将军饮马问题的11个模型及例题

1、将军饮马问题问题概述路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边;3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.基本模型一1.已知：如图，定点 A、B分布在定直线I两侧;要求：在直线I上找一点P,使PA+PB勺值最小解：连接AB交直线I于点P,点P即为所求，PA+ PB勺最小值即为线段AB的长度理由：在I上任取异于点 P的一点P,连接AP、BP,在 ABP 中，AP+BPAB 即 AP+BPAP+BP P为直线AB与直线I的交点时，PA+PB最小.2.已知：如图，定点 A和定点B在定直线I的同侧要求

2、：在直线I上找一点P,使得PA+ PB值最小（或 AB P的周长最小）解：作点A关于直线I的对称点A,连接AB交I于P,*A / y点P即为所求;理由：根据轴对称的性质知直线I为线段AA的中垂线,由中垂线的性质得：PA=PA,要使PA+ PB最小，则需PA+PB值最小，从而转化为模型1.3.iT*已知:如图，定点 A B分布在定直线I的同侧（A、B两点到I的距离不相等）要求:在直线I上找一点P,使I PA-PB I的值最大解:连接BA并延长，交直线I于点P,点P即为所求;4./fKLr f理由：此时I PA-PB| =AB在I上任取异于点P的一点P,连接AP、BP,由三角形的三边关系知IPA-

3、PB I AB,即 I PA-P B I I PA-PB I已知:如图，定点 A B分布在定直线I的两侧（A、B两点到I的距离不相等）要求:在直线I上找一点P,使I PA-PB|的值最大/解:作点B关于直线I的对称点B,连接BA并延长交于点P,点P即为所求;理由：根据对称的性质知I为线段BB的中垂线，由中垂线的性质得：PB=PB,要使I PA-PBI最大，则需I PA-PB I值最大，从而转化为模型 3.典型例题1-12如图，直线y=3X+4与x轴、y轴分别交于点 A和点B,点C、D分别为线段AB 0B的中点，点P为0A上一动点，当PC+ PD最小时,点P的坐标为，此时PC+ PD的最小值为【

4、分析】符合基本模型2的特征，作点D关于x轴的对称点D，连 接CD交x轴于点P,此时PC+PD直最小，由条件知 CD为 BAO的中位线，0P为 CDD的中位线，易求 0P长，从 而求出P点坐标；PC+ PD勺最小值即CD长，可用勾股定理 （或两点之间的距离公式，实质相同）计算.【解答】连接CD,作点D关于x轴的对称点D,连接CD交x轴2于点P,此时PC+PD直最小.令 y=3X+4中x=0,则y=4,22点B坐标(0, 4);令y=-x+4中y=0,则-x+4=0，解得：x= - 6,点 A的坐标33CD为厶BAO的中位线,为（-6, 0）. 点C、D分别为线段 AB OB的中点， CD/ x

5、轴，且 CD=2 AO=3点D和点D关于x轴对称， O为DD的中点,D ( 0, -1 ), 0卩为厶 CDD 的中位线， OP =2 CD=3 ,点P的坐标为（-1, 0）.在Rt CDD中,CD = JcD2 DD 2 =J32 42=5,即PC+ PD的最小值为5.C、点P坐标；若题型变 则先求直线 CD的解析典型例题1-2如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0, 1），点B的坐标为（2, - 2），点P在直线y=- x上运动，当|PA - PB|最大时点P的坐标为,|PA - PB|的最大值是【分析】符合基本模型4的特征，作A关于直线y=- x对称点C, 连接BC,可得直线BC

6、的方程；求得BC与直线y= - x的 交点P的坐标；此时|PA - PB|=|PC - PB|=BC取得最大值, 再用两点之间的距离公式求此最大值 .2叮11 CVl23 r八 fi【解答】作A关于直线y=- x对称点C,易得C的坐标为（-1, 0）;连接BC,可得直线BC的方程为y=- |x-专，与直线y= - x联立解得交点坐标 P为（4,- 4）;此时|PA-PB|=|PC - PB|=BC取得最大值,最大值 BC=JG 1)2 ( 2)2 =萼；【小结】“两点一线”大多考查基本模型2和4，需作一次对称点，连线得交点变式训练已知菱形1-1OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A （

7、 5, 0）,OB=4v5 ,点P是对角线 OB上的一个动点，D（ 0, 1）,当CP+DR最短时，点P的坐标为（A. (0, 0)B . (1, 1) C (5, 3)D . (10, 7)【小结】还可用中点坐标公式先后求出点 化，C、D不是AB和OB中点时， 式，再求其与x轴的交点P的坐标.解：作点A关于0M的对称点A，过点 A 作 AQI ON变式训练1-2如图，菱形 ABCD中，对角线 AC和BD交于点0, AC=2BD=2v3,E为AB的中点，P为对角线 AC上一动点，贝U PE+ PB勺最小值为D变式训练1-3如图，已知直线y=1x+1与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线y=2x

8、2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1 , 0). (1 )求该抛物线的解析式；M的坐标.拓展模型1.已知：如图，A为锐角/ MOM定点;要求：在射线 OM找一点P,在射线ON上找一点Q使AP+PQ的值最小.解：过点 A作AQL ON于点Q, AQ与 OM相交于点P,此海于点Q A Q交0M于点P,此时AP+PC最小;理由：由轴对称的性质知 AP=A P,要使AP+PC最小,只需A已知：如图,要求：在射线P+PQ最小，从而转化为拓展模型1A为锐角/ MON内一定点;OMh找一点P,在射线 ON上找一点 Q 使 APQ的周长最小解：分别作A点关于直线OM的对称点

9、A1,关于ON的对41P和点Q即为所求，此时 APQ周长最小，最小值即为线段AiA2的长度;4.已知：如图，A、B为锐角/ MON内两个定点;称点A2,连接AiA2交OM于点P,交ON于点Q,点理由：由轴对称的性质知 AP=AP, AQ=AQ APQ的周长AP+PQ+AQ=A+ PQ+AQ当氏、P、Q A四点共线时，其值最小.APQB勺周长最小要求：在OMh找一点P,在ON上找一点Q,使四边形解：作点A关于直线OM的对称点A,作点B关于直线ON的对称点B,连接AB交OM于P,交ON于Q,则点P点Q即为所求，此时四边形 APQB周长的最小值即为线段 AB和AB的长度之和;理由：AB长为定值，由基

10、本模型将 PA转化为PA将QB转化为QB,当A、P Q B四点共线时,PA +Q QB的值最小，即 PA+PQh QB的值最小.5.搭桥模型已知：如图，直线m/ n,A、B分别为m上方和n下方的定6.点，（直线AB不与m垂直）要求：在 m n之间求作垂线段 PQ使得AP+PQ+B最小.分析：PQ为定值，只需 AP+BQ最小，可通过平移，使P、Q “接头”，转化为基本模型解：如图，将点 A沿着平行于PQ的方向，向下平移至点A,使得 AA =PQ连接A B交直线n于点Q,过点Q作PQLn,交直线m于点P,线段PQ即y*为所求，此时AP+P Q+B最小.理由：易知四边形 QPAA为平行四边形，则 Q

11、A =PA当B、Q A 三点共线时，QA +BQ最小，即AP+BQ最小，PQ长为定值，此时 AP+P Q+B最小.已知：如图，定点 A B分布于直线I两侧，长度为a(a为定值）的线段PQ在I上移动（P在Q左边）确定PQ的位置，使得AP+P Q+Q最小分析:PQ为定值，只需AP+QB勺值最小，可通过平移,使P、Q “接头”，转化为基本模型解：将点A沿着平行于I的方向，向右移至 A,使AA PQ=a，连接AB交直线I于点Q,在I上截取PQ=a（ P在Q左边），则线段PQ即为所求，此时AP+PQ+Q的最小值为AB+PQ即AB+a理由：易知四边形APQA为平行四边形，贝y PA=QA,当 A、QB三点

12、共线时，QA+QB最小，即PA+QB最小，又PQ长为定值此时PA+P Q+Q值最小.7.已知：如图，定点 A B分布于直线I的同侧，长度afl（a为定值）的线段PQ在I上移动（P在Q左边）要求：确定PQ的位置，使得 四边形APQE周长最小 分析：AB长度确定，只需 AP+P Q+Q最小，通过作 A点关于I的对称点，转化为上述模型3解：作A点关于I的对称点A，将点A沿着平行于I的方向，向右移至 A，使A A = PQ=a连接A B 交I于Q 在I上截取QP=a(P在Q左边)，线段PQ即为所求，此时四边形 APQE周长的最小值为A B+AB+ PQ 即 A B+AB+a典型例题2-1AB上的两个动

13、点，则 BM+M的最小值为如图，在矩形ABCD中, AB=10, BC=5若点M N分别是线段 AC【分析】符合拓展模型2的特征，作点B关于AC的对称点E,再过 点E作AB的垂线段，该垂线段的长即BM+MN勺最小值，助等面积法和相似可求其长度【解答】作点B关于AC的对称点E,再过点E作EN1AB于N,其最小值即 EN长； AB=10, BC=5二 AC=/ AB2 BC2=5J5 ,等面积法求得AC边上的高为10 仝2, be=475 ,5/5ACBM+MN=EM+MN易知 ABBA ENB 霍二口口EM DE 即BM+MN勺最小值为8.【小结】该类题的思路是通过作对称，将线段转化，再根据定理

14、、公理连线或作垂线；可作 定点或动点关于定直线的对称点，有些题作定点的对称点易解，对称点易解.，代入数据解得 EN=8有些题则作动点的典型例题2-2如图，/ AOB=60，点P是/ AOB内的定点且 0P*5,点M N分别是射线OAOB上异于点O的动点，则 PMN周长的最小值是()B 丁A.C. 6 D . 3A【分析】符合拓展模型3的特征；作P点分别关于0A OB的对称点C D,连接CD分别交0A 0B于 MN,此时 PMN周长最小，其值为 CD长；根据对称性连接0C 0D分析条件知0CD是顶角为120 的等腰三角形，作底边上高，易求底边CD.【解答】作P点分别关于0A 0B的对称点C D,

15、连接CD分别交0A 0B于MN,如图,贝U MP=MC NP=ND 0P=0D=0C=, / B0P2 B0D / A0P= A0C PN+PM+MN=ND+MN+NC=D(c0D2 BOP B0D+Z A0P+Z A0C=Z A0B=120 ,此时 PMN周长最小，作 0HICD于 H,贝U CH=DH V/ OCH=30 , OH丄 OC逅,2 2chV30h=|即PMN周长的最小值是3;故选：D.【小结】根据对称的性质，发现 0CD是顶角为120 的A等腰三角形，是解题的关键，也是难点典型例题2-3如图，已知平行四边形 ABC0以点0为原点, 为x轴，建立直角坐标系，0C所在的直线/ A

16、=60。，线段EF所在的直线为线段EF上的动点，PMI x轴于点AB 交 y 轴于点 D, AD=2 OC=6OD的垂直平分线，点P为M点，点E与E关于x轴对称，连接BP E M(1)请直接写出点A坐标为BP+P M+ME的长度最小时，请求出点(2 )当【分析】，点B坐标为P的坐标.4卜V厂人X0(1) 解直角三角形求出 0D BD的长即可解决；(2) 符合“搭桥模型”的特征；首先证明四边形 0PME是平行四边形，PM是定值，P B+ME =0P+PB的值最小时，BP+PM+ME的长度最小,可得0P=EM此时 P点为【解答】直线0B与EF的交点，结合(1 )在 Rt AD0中, V/ A=60

17、 0D=2?tan60 =3, A (- 四边形ABCO是平行四边形， DB=6- 2=4,.B (4, 3)(2)如图，连接0P / EF垂直平分线段 / PE0=/ EOM/ PM0=90，四边形 PM=0E, V OE=OE , PM=0E , 四边形OPME是平行四边形，0B的解析式可得 P点坐标;AB=0C=60D PML0C0MPE是矩形,PM/ 0E ,H 门a.V c I OP=EM PM是定值， PB+ME =OP+PB勺值最小时，BP+PM+ME的长度最小, 当O P B共线时，BP+PM+ME的长度最小， 直线 0B的解析式为y乂lx,2- P (2，需).【小结】求没有

18、公共端点的两条线段之和的最小值,形)的方法，转化为基本模型 .般通过作对称和平移(构造平行四边典型例题2-4如图所示，在平面直角坐标系中，Rt AOB的顶点坐标分别为 A (- 2, 0), 0(0, 0), B (0, 4),把 A0B绕点 0按顺时针方向旋转 90，得到 COD(1 )求C D两点的坐标;(2)求经过A B、D三点的抛物线的解析式;(3)在(2)中抛物线的对称轴上取两点E、F (点E在点F的上方)，且EF=1,使四边形ACEF的周长最小，求出E、F两点的坐标.【分析】符合拓展模型7的特征，通过作对称、平移、连线，可找出解析式和抛物线的对称轴可解出E、F坐标.【解答】(1)由

19、旋转的性质可知：OC=OA=2 OD=OB=4.,.C点的坐标是(0, 2) , D点的坐标是(4, 0),y=ax2+bx+c,(2)设所求抛物线的解析式为4a-2b+c=0由题意，得 0)的图象与边长是 6的正方形OABCXM, N两点. OMN勺面积为10.若动点P在X轴上，贝U PM+PN1 2y包 X +bx+c 与直线A (0, 3), C (- 3,y*x+3交于A, B两点，交X轴于C D两点,0).13.如图，已知抛物线连接AC BC已知(1 )求此抛物线的解析式；(2) 在抛物线对称轴I上找一点M,使|MB- MD的值最大，并求出这个最 大值；PA过点P作PQIPA交y轴P

20、, Q为顶点的三角形与 ABCP的坐标；若不存在，请说(3) 点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接 于点Q,问：是否存在点 P,使得以A 相似？若存在，请求出所有符合条件的点明理由.14.如图，在四边形 ABCD中,/ B=/ C=90, ABCD, AD=AB+CD(1) 用尺规作/ ADC的平分线DE交BC于点E,连接AE (保留作图痕迹，不写作法) (2 )在(1)的条件下， 证明：AEX DEN分别是 AE AB上的动点，求 BM+M的最小值. 若 CD=2 AB=4,点 M15.如图，抛物线 y=ax +bx+c(1)求抛物线的解析式及顶点(az 0)经过点 A (- 1，0)，B (

21、 3，0 )，C (0，3)三点.M的坐标；(2)连接AC BC, N为抛物线上的点且在第四象限，当&nb=SaABC时，求N点的坐标；(3 )在(2)问的条件下，过点 C作直线I / X轴，动点P( m 3)在直线I上，动点Q(m,m为何值时，PM+P Q+Q的和最小，并求出 PM+P Q+QN0)在X轴上，连接 PM PQ NQ当和的最小值.2交y轴于点C,过A, C两点的二次函数 y=ax+4X+C17.如图1,已知抛物线丫=丄(X- 2) (x+a) (a 0)与x轴从左至右交于 A, B两点，与ya轴交于点C.(1) 若抛物线过点T (1,- ),求抛物线的解析式；4(2) 在第二象

22、限内的抛物线上是否存在点D,使得以A、B D三点为顶点的三角形与 ABC相似？若存在，求 a的值；若不存在，请说明理由.(3) 如图2,在(1)的条件下，点 P的坐标为(-1 , 1)，点Q(6, t )是抛物线上的点， MN=2问MN在 x轴上移动到何处时， 四边形PQNM在X轴上，从左至右有 M N两点，且 的周长最小？请直接写出符合条件的点VjtM的坐标.18.如图，对称轴为直线 为(1)(2)(3)x=2的抛物线经过 A (- 1, 0), C ( 0, 5)两点，与x轴另一交点 E (a，0)，F(a+1，0)，P是第一象限内抛物线上的动点.B.已知 M (0, 1), 求此抛物线的

23、解析式；当a=1时，求四边形 MEFP勺面积的最大值，并求此时点P的坐标；若 PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求 a为何值时，四边形 PMEF周长最小？请说 明理由.19.探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点PiPiP2的中点P(x,y) P的坐标公式:(X1, y1 ) , P2 ( X2, y2),可通过构造直角三角形利用图1得到结论：P1P2= 2他还利用图2证明了线段(1 )请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；运用：(2)已知点M(2,- 1) , N (- 3, 5),则线段MN长度为;直接写出以点 A (2 , 2), B (- 2 , 0

24、), C ( 3, - 1), D为顶点的平行四边形顶点D的坐标：；4拓展：(3)如图3,点P ( 2 , n)在函数yx ( x 0)的图象 0L与x轴正半轴夹角的平 分线上，请在 0L、x轴上分别找出点 E、F,使 PEF的周长最小，简要叙述作图 方法，并求出周长的最小值.20.如图，直线y=kx+b ( k、b为常数)分别与 x轴、y轴交于点A (- 4, 0)、B( 0, 3),抛 物线y=- x +2X+1与y轴交于点 C.(1) 求直线y=kx+b的函数解析式；(2) 若点P ( X，y )是抛物线y=- x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d， 求d关于x的函数解析式，并求