有1 xx丄X1,而 lim 1 x 1x 0故由迫敛性可得：lim X -1 ,X 0X另一方面，当x 0时，有11X1 X ,X故由迫敛性又可得：lim x丄1 ,X 0X1综上所述，我们可以得出：lim x 11 .x 0X14单调有界性定理0设f为定义在U (xo)上的单调有界函数，则右极限lim

22、 f x存在.当x xxXo，x时其相应的单侧极限在其定义域内上述定理亦存在.在运用此定理时，先确定定义域，再证明其单调性，然后就求极限.例14设x1 1, xn 1 13,证明：lim人存在,并求之.-人x3证明 X2 - x,若Xk Xk 1,则2XkXk 11Xk1xk 1XkXk 11 Xk 1xk 1所以xn单调增加，且0焉1Xk 11Xk 12,于是由定理可知:lim xn存在，设lim xnxa,两边求极限，有：a 1a2 a 10,所以lim xnx16柯西准则在正数设函数f在U(x0,)内有定义,lim f xX X)0U(X0,)有:,使得对任何X, x从定义出发，一般用于反正法,存在的充要条件是:任给 0,存10函数列中用的多，主要找准x ,x ，然后作出 f(x)f(x)的差.例16 求极限lim sinx .xx-inM , x2sin xsin x2任给M 0 ,记n MM ,存在M ,使得则由柯西准则可知:lim sinx不存在.x17海涅定理（归结原理）0 ,设函数f在U（x0,）内有定义lim f x存在的充要条件是x x:对任何含于0U(X0,）且以X0为极限的数列Xn ,极限lim f Xn都存在且相等.此定理的意X义在于把函数极限归结为数列极限问题来处理，通常利用此定理的逆否命题来判断极限不存在.1例17求极限lims