小学数学教学论图形与几何的教学

1、（二）有助于发展学生的空间观念 v发展学生的空间观念是发展学生的空间观念是全日制义务教育数学全日制义务教育数学 课程标准课程标准中的一个重要目标，也是中的一个重要目标，也是“图形与图形与 几何几何”教学的核心目标之一。教学的核心目标之一。 v在三维图形与二维图形的转化过程中学生要经在三维图形与二维图形的转化过程中学生要经 历对图形的想象、重组和构建的过程，在将数历对图形的想象、重组和构建的过程，在将数 学或生活语言所描述的情景绘制成实际情景的学或生活语言所描述的情景绘制成实际情景的 过程中，学生的空间观念将得到发展。过程中，学生的空间观念将得到发展。 1 v（三）有助于培养良好的思维习惯（三）

2、有助于培养良好的思维习惯 2 v二、二、“图形与几何图形与几何”的教学内容和编排的教学内容和编排 v（一）图形与几何历史简介（一）图形与几何历史简介 v几何学起源于埃及尼罗河泛滥后土地重新测几何学起源于埃及尼罗河泛滥后土地重新测 量的需要；量的需要； 3 古古 埃埃 及及 地地 理理 位位 置置 埃及是古代文明的 发祥地之一。 “埃及是尼罗河赐 予的礼物” ，尼罗河 由南向北纵贯埃及，在 红海、利比亚沙漠和撒 哈拉沙漠之间滋润出一 条狭长的绿洲，在这里 产生了古埃及文明。 4 v几何这个词最早来自于希腊语几何这个词最早来自于希腊语“”， 由由“”（土地）和（土地）和“ ”（测量）两（测量）两

3、个词合成而来，指土地的测量，即测地术。后个词合成而来，指土地的测量，即测地术。后 来拉丁语化为来拉丁语化为“geometria”。 v英语英语geometry几何几何 v geo代表的是土地，代表的是土地， v metrein指的是測量。指的是測量。 5 v中文中的中文中的“几何几何”一词，最早是在明代利玛一词，最早是在明代利玛 窦、徐光启合译窦、徐光启合译几何原本几何原本时，由徐光启时，由徐光启 所创。所创。 6 利瑪竇 v利瑪竇利瑪竇 (Matteo Ricci; 1552 1610) 意大利傳教士 1606 年與徐光啟合 作翻譯幾何原本 前 6 卷。 7 徐光啟 v徐光启（徐光启（156

4、2 ? 1633） 嘉靖 41 年 ? 崇祯 6 年 字子先，号玄扈，上海徐 家汇人。 1606 年与利玛窦合作翻译 几何原本前 6 卷。 首先引进几何一词。 8 v在人们获得了直线、圆等形的概念以后，而在人们获得了直线、圆等形的概念以后，而 进一步利用笔直的木棍作出直线，利用树杈进一步利用笔直的木棍作出直线，利用树杈 作出圆形的时候，他们已经基本上掌握了这作出圆形的时候，他们已经基本上掌握了这 些图形的性质。些图形的性质。 v在西安半坡遗址中，发现圆、正方形的房屋在西安半坡遗址中，发现圆、正方形的房屋 地基（图地基（图8-），并在出土的陶器碎片上发现），并在出土的陶器碎片上发现 了大量的几何

5、图形（图了大量的几何图形（图8-）。）。 9 10 古代埃及的数学古代埃及的数学 吉萨金字塔(公元前2600年)（刚果，1978） 11 12 （2）中国数学的起源与早期发展 汉像砖伏羲女娲执规矩图 13 女 娲 伏 羲 执 规 矩 图 黄 帝 时 代 隶 首 作 数 14 中国考古文物上的几何图案 15 v测量几何量必须有一个单位，即测量几何量必须有一个单位，即“量具量具”。 最早的量具是很粗糙的，那时候最简单、最最早的量具是很粗糙的，那时候最简单、最 方便的量具莫过于人体的某一部分。方便的量具莫过于人体的某一部分。 v我国古代常用我国古代常用“步步”作为长度单位作为长度单位 。在西方，。在

6、西方， 也有类似的例子。例如，英文中呎的原意足也有类似的例子。例如，英文中呎的原意足 （foot），码（），码（yard）则来源于腰围）则来源于腰围 （gyrgand）之长等。）之长等。 16 v几何符号的出现简化了复杂的数学理论，使几何符号的出现简化了复杂的数学理论，使 得数学理论的应用成为可能。得数学理论的应用成为可能。 17 v第一学段的主要内容是：认识简单几何体和平面第一学段的主要内容是：认识简单几何体和平面 图形，感受平移、旋转、对称现象，学习描述物图形，感受平移、旋转、对称现象，学习描述物 体相对位置的一些方法，进行简单的测量活动，体相对位置的一些方法，进行简单的测量活动， 建立初

7、步的空间观念。建立初步的空间观念。 v第二学段的主要内容是：了解一些简单几何体和第二学段的主要内容是：了解一些简单几何体和 平面图形的基本特征，进一步学习图形变换和确平面图形的基本特征，进一步学习图形变换和确 定物体位置的方法，发展空间观念。定物体位置的方法，发展空间观念。 （二）小学（二）小学“图形与几何图形与几何”教学内教学内 容容 18 v事实上，小学事实上，小学“图形与几何图形与几何”的教学内容经的教学内容经 历了从偏重求积计算发展到增加图形的概念历了从偏重求积计算发展到增加图形的概念 和性质、从偏重知识传授转变到重视空间观和性质、从偏重知识传授转变到重视空间观 念的培养的变化过程。念

8、的培养的变化过程。 19 （三）（三）“图形与几何图形与几何”的教学内的教学内 容的编排特点容的编排特点 v“图形与几何图形与几何”的教学内容不是严格按照知的教学内容不是严格按照知 识的逻辑顺序呈现，而以图形的认识为主线，识的逻辑顺序呈现，而以图形的认识为主线， 根据儿童的生理和心理特征，按图形内容的根据儿童的生理和心理特征，按图形内容的 逻辑关系来构建内容体系。逻辑关系来构建内容体系。 v采用采用“问题情境问题情境建立模型建立模型解释、应用于解释、应用于 拓展、反思拓展、反思”的基本模式展现内容，而不是的基本模式展现内容，而不是 “公理定义公理定义定理性质定理性质例题例题习题习题”的结的结

9、构形式。构形式。 20 v 1.“图形的认识图形的认识”教学内容的编排特点教学内容的编排特点 v“图形的认识图形的认识”的编排顺序是：感知立体图的编排顺序是：感知立体图 形形辨认平面图形辨认平面图形角和直角角和直角长方形、正长方形、正 方形的认识方形的认识锐角和钝角锐角和钝角认识线段、射线认识线段、射线 和直线和直线角角相交和平行一认识平行四边形相交和平行一认识平行四边形 和梯形和梯形三角形三角形长方体和正方体长方体和正方体圆圆圆圆 柱和圆锥。柱和圆锥。 21 v一年级设置了认识三维立体图形（如长方体、一年级设置了认识三维立体图形（如长方体、 正方体、圆柱体、球体）的教学内容；正方体、圆柱体、

10、球体）的教学内容； v二至四年级编排了认识二维平面图形（角、二至四年级编排了认识二维平面图形（角、 线段、直线、射线、长方形、正方形、三角线段、直线、射线、长方形、正方形、三角 形、四边形）的教学内容；形、四边形）的教学内容； v而五、六年级的教学内容既包括长方体、正而五、六年级的教学内容既包括长方体、正 方体、圆柱、圆锥等三维几何体的特征性质方体、圆柱、圆锥等三维几何体的特征性质 也包括二维平面图形圆的认识。也包括二维平面图形圆的认识。 22 v教学内容的呈现大都采用直观几何、实验几教学内容的呈现大都采用直观几何、实验几 何的方式，设置的情境贴近学生的现实生活何的方式，设置的情境贴近学生的现

11、实生活 和日常经验，和日常经验， v使学生获得对简单的几何体和平面图形的直使学生获得对简单的几何体和平面图形的直 观经验，逐步认识简单几何体和平面图形的观经验，逐步认识简单几何体和平面图形的 形状、大小、位置关系。形状、大小、位置关系。 23 v 2.“测量测量”教学内容编排的特点教学内容编排的特点 v“测量测量”的教学内容不是单纯的图形面积和体积的教学内容不是单纯的图形面积和体积 的计算，而是强调对量的实际意义的理解，让学的计算，而是强调对量的实际意义的理解，让学 生在参与测量的过程中，自己选择测量的工具和生在参与测量的过程中，自己选择测量的工具和 测量方法，从而进一步掌握有关测量的知识和技

12、测量方法，从而进一步掌握有关测量的知识和技 能。能。 24 v 3.“图形的运动图形的运动”教学内容编排的特点教学内容编排的特点 v“图形的运动图形的运动”教学内容突出了与生活的联教学内容突出了与生活的联 系，强调活动经验的积累。系，强调活动经验的积累。 v 4.“图形与位置图形与位置”教学内容编排的特点教学内容编排的特点 v“图形与位置图形与位置”教学内容的编排采用了辨认教学内容的编排采用了辨认 方向方向确定位置确定位置描述路线的顺序。描述路线的顺序。 25 三、“图形与几何”的教学要 求 v（一）关注（一）关注“图形与几何图形与几何”知识的形成过程知识的形成过程 v一般地说，在一般地说，在

13、“图形与几何图形与几何”教学过程中，教师教学过程中，教师 针对图形、测量、位置、变换等原发现过程进行针对图形、测量、位置、变换等原发现过程进行 教学加工，设计一个学生可接受、可操作、可实教学加工，设计一个学生可接受、可操作、可实 现、可理解的的数学情境，引导学生去揭示或感现、可理解的的数学情境，引导学生去揭示或感 受知识发生的前提或原因，使其认识和了解数学受知识发生的前提或原因，使其认识和了解数学 的概念、公式、例题以及应用产生的背景和发展的概念、公式、例题以及应用产生的背景和发展 的过程。的过程。 26 v1.创设问题情景，展现知识的发现过程创设问题情景，展现知识的发现过程 v创设问题情景，

14、就是要为学生提供恰当的实际创设问题情景，就是要为学生提供恰当的实际 问题和知识背景，提出符合学生认知水平的思问题和知识背景，提出符合学生认知水平的思 考问题，经过学生观察、实验、比较，作出猜考问题，经过学生观察、实验、比较，作出猜 想，为想，为“图形与几何图形与几何”知识的形成奠定感性基知识的形成奠定感性基 础。以础。以“角角”这一概念的教学为例，首先设置这一概念的教学为例，首先设置 摸纸片的活动，摸纸片的活动，“布袋里有五个硬纸片（图布袋里有五个硬纸片（图8- ），你能从布袋里把某个硬纸片摸出来吗？），你能从布袋里把某个硬纸片摸出来吗？” 通过摸纸片，让学生初步感受角的形状特征。通过摸纸片，

15、让学生初步感受角的形状特征。 27 角（视频） 28 v2.增加实验操作，再现结论的探究过程增加实验操作，再现结论的探究过程 v如一年级小学生在直观认识正方形时，通过如一年级小学生在直观认识正方形时，通过 自己动手对折正方形纸片，能够认识到正方自己动手对折正方形纸片，能够认识到正方 形形“四边相等四边相等”这一特征。这一特征。 v又如，学生在学习三角形内角和时，通过撕又如，学生在学习三角形内角和时，通过撕 角、拼角把三角形纸片上的三个内角拼成一角、拼角把三角形纸片上的三个内角拼成一 个平角，证明了三角形的内角和是个平角，证明了三角形的内角和是180。 29 v3.精心设计问题，揭示解决问题的思

16、维过程精心设计问题，揭示解决问题的思维过程 v数学教学的核心是培养学生解决问题的能力，数学教学的核心是培养学生解决问题的能力， 通过问题的解决来启迪和发展学生的思维，通过问题的解决来启迪和发展学生的思维， 在完成在完成“图形与几何图形与几何”知识学习的同时，培知识学习的同时，培 养学生的思维能力。养学生的思维能力。 v三角形的面积计算三角形的面积计算 （视频）（视频） 30 （二）“图形与几何”的实际背 景 v1.生活实际背景生活实际背景 v“图形与几何图形与几何”教学应该从学生的生活经验教学应该从学生的生活经验 和己有的知识出发，充分利用现实生活中的和己有的知识出发，充分利用现实生活中的 实

17、际背景去理解知识；实际背景去理解知识； v对称对称 （李彬课件）（李彬课件） 31 v2.生产实践背景生产实践背景 v结合生产实践和生活实际去教学，探索知识结合生产实践和生活实际去教学，探索知识 发生、发展的背景，使学生灵活掌握和应用发生、发展的背景，使学生灵活掌握和应用 所学的知识，培养他们的创新能力。所学的知识，培养他们的创新能力。 v如计算做一个油箱用多少铁皮应求六个面的如计算做一个油箱用多少铁皮应求六个面的 面积，计算粉刷游泳池需要求四周和底面的面积，计算粉刷游泳池需要求四周和底面的 五个面的面积，五个面的面积， 32 v3.几何发展史背景几何发展史背景 v例如：教学例如：教学“圆的认

18、识圆的认识”时介绍一下圆周率时介绍一下圆周率 的演变发展的过程，特别介绍圆周率的计算的演变发展的过程，特别介绍圆周率的计算 过程过程 。 33 （三）重视直观感性材料的作用（三）重视直观感性材料的作用 v1.实物直观实物直观 v2.模型直观模型直观 v3.图像直观图像直观 34 四、小学生几何思维的发展四、小学生几何思维的发展 v在在20世纪世纪50年代末，范希尔夫妇（年代末，范希尔夫妇（Pierre van Hiele & Dina van Hiele）在格式塔心理学和皮）在格式塔心理学和皮 亚杰发生认识论的基础上提出了几何思维水平亚杰发生认识论的基础上提出了几何思维水平 的理论。从整体上把

19、几何思维分为五个层次，的理论。从整体上把几何思维分为五个层次， v即视角辨认层次、即视角辨认层次、 v分析层次或描述层次、分析层次或描述层次、 v非形式的演绎层次、非形式的演绎层次、 v形式演绎层次形式演绎层次 v以及严密性层次；并提出了相应的教学策略。以及严密性层次；并提出了相应的教学策略。 35 36 v为了更准确地反映小学生几何思维的发展，为了更准确地反映小学生几何思维的发展， 应在范应在范希尔夫妇所说的五个水平上再增加一希尔夫妇所说的五个水平上再增加一 个新的水平个新的水平水平水平0(前认知前认知)。 37 v介绍小学生几何思维水平的发展阶段。介绍小学生几何思维水平的发展阶段。 v1.

20、水平水平0：前认知：前认知 v 学生能通过整体轮廓辨认图形，但因感觉学生能通过整体轮廓辨认图形，但因感觉 活动的缺乏，他们可能只注意形状直观特征活动的缺乏，他们可能只注意形状直观特征 的某些部分，不能认识到其中的组成部分。的某些部分，不能认识到其中的组成部分。 38 v 2.水平水平1：视觉：视觉 v对小学生而言，他们能按照外观识别图形，对小学生而言，他们能按照外观识别图形， 在心理上把这些图形表示为直观图形，例如在心理上把这些图形表示为直观图形，例如 学生可能会因为学生可能会因为“三角形像三明治，长方形三角形像三明治，长方形 像门像门”区分三角形和长方形。区分三角形和长方形。 v然而，学生不

21、关心图形的几何性质和本质特然而，学生不关心图形的几何性质和本质特 征，因此不能正确区分正方形和菱形，而认征，因此不能正确区分正方形和菱形，而认 为两种图形是为两种图形是“相等相等”的。的。 39 v3.水平水平2：分析：分析 v学生开始分析图形的组成要素，能借助观察、测学生开始分析图形的组成要素，能借助观察、测 量、画图和建模等手段经验地建立图形的性质特量、画图和建模等手段经验地建立图形的性质特 征，并依据性质特征识别图形，但不能解释图形征，并依据性质特征识别图形，但不能解释图形 的某些性质之间的关联，也不能识别不同类图形的某些性质之间的关联，也不能识别不同类图形 之间的关系。例如，无论三角形

22、在形状上有多大之间的关系。例如，无论三角形在形状上有多大 的差异，学生都通过三条边和三个角的特征性质，的差异，学生都通过三条边和三个角的特征性质， 准确地识别各种形态的三角形，但是没有构建边准确地识别各种形态的三角形，但是没有构建边 和角的联系，即不能理解三角形内角越大，对应和角的联系，即不能理解三角形内角越大，对应 边越长的性质。边越长的性质。 40 v4.水平水平3：非形式化演绎：非形式化演绎 v学生能形成抽象的定义，开始注意图形与图形学生能形成抽象的定义，开始注意图形与图形 性质之间的关系，可以提出非形式化的推论，性质之间的关系，可以提出非形式化的推论， 进一步探索图形的内在属性和其包含

23、关系，因进一步探索图形的内在属性和其包含关系，因 而能分层次地将图形进行分类，并使用公式与而能分层次地将图形进行分类，并使用公式与 定义对这些类别进行非形式化的论证。定义对这些类别进行非形式化的论证。 41 第二节 图形与几何概念与技能教学 v一、图形的认识一、图形的认识 v（一）空间观念的理解（一）空间观念的理解 v1. 空间观念的基本成分空间观念的基本成分 v全日制义务教育数学课程标准全日制义务教育数学课程标准对空间观念培对空间观念培 养作了如下描述：养作了如下描述： v“根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形 想象出所描述的实际物体；想象出所描述

24、的实际物体； v想象出物体的方位和相互之间的位置关系；想象出物体的方位和相互之间的位置关系； v描述图形的运动和变化；描述图形的运动和变化； v依据语言描述画出图形等依据语言描述画出图形等”。 42 v在学生数学学习中，空间观念主要包含如下在学生数学学习中，空间观念主要包含如下 基本成分。基本成分。 v（1）图形的识别与理解能力）图形的识别与理解能力 v（2）图形的分解与组合能力）图形的分解与组合能力 v（3）图形的建构与探索能力）图形的建构与探索能力 v（4）对图形的运动与变换的欣赏）对图形的运动与变换的欣赏 v（5）利用几何直观解决问题能力）利用几何直观解决问题能力 43 密铺的例子密铺的

25、例子 44 v 2. 小学生空间观念发展的心理特点小学生空间观念发展的心理特点 v（1）直观性）直观性 v小学生的认知水平基本上处于小学生的认知水平基本上处于“具体运算阶具体运算阶 段段”，认识几何图形主要通过动手操作（做，认识几何图形主要通过动手操作（做 一做、拼一拼、搭一搭、画一画等活动），一做、拼一拼、搭一搭、画一画等活动）， 尤其是低年级学生，对图形的感知往往偏重尤其是低年级学生，对图形的感知往往偏重 于对象的直观性较强的属性特征，对那些不于对象的直观性较强的属性特征，对那些不 太明显的属性特征和比较抽象的几何概念的太明显的属性特征和比较抽象的几何概念的 理解比较困难。理解比较困难。

26、45 v（2）描述性）描述性 v小学生往往倾向于用日常用语来描述几何概小学生往往倾向于用日常用语来描述几何概 念，对于精确的、严格的几何概念，往往很念，对于精确的、严格的几何概念，往往很 难理解。但需要注意，直观具体的日常语言难理解。但需要注意，直观具体的日常语言 描述几何概念具有两面性。描述几何概念具有两面性。 46 v一方面，当日常用语与科学概念一致时，有助于一方面，当日常用语与科学概念一致时，有助于 学生逐步建立空间观念，如对学生逐步建立空间观念，如对“三角形三角形”的描述，的描述， 会更多地借用日常经验中的会更多地借用日常经验中的“三角三角”，或对，或对“正正 方形方形”描述为描述为“

27、方块方块”，并会用这种描述来作为，并会用这种描述来作为 图形的识别图式。图形的识别图式。 v另一方面，当日常用语与科学概念不一致时，会另一方面，当日常用语与科学概念不一致时，会 影响准确科学的几何概念的形成，从而干扰正确影响准确科学的几何概念的形成，从而干扰正确 的空间观念的建立。如学生容易受到日常用语的空间观念的建立。如学生容易受到日常用语 “角是尖的角是尖的”这一概念的干扰，对于平角和周角这一概念的干扰，对于平角和周角 的认识产生困难，并且学生在实物中往往指着顶的认识产生困难，并且学生在实物中往往指着顶 点说点说”角角”，影响了，影响了“从一点引出两条射线所组从一点引出两条射线所组 成的图

28、形成的图形”这一角的概念的形成。这一角的概念的形成。 47 v（3）渐进性）渐进性 v小学生形成几何概念、理解图形性质以及维数的小学生形成几何概念、理解图形性质以及维数的 认识，都需要一个逐步发展的渐进过程。认识，都需要一个逐步发展的渐进过程。 v首先，小学生对几何概念的理解不是一步到位的，首先，小学生对几何概念的理解不是一步到位的， 而是一个渐进的过程，这个过程与小学生空间思而是一个渐进的过程，这个过程与小学生空间思 维水平发展的阶段性相关。维水平发展的阶段性相关。 v其次，小学生通过观察、操作、实验能够发现几其次，小学生通过观察、操作、实验能够发现几 何对象的性质特征，但是对于不同对象的性

29、质特何对象的性质特征，但是对于不同对象的性质特 征关系的理解往往比较困难。征关系的理解往往比较困难。 v再次，小学生维数的认识也是渐进的过程，从二再次，小学生维数的认识也是渐进的过程，从二 维空间发展到三维空间是相当困难的。维空间发展到三维空间是相当困难的。 48 v（4）标准性）标准性 v虽然标准图形有利于小学生发现图形的性质特虽然标准图形有利于小学生发现图形的性质特 征，但是标准图形的呆板、单一，会在学生头征，但是标准图形的呆板、单一，会在学生头 脑中形成思维定势，忽视了事物的变化发展，脑中形成思维定势，忽视了事物的变化发展， 混淆了几何图形的本质特征和非本质特征。因混淆了几何图形的本质特

30、征和非本质特征。因 此，在教学中，标准图形和变式图形要结合运此，在教学中，标准图形和变式图形要结合运 用，使用标准图形，唤起学生生活中已有的经用，使用标准图形，唤起学生生活中已有的经 验，促进学生对图形本质特征的认识。验，促进学生对图形本质特征的认识。 49 3.小学生空间观念的培养 v首先，学生经验是发展空间观念的基础。首先，学生经验是发展空间观念的基础。 v教学教学“长方体和正方体的认识长方体和正方体的认识” 切土豆切土豆 v其次，空间观念在发展的过程中逐步形成。其次，空间观念在发展的过程中逐步形成。 v再次，空间观念的形成需要自主探索与合作再次，空间观念的形成需要自主探索与合作 交流的氛

31、围。交流的氛围。 50 （二）一般几何图形的认识 v1.影响小学生认识几何图形的因素影响小学生认识几何图形的因素 v（1）原有经验）原有经验 v（2）图形的综合性）图形的综合性 v与线性的文字表征相比，几何图形往往带有更与线性的文字表征相比，几何图形往往带有更 多的相关或背景因素。在概念的形成过程中，多的相关或背景因素。在概念的形成过程中， 一个常见的障碍是一个常见的障碍是“把不重要但却是一般的特把不重要但却是一般的特 征看作为概念的重要特征征看作为概念的重要特征”。由此导致的错误。由此导致的错误 包括：包括：角必须有一条水平的射线；角必须有一条水平的射线；直角是直角是 指向右边的；指向右边的

32、； 51 v（3）视觉信息的表征）视觉信息的表征 v小学生最初是以视觉辨认几何图形，而不是用形小学生最初是以视觉辨认几何图形，而不是用形 体特征去分析，因此视觉信息的表征是影响小学体特征去分析，因此视觉信息的表征是影响小学 生形体概念发展的一个重要因素。生形体概念发展的一个重要因素。 v研究表明，大多数学生表达视觉信息都有一段困研究表明，大多数学生表达视觉信息都有一段困 难时期，尤其当任务是由二维工具（如纸和笔）难时期，尤其当任务是由二维工具（如纸和笔） 表达三维情景（如由小的砖块搭成的大楼）或反表达三维情景（如由小的砖块搭成的大楼）或反 过来，这种维度上的差异会导致视觉上的过来，这种维度上的

33、差异会导致视觉上的“失失 真真”，并引起直觉上的误解，如把正方体的上、，并引起直觉上的误解，如把正方体的上、 下、左、右四个面看成是平行四边形。下、左、右四个面看成是平行四边形。 52 v2.一般几何图形认识的教学策略一般几何图形认识的教学策略 v（1）借助直观，逐步抽象，解释几何图形）借助直观，逐步抽象，解释几何图形 的基本特征的基本特征 v（2）运用变式，多方理解，强化几何图形）运用变式，多方理解，强化几何图形 的基本特征的基本特征 v（3）重视几何图形分类的价值）重视几何图形分类的价值 53 （三）特殊几何图形认识 v1.角的认识角的认识 v（1）角的形成与发展）角的形成与发展 v数学中

34、角的概念可以分成以下三个方面来说明：数学中角的概念可以分成以下三个方面来说明： 角是一双定出两个方向间的差量之射线；角是一双定出两个方向间的差量之射线； v角是自同一端点射出的两射线围出的一个平面角是自同一端点射出的两射线围出的一个平面 区域；区域； v角是一射线绕其端点旋转一个程度的量角是一射线绕其端点旋转一个程度的量 。 54 v小学阶段，角的认识内容包括：小学阶段，角的认识内容包括： v初步认识角，初步认识角， v了解直角、锐角、钝角、平角和周角，了解直角、锐角、钝角、平角和周角， v以及了解周角、平角、钝角、直角、锐角之以及了解周角、平角、钝角、直角、锐角之 间的大小关系。间的大小关系

35、。 55 v（2）认识角的教学策略）认识角的教学策略 v设计层次性活动，建立角的表象设计层次性活动，建立角的表象 找角活动。找角活动。 摸角活动。摸角活动。 发明角活动。发明角活动。 临摹角活动。临摹角活动。 56 v提供多样化的角，加深对角的理解提供多样化的角，加深对角的理解 v理解角的概念要与角的大小、度量、画法、理解角的概念要与角的大小、度量、画法、 分类紧密结合起来分类紧密结合起来 57 v2.平行的认识平行的认识 v（1）平行的概念）平行的概念 v欧几里得：平行线是同一平面内的直线向两个欧几里得：平行线是同一平面内的直线向两个 方向无限延长，不论哪个方向都不会相交。方向无限延长，不论

36、哪个方向都不会相交。 v永不相交。永不相交。 v等距离。等距离。 v在同一平面内，同时垂直于第三条直线的两在同一平面内，同时垂直于第三条直线的两 条直线，此两条直线会互相平行。条直线，此两条直线会互相平行。 58 v（2）平行概念教学的策略）平行概念教学的策略 v借助学生的生活经验，促进平行意义的理解借助学生的生活经验，促进平行意义的理解 v增强变式图形练习，强化平行概念的掌握增强变式图形练习，强化平行概念的掌握 v纵横交错，组建知识体纵横交错，组建知识体 59 v （五）识图和作图技能教学（五）识图和作图技能教学 v1识图技能识图技能 v小学生识图技能可以分为相互关联的小学生识图技能可以分为

37、相互关联的3个二级子个二级子 项：图形形状、位置关系和度量关系。项：图形形状、位置关系和度量关系。 v对图形形状的识别对图形形状的识别直线型（三角形、四直线型（三角形、四 边形及多边形等）；曲线型（圆及扇形等）。边形及多边形等）；曲线型（圆及扇形等）。 v对图形位置关系的识别对图形位置关系的识别直线型（平行、直线型（平行、 相交、垂直等）。相交、垂直等）。 v对图形度量的识别对图形度量的识别长度、角度、面积、长度、角度、面积、 大小关系的辨认等。大小关系的辨认等。 60 v2. 作图技能作图技能 v运算、作图、推理是三种基本的数学活动，运算、作图、推理是三种基本的数学活动， 因此因此“能算、会

38、作图和会推理能算、会作图和会推理”是三种基本是三种基本 的数学技能。的数学技能。 61 二、测量 v（一）长度测量（一）长度测量 v我国小学我国小学“图形与几何图形与几何”中关于长度测量的中关于长度测量的 教学内容，包括对毫米、厘米、分米、米、教学内容，包括对毫米、厘米、分米、米、 千米的认识，以及简单计算，量线段的长度千米的认识，以及简单计算，量线段的长度 和画线段和画线段(限整厘米限整厘米)。 62 （二）面积测量（二）面积测量 v在小学阶段，我们主要讨论平面图形的面积。在小学阶段，我们主要讨论平面图形的面积。 v有关面积的概念，在数学教材中一般采用如下几有关面积的概念，在数学教材中一般采

39、用如下几 种描述方式：种描述方式： v平面上一个封闭图形所包围部分的大小；平面上一个封闭图形所包围部分的大小； v物体的表面或围成的平面图形的大小；物体的表面或围成的平面图形的大小； v度量平面或曲面上一块区域的大小。度量平面或曲面上一块区域的大小。 63 v数学家给出的面积概念是：所谓平面多边形的数学家给出的面积概念是：所谓平面多边形的 “面积面积”，是指使每一多边形跟满足下列条件，是指使每一多边形跟满足下列条件 的一个量相对应：的一个量相对应： v两个全等的多边形有相同的面积，不论它们两个全等的多边形有相同的面积，不论它们 在空间所占的位置如何；在空间所占的位置如何； v两多边形两多边形(

40、没有任何公共内点没有任何公共内点)之和的面积，之和的面积， 等于这两个多边形的面积之和；等于这两个多边形的面积之和； v约定边长等于单位长度的正方形作为面积的约定边长等于单位长度的正方形作为面积的 单位。单位。 64 （三）体积测量 v体积是对体积是对“物体物体”大小的量度，凭直觉就能理解。大小的量度，凭直觉就能理解。 在数学教材中写道：在数学教材中写道：“物体所占空间的大小，叫物体所占空间的大小，叫 做物体的体积做物体的体积”，这并不是严格的定义，只是一，这并不是严格的定义，只是一 种解释，对学生理解种解释，对学生理解“体积体积”其实没有多少帮助。其实没有多少帮助。 因为什么是因为什么是“空

41、间空间”，比体积更难懂，有可能会，比体积更难懂，有可能会 越说越糊涂。越说越糊涂。 v实际上，我们要做是告诉学生，物体运动后体积实际上，我们要做是告诉学生，物体运动后体积 不变，不重叠的两物体之并的体积是原来两物体不变，不重叠的两物体之并的体积是原来两物体 的体积之和，的体积之和，A包含包含B则则A的体积比的体积比B大等等体积大等等体积 的特征。这是度量物体体积的基本依据。的特征。这是度量物体体积的基本依据。 65 三、图形的运动三、图形的运动 v目前世界各国几何课程的一个普遍现象是：目前世界各国几何课程的一个普遍现象是： 特别重视变换和对称思想，许多国家从小学特别重视变换和对称思想，许多国家

42、从小学 一年级开始涉及各种图形变换。一年级开始涉及各种图形变换。 66 （一）“图形的运动”相关概 念 v1平移平移 v在平面中，将一个图形沿某一方向移动一定的距在平面中，将一个图形沿某一方向移动一定的距 离得到另一个图形，这样的图形变换称作平移。离得到另一个图形，这样的图形变换称作平移。 v其基本特征是不改变图形的形状和大小；由平移其基本特征是不改变图形的形状和大小；由平移 得到的图形上的所有点与原图上的所有的点不仅得到的图形上的所有点与原图上的所有的点不仅 是一一对应的关系，而且对应点的连线方向相同、是一一对应的关系，而且对应点的连线方向相同、 长度也相等，即平移前后图形对应点之间的连线长

43、度也相等，即平移前后图形对应点之间的连线 相互平行且相等。相互平行且相等。 v因此，确定平移变换需要两个因素：一是方向，因此，确定平移变换需要两个因素：一是方向， 二是距离。二是距离。 67 v2旋转旋转 v在平面内，将一个图形绕一点沿某个方向转动一在平面内，将一个图形绕一点沿某个方向转动一 个角度，得到另一个图形，这样的图形变换称作个角度，得到另一个图形，这样的图形变换称作 旋转。旋转。 v其基本特征是不改变图形的形状和大小；图形旋其基本特征是不改变图形的形状和大小；图形旋 转前后对应点到旋转中心的距离都相等，各组对转前后对应点到旋转中心的距离都相等，各组对 应点与旋转中心连线的夹角都等于旋

44、转的角度。应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转的角度。 v因此，确定旋转变换需要的三个要素：旋转中心、因此，确定旋转变换需要的三个要素：旋转中心、 旋转方向和旋转角。旋转方向和旋转角。 68 v3对称对称 v（1）对称的概念）对称的概念 v小学数学对对称变换的讨论，仅限于平面图形关小学数学对对称变换的讨论，仅限于平面图形关 于一条直线的轴对称。于一条直线的轴对称。 v所谓轴对称，是指如果连接新图形和原图形中每所谓轴对称，是指如果连接新图形和原图形中每 一组对应点的线段都和同一条直线垂直且被该直一组对应点的线段都和同一条直线垂直且被该直 线平分。线平分。 v这样的图形变换也称作反射变换。这样的图形

45、变换也称作反射变换。 v其基本特征是连接任意一组对应点的线段都被对其基本特征是连接任意一组对应点的线段都被对 称轴垂直平分。称轴垂直平分。 v对称图形被对称轴分成的两部分的所有点具有一对称图形被对称轴分成的两部分的所有点具有一 一对应关系，因此，确定轴对称变换的关键在于一对应关系，因此，确定轴对称变换的关键在于 找到对称轴。找到对称轴。 69 v（2）对称的价值）对称的价值 v对称不仅是数学的研究对象，更是数学研对称不仅是数学的研究对象，更是数学研 究的工具。究的工具。 v对称可以导致美。对称图形是美的，对称对称可以导致美。对称图形是美的，对称 观念是美的，对称理论更是美的。观念是美的，对称理

46、论更是美的。 v对称是哲学上的一种关系。对称是哲学上的一种关系。 70 （二）“图形的运动”教学策 略 v1.“图形的运动图形的运动”教学要分层实施教学要分层实施 v“图形的运动图形的运动”课程目标分为三个层次：感课程目标分为三个层次：感 知变换知变换认识变换认识变换画出或补全图形。画出或补全图形。 v2.从变换的角度欣赏图形、设计图形从变换的角度欣赏图形、设计图形 v3.重视从变换角度认识图形重视从变换角度认识图形 71 四、图形与位置 v“图形与位置图形与位置”这一部分内容，是新增加的内容，这一部分内容，是新增加的内容， 主要是让学生在辨认方向的基础上，能够根据主要是让学生在辨认方向的基础

47、上，能够根据 方向和距离确定物体的位置、描述路线图以及方向和距离确定物体的位置、描述路线图以及 用数对表示位置。用数对表示位置。 v小学数学教材中数对定位法和方位角定位法两小学数学教材中数对定位法和方位角定位法两 种确定位置的方法，实际上分别对应了中学要种确定位置的方法，实际上分别对应了中学要 学习的平面直角坐标系和极坐标系，为学生进学习的平面直角坐标系和极坐标系，为学生进 一步学习做了铺垫。一步学习做了铺垫。 72 v数学课除了需要用数学语言描述位置外，最主要的是数学课除了需要用数学语言描述位置外，最主要的是 要思考背后的道理，即为什么用数对就能刻画平面上要思考背后的道理，即为什么用数对就能

48、刻画平面上 点的位置。实际上是涉及到对维数的认识。点的位置。实际上是涉及到对维数的认识。 v教师可以设计一些活动，教师可以设计一些活动，使学生体会到，如果在一条使学生体会到，如果在一条 直线上确定位置，只要直线上确定位置，只要1个数就可以了，如在一排中确个数就可以了，如在一排中确 定位置，只需要知道从哪个开始数即可；定位置，只需要知道从哪个开始数即可； v在平面上确定位置需要在平面上确定位置需要2个数，即数对，如在教室中确个数，即数对，如在教室中确 定座位位置，需要知道哪一排、哪一列这两个数；定座位位置，需要知道哪一排、哪一列这两个数； v而在三维空间确定位置时，则需要而在三维空间确定位置时，

49、则需要3个数，如电影院分个数，如电影院分 上下两层，则需要用哪层、哪排、哪列三个数确定座上下两层，则需要用哪层、哪排、哪列三个数确定座 位位置。位位置。 73 第三节第三节 图形与几何解决问题教学图形与几何解决问题教学 v一、图形的认识一、图形的认识 v（一）解决图形识别问题的教学（一）解决图形识别问题的教学 v小学阶段，主要涉及点、直线、射线、线段、小学阶段，主要涉及点、直线、射线、线段、 角、相交直线、垂直直线、平行线、三角形、角、相交直线、垂直直线、平行线、三角形、 四边形、多边形、扇形、圆和长方体、正方体、四边形、多边形、扇形、圆和长方体、正方体、 圆柱、圆锥等基本图形。图形识别教学从

50、某种圆柱、圆锥等基本图形。图形识别教学从某种 意义上讲，就是使学生认识这些基本图形的性意义上讲，就是使学生认识这些基本图形的性 质，引导学生运用基本图形的方法去分析问题质，引导学生运用基本图形的方法去分析问题 和解决问题，培养学生的数学思维能力。和解决问题，培养学生的数学思维能力。 74 v1.解决图形识别问题的方法解决图形识别问题的方法 v（1）直观法。从学生熟悉的实际例子引入，）直观法。从学生熟悉的实际例子引入， 引导学生探索它们的共同特征，然后抽象出图引导学生探索它们的共同特征，然后抽象出图 形的本质属性。形的本质属性。 v（2）演示法。提供鲜明的感性材料，利用几）演示法。提供鲜明的感性

51、材料，利用几 何图形的直观教具进行演示，让学生仔细观察，何图形的直观教具进行演示，让学生仔细观察， 使其感知并获得具体鲜明的形象，形成图形的使其感知并获得具体鲜明的形象，形成图形的 表象；另一方面，表象常常是概括了许多感知表象；另一方面，表象常常是概括了许多感知 形象的，所以表象又具有概括性特征。形象的，所以表象又具有概括性特征。 75 v（3）利用变式。为了使学生全面正确地认识某）利用变式。为了使学生全面正确地认识某 一图形，可以给学生提供各种直观材料或事例，一图形，可以给学生提供各种直观材料或事例， 不断变换非本质属性，而本质属性保持不变。不断变换非本质属性，而本质属性保持不变。 例如，教

52、学两条直线互相垂直，可以变换如下例如，教学两条直线互相垂直，可以变换如下 不同方位的形式：不同方位的形式： 76 v（4）反例强化。为了巩固深化所学的知识，）反例强化。为了巩固深化所学的知识， 帮助学生概括出图形的本质特征，可适当利帮助学生概括出图形的本质特征，可适当利 用反例，引导学生进行辨析，以达到强化正用反例，引导学生进行辨析，以达到强化正 确知识的目的。确知识的目的。 v（5）转化。转化图形，例如，三角形、平）转化。转化图形，例如，三角形、平 行四边形、长方形、梯形三个图形，无论是行四边形、长方形、梯形三个图形，无论是 把平行四边形通过割补转化成长方形，还是把平行四边形通过割补转化成长

53、方形，还是 把两个重合的三角形拼成一个平行四边形，把两个重合的三角形拼成一个平行四边形， 无不是在无不是在“转化图形转化图形” 77 78 v（6）归纳总结。学完一部分图形知识后，）归纳总结。学完一部分图形知识后， 为了使这部分知识系统化、条理化，就应引为了使这部分知识系统化、条理化，就应引 导学生进行归纳总结。归纳总结的形式可以导学生进行归纳总结。归纳总结的形式可以 采取多种方式，如条目式、网络式、集合图采取多种方式，如条目式、网络式、集合图 等。等。 79 v（二）解决图形计数问题的教学（二）解决图形计数问题的教学 v图形计数就是数图形，主要包括数线段、数角、图形计数就是数图形，主要包括数

54、线段、数角、 数三角形、数长方形、数正方形、数简单的立体数三角形、数长方形、数正方形、数简单的立体 图形等。图形等。 v由于几何图形千变万化、错综复杂，要准确地数由于几何图形千变万化、错综复杂，要准确地数 出复杂图形中所包含的某一类几何图形的个数并出复杂图形中所包含的某一类几何图形的个数并 不简单。不简单。 v既便如此，并非无章可循，需要我们根据图形的既便如此，并非无章可循，需要我们根据图形的 特点，按照一定顺序进行仔细观察，有条理、有特点，按照一定顺序进行仔细观察，有条理、有 次序地分析，并通过观察与思考，探寻出图形的次序地分析，并通过观察与思考，探寻出图形的 排列规律，找出合理可行的数图形

55、的方法。排列规律，找出合理可行的数图形的方法。 80 v（三）解决内角和问题的教学（三）解决内角和问题的教学 v三角形内角和是掌握多边形内角和及解决其他实际三角形内角和是掌握多边形内角和及解决其他实际 问题的基础。为了使学生能够真正理解、灵活运用，问题的基础。为了使学生能够真正理解、灵活运用， 可以采用以下几种方法解决问题：可以采用以下几种方法解决问题： v度量法。度量法。 v拼合法。拼合法。 v折叠法。折叠法。 v图解法。图解法。 v分割法。分割法。 81 v二、测量二、测量 v（一）解决长度测量问题（一）解决长度测量问题 v1.等效替代法等效替代法 v2.平移法平移法 v3.累积法累积法

56、82 （二）解决角度测量问题（二）解决角度测量问题 v角的度量角的度量问题问题 v首先，学生看不到量角器上的角，这与学生对角首先，学生看不到量角器上的角，这与学生对角 的概念的理解比较浅有关；的概念的理解比较浅有关； v其次，即使看到了量角器上的角，也不知道怎样其次，即使看到了量角器上的角，也不知道怎样 才能使量角器上的角与所测量的角重合；才能使量角器上的角与所测量的角重合； v再次，在针对在不同位置摆放的角进行度量的过再次，在针对在不同位置摆放的角进行度量的过 程中，个别学生往往在判断何时该认读内圈刻度程中，个别学生往往在判断何时该认读内圈刻度 数，何时该认读外圈刻度数时出现错误。数，何时该

57、认读外圈刻度数时出现错误。 83 v（三）解决面积计算问题（三）解决面积计算问题 v图形面积计算是小学数学教学的重要内容之图形面积计算是小学数学教学的重要内容之 一，灵活巧妙地运用面积计算公式解决实际一，灵活巧妙地运用面积计算公式解决实际 面积计算问题，是提高数学实践能力的重要面积计算问题，是提高数学实践能力的重要 体现。在解决不规则图形面积问题时，学生体现。在解决不规则图形面积问题时，学生 往往会感到困惑，甚至于无从下手。在小学往往会感到困惑，甚至于无从下手。在小学 阶段，解决面积计算问题主要采用的是割补阶段，解决面积计算问题主要采用的是割补 法。法。 84 85 v（四）解决体积测量问题（

58、四）解决体积测量问题 v“图形与几何图形与几何”教学中增加了探索不规则物教学中增加了探索不规则物 体体积的测量方法，小学阶段测量不规则物体体积的测量方法，小学阶段测量不规则物 体体积的方法主要有几下两种。体体积的方法主要有几下两种。 v1.量液体求体积。量液体求体积。 v2.称重量求体积。称重量求体积。 86 三、图形的运动三、图形的运动 v（一）小学生在解决图形变换问题过程中出（一）小学生在解决图形变换问题过程中出 现的主要问题现的主要问题 v1.解决对称问题过程中出现的问题解决对称问题过程中出现的问题 v对对“两个图形成轴对称两个图形成轴对称”与与“轴对称图形轴对称图形” 两概念理解不透。

59、两概念理解不透。 87 v对于轴对称概念的理解处于表面化，对成对于轴对称概念的理解处于表面化，对成 轴对称的两个图形的必备条件理解不彻底，轴对称的两个图形的必备条件理解不彻底， 认为只要两个图形的大小、形状完全一样就认为只要两个图形的大小、形状完全一样就 是轴对称，忽视了两个图形的位置关系。是轴对称，忽视了两个图形的位置关系。 v例如出现例如出现“形状一样的两个图形成轴对形状一样的两个图形成轴对 称称”“”“能够完全重合的两个图形成轴对称能够完全重合的两个图形成轴对称” 的错误。的错误。 88 v对称轴的理解存在问题，忽视了对称轴是对称轴的理解存在问题，忽视了对称轴是 “直线直线”。例如出现。

60、例如出现“角的对称轴是角平分角的对称轴是角平分 线线”、“圆的对称轴是直径圆的对称轴是直径”的错误。的错误。 v在方格纸上画出一个图形的另一半，使它在方格纸上画出一个图形的另一半，使它 成为一个轴对称图形，对初学者而言是一个成为一个轴对称图形，对初学者而言是一个 比较困难的问题。有时学生不能准确把握轴比较困难的问题。有时学生不能准确把握轴 对称图形方向相反，忽视了各对应点到对称对称图形方向相反，忽视了各对应点到对称 轴的距离相等的特点。轴的距离相等的特点。 89 v2.解决平移问题过程中出现的问题解决平移问题过程中出现的问题 v有的学生认为原始图与平移后图形之间的距有的学生认为原始图与平移后图