求实系数一元三次方程根的实用公式

1、求实系数一元三次方程根的实用公式在数学书籍或数学手册中，对一元三次方程求根公式的叙述都 是沿用“卡丹公式”，即：对于一元三次方程：几削乜设T -釦帘则它的三个根的表达式如下：解:22其中1我们先用该公式解一个p=9 , q=6,次方程:3 , D=18 ,原方程的三个根为H = / 3 -I-+3 比= 黃-了 + 3 悶-3：冷片=3 -I-+ 0哲-3 -1 这样求出的三个根的表达式有两个不妥之处：其一、当卜二时，方程有三个实根（下文给出证明），但这里的片、乃、旳表达式不明确。其二、当时，e以及淀E （如此例中的打-3-“压）违背了现行中等数学的表示规范，也不能具体地求出其值。因此，用“卡

2、丹公式”解出的一元三次方程的根，往往是不实 用、不直观、不严密的。F面我们推导一个实用的改进型求根公式。实系数一元三次方程可写为：二-（ 1）令忑=厂号，代入（1）得尺刃I （2） 其中 不失一般性，我们只要讨论实系数一元三次方程 几昭彳“的求根公式即可。不妨设p、q均不为零，令y=u+v （ 3）代入（2）得，农2+俗冈34勿7 = 口 （4）选择u v，使得= ，即心专（5）代入（4）得，将（5）式两边立方得,(7)联立（6）、（ 7）两式，得关于的方程组:且吩气问题归结于上述方程组的求解。即求关于t的一元二次方程的两根又记用的一个立方根为旳，贝V另两个立方根为血则，厂忖1, 其中叫，叫为

3、1的两个立方虚根。以下分三种情形讨论: 1）若30 ,即D0,则，、事均为实数,可求得/二厂+ MS,二45 ,在尸吗f , |心1菊组成的九个数中,=_p_有且只有下面三组满足妙 3,即坯、叫；比、叫；晒、出，也就是满足UjP=锐2讦3 = 出巾=却严 - D = - 方程（2）的根为戸旳十乃，乃用內+屮M ,旳-眄+ w鬥 这是方程（2）有一个实根 两个共轭虚根比，旳, 其表达式就是前面给出的“卡丹公式”的形式， 这里的根式厂及一；一都是在实数意义下的。2）若 m,即厉时,可求得u3 = M3 = r，取山珂箭 同理，可求得丹=切+气 2逅-寻叼 心f严叮迹阿讷=-听学方程（2）有三个实根

4、，其中至少有两个相等的实根。3）若 AD，即 D0 时,，p0则於、L均为虚数，求出11、并用三角式表示,就有其中T, -都是实数，J严+ (刁F =0i：cos&+j sinct)同理几-芝亟伽-论* 近询叮其中广，且一取吗=（唤号血号） 廿号 Fin号）这三组时才满足于是方程（2）得三个实根为 儿=坯11, y厂与+叫，/厂眄+叫,具体表示出来就为:cx-arccos其中当时，方程（2）有三个实根。综上所述，实系数一元三次方程小严小的求根公式如下:1）当卜时，方程有一个实根和两个共轭虚根,2）当卜M时，方程有三个实根，其中至少有两个相等的实根,3）当卜胡时，方程有三个实根,并=_ 号戶伽号

5、+ jTsiik号）升伽号-4血号） 上面提供的公式，可以求出任意实系数一元三次方程的根的具体值，是 实用性的 这里用以下几个解一元三次方程的实例来说明该公式的应用 例一、解方程 八I。解：p= 27， q=54,D=0,原方程的根为廿-呵京，-3例二、解方程心知W解：p=9, q=4，D=310,原方程有一个实根和两个共轭虚根:片=V- 2+ V- 2 - 51旳=（*十哼）用-2十;质十（一 李心/3Tn + 血-V-3-AT)=-*（戶TPT十可- 2_顶）十f卑玄2十应 -V-2-V5T）片=h =-押-2斗顶 +V-3- V3f）-/例三、解方程b-刼以=。解:p= 9 , q=6,D= 180 ,cc = arcco