IIR数字滤波器设计课件

1、IIR数字滤波器设计1 第6章 IIR数字滤波器设计 IIR数字滤波器设计2 6.1 6.1 数字滤波类型与指标数字滤波类型与指标 6.2 6.2 模拟滤波器设计模拟滤波器设计 6.3 6.3 设计设计IIRIIR滤波器的脉冲响应不变法滤波器的脉冲响应不变法 6.4 6.4 设计设计IIRIIR滤波器的双线性变换法滤波器的双线性变换法 6.5 6.5 设计设计IIRIIR数字滤波器频率变换法数字滤波器频率变换法 6.6 IIR6.6 IIR数字滤波器的计算机辅助设计数字滤波器的计算机辅助设计 第第6章章 IIR数字滤波器设计数字滤波器设计 IIR数字滤波器设计3 滤波的目的 n为了压制输入信号

2、的某些频率成分，从而改变信 号频谱中各频率分量的相对比例 n广义滤波包括对信号的检测与参量的估计 w信号的检测:确定在干扰背景中信号是否存在 w信号参量的估计:为识别信号而确定信号的某一个或 某几个参量的估值 6.1 数字滤波类型与指标数字滤波类型与指标 IIR数字滤波器设计4 滤波技术包括: n滤波器设计:根据给定滤波器的频率特性， 求得满足该特性的传输函数， n滤波过程的实现：获得传输函数后，以何种 方式达到对输入信号的进行滤波的目的 IIR数字滤波器设计5 1.1.数字滤波器的频率特性数字滤波器的频率特性 数字滤波器 n具有某种特定频率特性的线性时不变系统 n广义上，任何线性时不变离散系

3、统都是一个 数字滤波器 设计数字滤波器的任务 n寻求一个因果稳定的线性时不变系统，使其 系统函数H(z)具有指定的频率特性 0 )()()( n nj ez j enhzHeH j IIR数字滤波器设计6 0 )()()( n nj ez j enhzHeH j 对因果稳定的线性时不变系统： )( j eH :滤波器的传输函数 H(z):系统函数h(n) :滤波器的单位脉冲响应 )( )()( jj eHeH )(Im)(Re)( 22 jj eHeHH )(Re )(Im )( j j eH eH arctg )(H ：幅度响应)(：相位响应 IIR数字滤波器设计7 22Tf ss 2/ s

4、 DF按频率特性分类按频率特性分类 可分为低通、高通、带通、带阻和全通可分为低通、高通、带通、带阻和全通 特点为特点为 l数字频率以数字频率以 周期周期 2 l频率特性只限于频率特性只限于 范围，依取样定范围，依取样定 理，理， 对应于实际模拟抽样频率的一半对应于实际模拟抽样频率的一半 )( s fT频率变量以数字频率频率变量以数字频率 表示表示 其中其中 模拟角频率，模拟角频率，T抽样时间间隔，抽样时间间隔，fs 抽样频率抽样频率 IIR数字滤波器设计8 理 想 滤 波 器 的 频 率 响 应 IIR数字滤波器设计9 )e (H j 0 s p 1 p ：通带波纹：通带波纹 s ：阻带波纹：

5、阻带波纹 ：过渡带：过渡带 ：通带截止频率：通带截止频率p ：阻带截止频率：阻带截止频率 s DF的性能要求（低通为例）的性能要求（低通为例） 1 p 1 p s p s )( j eH IIR数字滤波器设计10 从信号不失真角度讲通常要求 n相位线性 )( 为时延常数 具有群恒时延特性 常数)( )( d d )(相位响应 IIR数字滤波器设计11 2 2IIRIIR和和FIRFIR数字滤波器数字滤波器 IIR滤波器的系统函数通常可表示成的有理分式 FIR滤波器的系统函数则可表示为的多项式 设计过程一般包括以下三个基本问题： n根据实际要求确定滤波器性能指标； n用一个因果稳定的系统函数去逼

6、近这个指标； n用一个有限精度的运算去实现这个传输函数 w问题1、3与实际的要求及实现的硬件条件有关 w本章主要讨论问题2，即系统函数的设计(或逼近)问题。 IIR数字滤波器设计12 3 3设计设计IIRIIR滤波器的几种方法滤波器的几种方法 IIR数字滤波器的系统函数可表示为的有理分式 1 1 1 0 1 )( za zb zH k N k k N k 设计IIR滤波器的系统函数，就是要确定H(z)的阶 数N（通常称N为滤波器的阶数）以及分子分母多项 式的系数 j ez j kk zHeHba )()(，使其、 满足指定的频率特性 IIR数字滤波器设计13 (1)(1)利用模拟滤波器的理论来

7、设计利用模拟滤波器的理论来设计 模拟滤波器研究较早，理论已经十分成熟，有 许多简单而严谨的设计公式和大量的图表可以 利用，利用这些现有技术来解决数字滤波器的 设计问题 采用这种方法时，要先要设计一个合适的模拟 滤波器，然后将它转换成满足给定指标的数字 滤波器 这种方法适合于设计幅频特性比较规则的滤波 器，例如低通、高通、带通、带阻等 IIR数字滤波器设计14 当把模拟滤波器的H(s)转换成数字滤波器的H(z) 时， 要实现S平面向Z平面的映射，必须满足两个条件 必须保证模拟频率映射为数字频率，且保证两者的频 率特性基本一致 n要求变换后代表S平面的虚轴j应映射到Z平面的单位圆 n且数字滤波器的

8、频率响应和模拟滤波器频率响应的形状应基 本保持不变； 因果稳定的模拟滤波器系统函数H(s)转换成数字滤波 器传输函数H(z)后，仍然是因果稳定的 n要求S平面左半平面的极点必须映射到Z平面的单位圆内 两种常用的方法 n脉冲响应不变法：从时域的角度出发进行映射 n双线性不变法：从频域角度出发进行映射 IIR数字滤波器设计15 (2)(2)利用最优化技术进行利用最优化技术进行CADCAD设计设计 若需设计滤波器的幅频特性是任意的或者形状比较复杂，可采 用计算机辅助设计(CAD)方法进行优化设计 设计思想 )( j d eH 希望滤波器的幅频响应： )( j eH 设计滤波器的幅频响应： 选择一种最

9、优化的准则，例如采用最小均方误差准则 )()( jj d eHeH、设 在指定的一组离散的频率点 Mi i ,2,1, 的均方误差 IIR数字滤波器设计16 22 1 ()() ii M jj d i HeHe 求解H(z)的系数 ，、 kk ba 使均方误差最小 当滤波器阶数 N 较高时，转换为一个多变量最优化问 题，需要大量的迭代运算，因此必须采用CAD的方法。 IIR数字滤波器设计17 6.2 模拟滤波器设计 IIR滤波器的设计是基于模拟滤波器的成 熟技术而完成的 简单介绍模拟滤波器设计的一些基本概 念，并介绍两种常用的滤波器的设计方 法 ： n巴特沃思(Butterworth)滤波器

10、n切比雪夫(Chebyshev)滤波器 IIR数字滤波器设计18 621模拟滤波器设计的基本概念 1 . 模拟滤波器的频率特性与衰减特性模拟滤波器的频率特性与衰减特性 滤波器的频率特性主要取决于构成滤波器系统的系统函数 js sHjH| )()( 工程设计中给定的指标往往是通带和阻带的衰减，它一般用 反映功率增益的幅度平方函数或称模方函数来定义 dBjHjHA| )(|lg20| )(|lg10)( 2 当要求滤波器具有线性相位特性（延时为常数）时滤波器 的频率特性为 H jH je j ()|()| () )(， IIR数字滤波器设计19 2. 归一化与频率变换归一化与频率变换 采用归一化参

11、数 n设计结果具有普遍性 n计算方便 归一化包含： n电路参数归一化：将系统中无源元件的阻抗或运算阻抗 分别除以基准电阻(系统的负载电阻值)。 n频率归一化：将所有的频率都除以基准频率（滤波器的 截止频率） w计算实际电路参数时应要将归一化频率乘以截止频率，进行反归 一化 n频率变换：从归一化低通原型滤波器到高通、带通、带 阻等其它类型的滤波器的变换方法 IIR数字滤波器设计20 3 . 从模方函数从模方函数 求模拟滤波器的系统函数求模拟滤波器的系统函数H(s) 当不含有源器件，作为一个因果稳定、物理可实现 的系统函数必须满足的条件 |()|H j 2 a、是一个具有实系数的s有理函数 )(/

12、 )()(sDsNsH b、所有极点必须全部分布在s的左半平面内 c、分子多项式式N(s)的阶次必须小于或等于分母多项式 D(s)的阶次 正实函数正实函数 IIR数字滤波器设计21 实函数的傅立叶变换存在共轭对称的性质 HjHj*()() )()(| )(| 2 jHjHjH )()(sHsH js |()|()*()()()H jH jHjH jHj 2 有 得平面的虚轴，解析延拓代表sj IIR数字滤波器设计22 从给定的模方函数求出所需要的系统函数的方法 a、解析延拓,令s= 代入模方函数得到 , 并求其零极点 j H s Hs( )() b、取 所有在左半平面的极点作为 的极点 )(s

13、HH s Hs( )() c、按需要的相位条件(最小相位,混合相位等)取 一半的零点构成 的零点 )(sH H s Hs( )() IIR数字滤波器设计23 4 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计-逼近问题逼近问题 p A s A ：通带衰减：通带衰减 ：阻带衰减：阻带衰减 , ：与通带衰减、阻：与通带衰减、阻 带衰减有关的系数带衰减有关的系数 ：通带截止频率：通带截止频率 ：阻带截止频率：阻带截止频率 p s IIR数字滤波器设计24 寻找一个恰当的近似函数来逼近理想特性所 谓逼近问题 最常用的具有优良性能的滤波器： n巴特沃思(Butterworth)滤波器 n切比雪夫(Chebyshev)

14、滤波器 n椭圆(elliptic)函数或考尔（Cauer）滤波器 n实现线性相位的贝塞尔滤波器 2 1 10log() 1 p A 2 1 10log() 1 s A 之间的关系、与 sP AA, IIR数字滤波器设计25 622巴特沃思Butterworth低通滤波器 1基本性质基本性质 BW滤波器以巴特沃思函数来近似滤波器的系统函数 BW的低通模平方函数表示 , 2 , 1 )/(1 1 | )(| 2 2 N jj jH N c 指定 、 后，带 到上式，得 p A p p 0.1 2 22 11 |()|10 1(/)1 p A p N pc H j 101 01 . Ap 13时，当

15、dBAp IIR数字滤波器设计26 指定 、 后，带 到上式，得 s A s s 0.12 22 11 |()|10 1(/)1 s A s N sc H j 101 0 1 . As 用3dB截止频率 来规一化：对频率进行 ，下式变为 c / c , 2 , 1 )/(1 1 | )(| 2 2 N jj jH N c |()| () H j N 2 2 1 1 IIR数字滤波器设计27 讨论： |()| ( ) H j N 2 2 1 1 当 =0 时， =1 ,取最大值 |()|H j 2 当 时， =0.5,取3dB值)( 1 c |()|H j 2 1)(/, 1/ 2 2 接近时，

16、很小，通带jHN N cc 0)(/, 1/ 2 2 接近时，很大，通带jHN N cc IIR数字滤波器设计28 阻带内，由于 |() | () Hj j j c N 2 2 1 或 AH jN j j s c 1020 2 lg|()|lg() 幅度随着 N的增加阻带衰减近似为6N db/倍频程。 N越大，频带特性越接近理想矩形特性 IIR数字滤波器设计29 |()| ( ) H j N 2 2 1 1 上式的台劳级数展开为 ： NN jH 422 1| )(| 12 , 2 , 1, 0| )(| 0 2 NkjH d d k =0处函数对2Nl阶导数都等于零曲线在 =0附近是最 “平坦

17、”,巴特沃思滤波器又叫做“最大平坦滤波器” IIR数字滤波器设计30 归一化巴特沃思低通滤波器的幅度特性 IIR数字滤波器设计31 2设计过程设计过程 (a)按给定指标确定阶次按给定指标确定阶次N 222 )( N p s )/lg( )110/() 110lg( 2 1 )/lg( )/lg( 1 . 0 1 . 0 ps A A ps p s N )/lg( )110lg( )/lg( )lg( )/lg( )/lg( 1 . 0 cs A cscs s N 实际计算时，要对上式求得的数值取整加1。 若给定的指标 =3dB, 即通带边频 时, =1,可求得 cp p A IIR数字滤波器设

18、计32 (b)从模方函数求系统函数从模方函数求系统函数H(s) 求得极点求得极点 , 2 , 1 )/(1 1 | )(| 2 2 N jj jH N c 带入上式，得： js 0)(1 2 N c j s )12( ) 1( kj e由于 Nkes NNkj ck 2 , 2 , 1 2/)12( IIR数字滤波器设计33 分析讨论 c 在归一化频率的情况 =1，极点均匀分布在单位圆上 Nkes NNkj k 2 , 2 , 1 2/)12( 对于物理可实现系统,它的所有极点均应在 s的左半平面上 IIR数字滤波器设计34 系统函数的构成系统函数的构成 滤波器的极点求出后，可取左平面上的所有

19、极点构成系统函数 )( 1 )( 1 i N i ss AsH 对于低通滤波器，为了保证在频率零点 =0处， =1，可取 | )(|jH N i i N sA 1 ) 1( )( ) 1()( 1 i i N i N ss s sH 因此得 IIR数字滤波器设计35 例例6 6-2-1举例说明系统函数的构成 设计一巴特沃思滤波器，使其满足以下指标: 通带边频 =100k rad/s, 通带的最大衰减为 =3dB，阻带边频为 =400k rad/s, 阻带的最小衰减为 =35 dB p Ap s As 解解:由于通带边频就是3dB 截止频率，即 cp 1110 1 . 0 p A 2 .5611

20、0 1 . 0 s A 确定阶次N ，9 . 2 4lg 2 .56lg )/lg( )/lg( cs N 3N取 IIR数字滤波器设计36 求左半平面的极点: sek kc jkNN () / , , 212 12 3 , 3/2 1 j ce s, 2 j ce sse c j 3 23 / 得极点： 构成巴特沃思滤波器传输函数H(s)为 H s s s s sssssssss c ccc ( ) ()()() 1 23 123 3 3223 22 相对截止频率 归一化，得归一化巴特沃思滤波器传输函数 cHs a ( ) Hs sss a ( ) 1 221 32 IIR数字滤波器设计37

21、 一般一般N阶归一化巴特沃思滤波器传输函数阶归一化巴特沃思滤波器传输函数 表示表示 Hs ss a sa sass a i N i N NN ( ) () 11 1 1 12 2 1 1 是 =1时的极点，分布在单位圆上 si c 分母一般称为巴特沃思多项式，其系数可通过查表求得, 见表5-2-1 IIR数字滤波器设计38 表6-2-1 巴特沃思多项式系数 N a1a2a3a4a5a6a7a8a9 2 1.4142 3 2.00002.0000 4 2.61313.41422.6131 5 3.23615.23615.23613.2361 6 3.86377.46419.14167.46413

22、.8637 7 4.494010.09714.59214.59210.0974.4940 8 5.152813.13721.84625.68821.84613.1375.1528 9 5.758816.58131.16341.98641.98631.16316.5815.7588 10 6.392520.43142.80264.88274.23364.88242.80220.4316.3925 IIR数字滤波器设计39 表6-2-2 巴特沃思多项式因式分解 N 巴 特 沃 思 多 项 式 1 s+1 2 s2+1.4142s+1 3 (s+1)(s2+s+1) 4 (s2+0.7654s+1)

23、(s2+1.8478s+1) 5 (s+1)(s2+0.6180s+1)(s2+1.6180+1) 6 (s2+0.5176s+1)(s2 +1.412s+1)(s2 +1.9319s+1) 7 (s+1)(s2+0.4450s+1)(s2+1.2470s+1)(s2+1.8019s+1) 8 (s2+0.3092s+1)(s2+1.1111s+1)(s2+1.6629s+1)(s2+1.9616s+1) 9 (s+1)(s2+0.3473s+1)(s2+s+1)(s2+1.5321s+1)(s2+1.8794s+1) IIR数字滤波器设计40 上述归一化公式和表格是相对3dB 截止频率 给出

24、的。由指定的技术指标 利 用上述公式和表格进行设计时，最关键的2个参数 是滤波器的节数N和3dB 截止频率 。 N用来求巴特沃思多项式， 用来反归一化，求 实际滤波器的参数。 ssPp AA, c c c IIR数字滤波器设计41 623 切比雪夫滤波器 IIR数字滤波器设计42 63 设计IIR滤波器的脉冲响应不变法 利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从已知 的模拟滤波器传递函数Ha(s)设计数字滤波器 传递函数H（z），这归根到底是一个由S平面 到Z平面的变换，这种映射变换应遵循两个基 本原则： 1）H（z）的频响要能模仿Ha(s)的频响， 即S平面的虚轴应映射到Z平面的单位圆上。 2）H

25、a(s) 的因果稳定性映射成 H（z）后保 持不变，即S平面的左半平面 ReS0 应映射 到Z平面的单位圆以内|Z|1。 IIR数字滤波器设计43 1 1脉冲响应不变法脉冲响应不变法 原理：原理：从时域响应出发，使求得的数字滤波器 的单位脉冲响应h(n)等于模拟滤波器的单位冲 激响应h(t)的抽样值。 nTt thnh )()( 1 (), ( ) Hs h tLHs 如 果已 知 则 有 ：（） 则可由下式求的H（z）： )()()(nThZnhZzH 下面讨论两种常用的映射变换方法。 IIR数字滤波器设计44 方法方法：将H(s)表示为部分分式形式 k k N k ss A sH 1 )(

26、 其拉氏反变换为 得到数字滤波器的单位脉冲响应 对上式两边取Z变换得 )()( 1 tueAth ts k N k k N k nTs k N k nTs k nueAnTueAnh kk 11 )()()()( 1 1 1 )( ze A zH Ts k N k k （6-2-3） IIR数字滤波器设计45 根据理想采样序列拉氏变换与模拟信号拉氏变换的关系 m aa m T jsH T sH 21 )( 推导理想采样信号的拉氏变换与采样序列的 Z 变换之间存在 的 S 平面与 Z 平面的映射关系。 IIR数字滤波器设计46 n nsT n st st n enTh dtenTtth dten

27、TtthsH )( )()( )()()( a a aa n n znhzH)()( sT ez s平面与z平面的映射关系 IIR数字滤波器设计47 以上表明，采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换 为数字滤波器时，它所完成的 S 平面到 Z 平面的变 换，正是拉氏变换到Z变换的标准变换关系，即首先 对Ha(s)作周期延拓，然后再经过 的映射 关系映射到 Z 平面上。 ST ez IIR数字滤波器设计48 如果模拟滤波器的系统函数是稳定的，其极点 应位于左半平面 1 1 1 )( ze A zH Ts k N k k 0 ke sR 对应Z平面的极点有 1 Ts k k ez 位于单位园内。因此H

28、(z)是一个稳定的离散系统 函数，这说明由一个稳定的模拟滤波器得到了 一个稳定的数字滤波器 w稳定性 IIR数字滤波器设计49 w映射关系 jj T 2 jsrez j ,令 Ter T ,则 S平面上每一条宽为 的横带部分，都将重叠地 映射到Z平面的整个平面上: 每一横带的左半部分映射到Z平面单位圆以内， 每一横带的右半部分映射到Z平面单位圆以外， 轴映射到单位圆上， 轴上每一段 都对应于 绕单位圆一周。 T 2 IIR数字滤波器设计50 j 0 T T 3 T 3 T )Im( zj )Re( z 0 S 平面 Z 平面 : IIR数字滤波器设计51 应指出，Z=esT的映射关系反映的是H

29、a(s) 的周期延拓与 H（Z）的关系，而不是Ha(s) 本身与H（Z）的关系，因此，使用脉冲响应 不变法时，从Ha(s)到H(z)并没有一个由S平 面到Z平面的一一对应的简单代数映射关系， 即没有一个S=f(z)代数关系式。 IIR数字滤波器设计52 还可看到，数字滤波器的频响并不是简单的重现模拟滤 波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓： T m jjH T eH a m j 21 m ez m T jsH T sHzH ST 21 )( aa IIR数字滤波器设计53 如果模拟滤波器的频率响应是带限于折叠频率之内，即 这样数字滤波器的频率响应才能等于模拟滤波器的频率响应 H j T s

30、 () 0 2 H e T H j T j ()() 1 IIR数字滤波器设计54 但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都 不可能是真正带限的，因此不可避免地存 在频谱的交叠，即混淆，如图，这时，数 字滤波器的频响将不同于原模拟滤波器的 频响而带有一定的失真。模拟滤波器频响 在折叠频率以上衰减越大，失真则越小， 这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤 波器才能得到良好的效果。 IIR数字滤波器设计55 )( j eH )( T jHa 0 0 脉冲响应不变法中的频响混淆 IIR数字滤波器设计56 注意：高通和带阻滤波器一定不能满足避 免频率混迭要求，将会产生混叠 脉冲响应不变法不适合用来设计高通和

31、带脉冲响应不变法不适合用来设计高通和带 阻数字滤波器。阻数字滤波器。 IIR数字滤波器设计57 例 将一个具有如下系统函数 的模拟滤波器数字化。 解： 3 1 1 1 ) 3)(1( 2 )( ssss sH TT ezez zH 311 1 1 1 1 )( 2431 31 )(1 )( zeeez eez TTT TT IIR数字滤波器设计58 模拟滤波器的频率响应为: 示于图a 4)3( 2 )3)(1( 2 )()( 2 jjj sHjHa js IIR数字滤波器设计59 数字滤波器的频率响应为: 显然 与采样间隔T有关,如图b, T越小,衰减越大,混叠越小,当 fs=24Hz ,混叠

32、可忽略不计,为什 么混迭呢? 243 3 )(1 )( )()( jTjTT jTT ez j eeeee eee zHeH j )( j eH IIR数字滤波器设计60 IIR数字滤波器设计61 3 3几点修正几点修正 1 1）、消去）、消去T T的影响的影响 H e T H j T j ()() 1 由由上上式可见，式可见，数字频率响应与模拟频率响应的第一差别是具有一数字频率响应与模拟频率响应的第一差别是具有一 个乘法因子个乘法因子(1/T)=(1/T)= f fS S，当采样频率，当采样频率f fS S很高时，将会使滤波器的增很高时，将会使滤波器的增 益很大，这往往是不希望的，为此可对益

33、很大，这往往是不希望的，为此可对下下式作修正式作修正： nTt thnh )()( h nTh t tnT ( )( ) 令令 IIR数字滤波器设计62 2 2）、直接用数字频率表示的求）、直接用数字频率表示的求H( (z) )的公式的公式 在实际滤波器设计中，因模拟滤波器系统函数的表格大都是归一化在实际滤波器设计中，因模拟滤波器系统函数的表格大都是归一化 低通原型低通原型 ，其滤波器，其滤波器3dB3dB点截止频率都归一化在点截止频率都归一化在 c 1Hs a ( ) 原因：可将设计公式及有关参数表格化，使之更通用。我们只要原因：可将设计公式及有关参数表格化，使之更通用。我们只要 知道滤波器

34、的阶数，就可直接查出低通原型的系统函数。知道滤波器的阶数，就可直接查出低通原型的系统函数。 Hs a ( ) c 当滤波器的实际截止频率不等于当滤波器的实际截止频率不等于1 1时，须进行所谓反归一化，时，须进行所谓反归一化， 以以(s/ )(s/ )代替代替 中的中的s s， 即实际低通滤波器的系统函数即实际低通滤波器的系统函数H( (s) )应为应为 H sHs ac ( )(/) IIR数字滤波器设计63 H sH sA ss A ss a c k N k ck k N kc kc ( )() (/) 11 H sHs ac ( )(/) 1 ( ) N k a k k A Hs ss 为

35、模拟归一化原型系统函数的极点 sk H zZ Th t TA ez k N kc s T kc ( )( ) 1 1 1 有由,T cc H z A ez k N kc sk c ( ) 1 1 1 IIR数字滤波器设计64 例例5-3-15-3-1利用脉冲响应不变法设计一个4阶巴特沃斯型数字低通滤波 器，满足以下指标 (A) 若采样周期T=10s，求实际模拟截止频率fc， (B) 3dB截止频率=0.2弧度。 kHzfsradf T c c c c 10 2 ,/1020 10 2.0 3 5 有由,T cc 解：先计算模拟截止频率， IIR数字滤波器设计65 设计数字低通滤波器分三步： 4

36、 , 1, , ) 18478. 1)(17654. 0( 1 )( 8 )142( 22 kes ssss sH k j k a 第一步 查巴特沃斯数字低通滤波器原型表，求得系统函数 IIR数字滤波器设计66 第二步 部分分式分解并求Ak H s A ss A ss k a k k k k k i ik ( ), () , 1 44 1 14 IIR数字滤波器设计67 第三步 将 代入下式， kck sA及、 整理并化简求得H(z)的实系数二次形式 H z A ez k N kc sk c ( ) 1 1 1 H z A ez k kc sk c ( ) 1 4 1 1 10 1847760

37、88482 1 131495061823 184776040981 1 108704031317 1 12 1 12 . . . . z zz z zz IIR数字滤波器设计68 小结 1)脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性 的，与是线性关系。 因此如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率以内的话，通过变 换后数字滤波器的频响可不失真地反映原响应与频率的关系。 例如线性相位的贝塞尔低通滤波器，通过脉冲响应不变法 得到的仍是线性相位的低通数字滤波器。 2)在某些场合，要求数字滤波器在时域上能模仿模拟滤波器 的功能时，如要实现时域冲激响应的模仿，一般使用脉冲响应 不变法。 TjHeH a

38、 j /)()( IIR数字滤波器设计69 3)如果Ha(s)是稳定的，即其极点在S左半平面，映射后得到 的H(Z)也是稳定的。 4)脉冲响应不变法的最大缺点：有频谱周期延拓效应，因 此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通， 而高频衰减越大，频响的混淆效应越小，至于高通和带阻滤波 器,由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中 ，此时可增加一保护滤波器，滤掉高于 的频带，再用脉 冲响应不变法转换为数字滤波器，这会增加设计的复杂性和滤 波器阶数，只有在一定要满足频率线性关系或保持网络瞬态响 应时才采用。 2 s IIR数字滤波器设计70 64 设计IIR滤波器的双线性变换

39、法 1 1设计方法设计方法 )( jH)( j eH 从频域响应出发，直接使数字滤波器的频域响从频域响应出发，直接使数字滤波器的频域响 应应 ，逼近模拟滤波器的频域响应逼近模拟滤波器的频域响应 , , 进而求出进而求出H H( (z z) )。 IIR数字滤波器设计71 脉冲响应不变法的主要缺点脉冲响应不变法的主要缺点： n对时域的采样会造成频域的混叠效应，因而有可能对时域的采样会造成频域的混叠效应，因而有可能 使设计的数字滤波器的频域响应与原来模拟滤波器使设计的数字滤波器的频域响应与原来模拟滤波器 的频域响应相差很大，而且不能用来设计高通和带的频域响应相差很大，而且不能用来设计高通和带 阻滤

40、波器阻滤波器 原因：原因：从从S S平面到平面到Z Z平面的映射是多值的映射关系平面的映射是多值的映射关系 IIR数字滤波器设计72 双线性变换的映射过程 脉冲响应不变法的映射过程 IIR数字滤波器设计73 双线性变换法的改进 为避免为避免频域的混叠频域的混叠，分两步完成，分两步完成S S平面到平面到Z Z平面的映射平面的映射 TT ， v将将S S平面压缩到某一中介的平面压缩到某一中介的S S1 1平面的一条横带域平面的一条横带域 v通过标准的变换将此横带域映射到整个通过标准的变换将此横带域映射到整个Z Z平面上去，平面上去， IIR数字滤波器设计74 为了将S平面的j轴压缩到S1平面j1轴

41、上的/T到/T 一段上，可通过以下的正切变换实现： 0 ) 2 (tg 1T c 这里C是待定常数， 经过这样的频率变换， 当由 时, 1由- /T经过变化到/T ，即S平面的整个j轴被压缩到S1平面 的2/T 一段。 实现方法： 通过标准变换关系映射到Z平面，将1映射到Z平面的单位圆 上 Ts ez 1 IIR数字滤波器设计75 通常取C=2/T, Ts Ts e e c Ts cs 1 1 1 1 ) 2 (th 1 z z T s Ts ez 1 再将 S1 平面通过标准变换关系映射到Z平面，即令 将这一关系解析扩展至整个S平面，则得到 S平面到S1平面的映射关系： IIR数字滤波器设计

42、76 最后得S平面与Z平面的单值映射关系： 双线性换法的主要优点是S平面与Z平面一一单值对应， S平面的虚轴(整个j)对应于Z平面 单位圆的一周，S平面的 =0处对应于Z平面的=0处，对应即数字滤波器的频率响应 终 止于折叠频率处，所以双线性变换不存在混迭效应。 z z T s sT sT z )/( )/( IIR数字滤波器设计77 双线性变换的映射关系满足 关于映射关系可行性的两个条件 （1）S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上； （2）位于S左半平面的极点应映射到Z平面的单位圆内。 2 12 () 21 j j e sjtgj TTe , j ez 令 1 1 2 1 1 z s Tz 带

43、入表达式 得： 说明S平面的虚轴 映射成了Z平面的单位圆 IIR数字滤波器设计78 sj 令 , 带入表达式 1/ 2 1/ 2 T s z T s 得： 即s左半平面映射在单位圆内，s右半平面映射在单位圆外，因 此稳定的模拟滤波器通过双线性变换后，所得到的数字滤波器 也是稳定的。 22 22 22 1 22 1 |, 22 1 22 1 TT TT z T j T T j T z 01| ,0;1|zz时时 IIR数字滤波器设计79 小结 1) 与脉冲响应不变法相比，双线性变换的主要优点： S平 面与Z平面是单值的一一对应关系（靠频率的严重 非线性关系得到的），即整个j轴单值的对应于单位 圆

44、一周，关系式为： 2 2 tg T 可见，和为非线性关系，如图所示。 IIR数字滤波器设计80 图2 双线性变换的频率非线性关系 由图中看到，在零频率附近，接近于线性关系，进 一步增加时，增长变得缓慢， (终止于折叠 频率处)，所以双线性变换不会出现由于高频部 分超过折叠频率 而混淆到低频部分去的现象。 ,时 IIR数字滤波器设计81 2)双线性变换缺点： 与成非线性关系，导致： a. 数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸 变，(使数字滤波器与模拟滤波器在响应与频率的对应关系上 发生畸变)。 例如，一个模拟微分器，它的幅 度与频率是直线关系， 但通过双线性变换后，就不可能得到数字

45、微分器 bktgjHeH bkjH tg j 2 )()( )( 2 b. 线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器为 非线性相位。 c.要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段恒定的，故双线性 变换只能用于设计低通、高通、带通、带阻等选频滤波器。 IIR数字滤波器设计82 )计算H(Z) 双线性变换比脉冲响应法的设计计算更直接和简单。由于s 与z之间的简单代数关系，所以从模拟传递函数可直接通过代数 置换得到数字滤波器的传递函数。 置换过程: 频响： 1 1 1 12 1 12 )()( 1 1 z z T HsHzH a z z T s a 2 2 )()( 2 2 tg T jHjHe

46、H a tg T a j IIR数字滤波器设计83 这些都比脉冲响应不变法的部分分式分解便 捷得多，一般，当着眼于滤波器的时域瞬态 响应时，采用脉冲响应不变法较好，而其他 情况下，对于IIR的设计，大多采用双线性变 换。 IIR数字滤波器设计84 通过模拟原型设计数字滤波器的四个步骤： 1）确定数字滤波器的性能要求，确定各临界频率k。 2）由变换关系将k映射到模拟域，得出模拟滤波器的临界频率 值k。 3）根据k设计模拟滤波器的Ha(s) 4） 把Ha(s) 变换成H(z)（数字滤波器系统函数） 下面举例讨论两种变换法在IIR数字滤波器设计中的 应用。 IIR数字滤波器设计85 例例1 设采样周

47、期 ,设计一个三阶巴特沃 兹LP滤波器,其3dB截止频率fc=1khz。分别用脉冲响应不变法 和双线性变换法求解。 解：a. 脉冲响应不变法 由于脉冲响不变法的频率关系是线性的，所以可直接按c =2fc设计Ha(s)。根据上节的讨论，以截止频率c 归一化的三 阶巴特沃兹 滤波器的传递函数为： 32 221 1 )( sss sHa 32 )/()/( 2)/( 21 1 )( ccc a sss sH c s / )4(250khzfsT s 以 代替其归一化频率，得： IIR数字滤波器设计86 为进行脉冲响应不变法变换，计算Ha(S)分母多项式的根， 将上式写成部分分式结构： 2/)31 (

48、 3/ 2/)31 ( 3/ )( 6/6/ jcs ec jcs ec cs c sHa jj 6/ 211 3/;, j cc ecAsA 2/)31 (,3/;2/)31 ( 3 6/ 32 jsecAjs c j c N i TS i Ze A ZH i 1 1 1 )( i S 对照前面学过的脉冲响应不变法中的部分分式形式 ,有 将上式部分系数代入数字滤波器的传递函数： 极点 IIR数字滤波器设计87 并将 代入，得： 合并上式后两项，并将 代入，计算得： 12/ )31( 6/ 12/ )31( 6/ 1 1 )3/( 1 )3/( 1 / )( Ze eT Ze eT Ze T

49、ZH j j c j j cC cc c 5 . 02Tfc c 21 1 1 2079.01905.01 5541.0571.1 2079.01 571.11 )( ZZ Z ZT ZH T cc / IIR数字滤波器设计88 可见，H（Z）与采样周期T有关，T越小，H（Z） 的相对增益越大，这是不希望的。为此，实际应用脉 冲响应不变法时稍作一点修改，即求出H（Z）后，再 乘以因子T,使H（Z）只与 有关，即只与fc和fs的 相对值 有关，而与采样频率fs无直接关系。 例如， 与 的数字滤波器具有相同的传递函数，这一结论适合于 所有的数字滤波器设计。 最后得： sc ff / 21 1 1

50、2079. 01905. 01 5541. 0571. 1 2079. 01 571. 1 )( zz z z ZH C KHzfKHzf cs 10,40KHzfKHzf cs 1,4 IIR数字滤波器设计89 b. 双线性变换法 （一）首先确定数字域临界频率 5 . 02Tfc c T tg T c c 2 2 2 cs/ 32 )/()/(2)/(21 1 )( ccc a sss sH T c /2 （二）根据频率的非线性关系，确定预畸的模拟滤波器 临界频率 (三 ) 以 代入归一化的三阶巴特沃模拟器传递函数 并将 代入上式。 （四）将双线性变换关系代入，求H(Z)。 IIR数字滤波器

51、设计90 3 1 1 2 1 1 1 1 1 12 1 1 1 1 2 1 1 21 1 )()( 1 1 z z z z z z sHZH z z T s a 2 3 1 112 3 1 21111211 3 1 3 111 3 1 3 1 3 11111 3 1 3 1 3 11 2 1 2 11 3 1 3 1 3 1 2 1 113 1 2122122211 1 11141 1 1111121 1 11121121 1 z z zzz z zzzzzzzz z zzzz z zzzzzz z zzzzzz z IIR数字滤波器设计91 图1 三阶Butterworth 数字滤波器的频响

52、 脉冲响应不变法 双线性变换法 fs/2 IIR数字滤波器设计92 我们也可以用 MATLAB 完成设计，在 MATLAB 中相关的语句有 butter（巴特沃兹滤波器） 、impinvar（脉冲响应不变法） 、 bilinear（双线性变换） ， 具体的程序如下： B,A=butter(3,2*pi*1000,s); num1,den1=impinvar(B,A,4000); h1,w=freqz(num1,den1); B,A=butter(3,2/0.00025,s); num2,den2=bilinear(B,A,4000); h2,w=freqz(num2,den2); f=w/pi

53、*2000; plot(f,abs(h1),-.,f,abs(h2),-); grid; xlabel(频率/Hz ) ylabel(幅值/dB) IIR数字滤波器设计93 0200400600800100012001400160018002000 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 频 率 / Hz 幅值 频率/Hz 三阶巴特沃兹滤波器的频率响应 幅 度 /dB IIR数字滤波器设计94 图1为两种设计方法所得到的频响，对于双线性变换法， 由于频率的非线性变换，使截止区的衰减越来越快，最后在折 叠频率处 形成一个三阶传输零点,这个三阶零点 正是模拟

54、滤波器在 处的三阶传输零点通过映射形成的。 因此,双线性变换法使过渡带变窄,对频率的选择性改善,而脉冲 响应不变法存在混淆,且没有传输零点。 , 1Z IIR数字滤波器设计95 进行频率变换有以下两种基本方法 ： 65 设计IIR数字滤波器频率变换法 IIR数字滤波器设计96 第一种方法的简化的形式： n找出归一化模拟低通原型与数字高通，带通和带阻滤 波器之间的从S域到Z域的变换关系 n直接由归一化模型低通原型变换成所需的数字滤波器 IIR数字滤波器设计97 在模拟滤波器的高通设计中，低通至高通的变换就是S变量 的倒置，这一关系同样可应用于双线性变换，只要将变换式 中的S代之以1/S，就可得到

55、数字高通滤波器. 即 1 1 1 1 2 z zT s 1归一化模拟低通原型到数字高通滤波器的频率变换归一化模拟低通原型到数字高通滤波器的频率变换 IIR数字滤波器设计98 由于倒数关系不改变模拟滤波器的稳定性，因此， 也不会影响双线变换后的稳定条件，而且 轴 仍映射在单位圆上，只是方向颠倒了。 j jjctg T e eT seZ j j j 221 1 2 , 时 22 ctg T 如图 即 IIR数字滤波器设计99 映射到 即 映射到 即 图1 高通变换频率关系 这一曲线的形状与双线性变换时的频率非线性关系曲线相 对应，只是将 坐标倒置，因而通过这一变换后可直接将模 拟低通变为数字高通,

56、如图2。 22 ctg T 0 1z 1z 0 1.0 1.0 0 IIR数字滤波器设计100 图2 高通原型变换 IIR数字滤波器设计101 应当明确： 所谓高通DF，并不是高到 ，由于数字频域存在 折叠频 率 ，对于实数响应的数字滤波器， 部分只 是 的镜象部分，因此有效的数字域仅是 ，高通也仅指这一段的高端，即到 为止的部分。 高通变换的计算步骤和低通变换一样。但在确定模拟原型 预畸的临界频率时，应采用 ,不必加负 号，因临界频率只有大小的意义而无正负的意义。 2由 0由0 22 k k ctg T IIR数字滤波器设计102 例例 ： 采样 设计一个三阶切比雪夫 高通DF，其通过频率

57、（但不必考虑 以上 的频率分量），通带内损耗不大于1dB。 解：首先确定数字域截止频率 , ,100,10usTkHzf s kHzf5 .2 kHz f s 5 2 5.02 11 Tf 222 1 1 T ctg T 1 22 2 /1 1 )( N a V jH )( N V 则 切比雪夫低通原型的振幅平方函数为： 为N阶切比雪夫多项式 IIR数字滤波器设计103 通带损耗 时， N=3时, 系统函数为： 5089. 0110 1 . 0 32 1 2 1 3 1 3 1 9883. 0238. 14913. 0 4913. 0 )( sss sH a dB1 为方便，将 和 S 用T/

58、2归一化， 则 1 2 , 1 2/ 1 1 T s s T 32 9883. 0 238. 14913. 0 4913. 0 ) ( sss sH a IIR数字滤波器设计104 于是 321 321 1 1 2041. 06043. 03432. 01 331 1321. 0) ()( 1 1 zzz zzz sHZH z z s a 图3 三阶切比雪夫高通频响 IIR数字滤波器设计105 2归一化模拟低通原型到数字带通滤波器的频归一化模拟低通原型到数字带通滤波器的频 率变换率变换 直接寻求模拟低通到数字带通之间的映射关系 l 0 u sl su s ： 中心频率 ：下边频和上边频 ：下阻

59、带上边频 ：上阻带下边频 ：模拟的阻带下边频 c :模拟的3DB截止频率 IIR数字滤波器设计106 0 00 0 zes j (零点) 01,zsj (极点) 数字带通到模拟低通的映射应满足的映射关系 IIR数字滤波器设计107 满足以上关系的变换式为: ss zeze zz zz z jj () ()() ()() cos 00 11 21 1 2 0 2 稳定变换：S平面稳定的函数变换到Z平面也是稳定的 例如设0z=r1,则有 0 1 )cos1 (2)1 ( 1 1cos2 2 0 2 2 0 2 r rr r rr s 表明：Z平面单位圆内的极点变到了S平面的左半平面 IIR数字滤波

60、器设计108 j ez 其次令 代入上式，可得频率变换关系 jj e ee s j jj sin coscos 1 1cos2 0 2 0 2 表明：Z平面单位圆变换到了S平面的虚轴 IIR数字滤波器设计109 模拟低通与数字带通的频率变换 su su sb sin coscos 0 1c 当 时，反归一化处理 c sp/ ) 1( 1cos2 2 0 2 z zzs p cc ) 2 cos( ) 2 cos( cos 0 lu ul u u c sin coscos 0 IIR数字滤波器设计110 例例6-5-3 设计一个三阶巴氏数字带通滤波器对模拟信号滤波,上下边 带的3dB截止频率为