完整版一元一次方程难点

1、元一次方程难点主要困难体现在两个方面：一是难以从实际问题中找出相等关系，列出相应的方程；二是对数量关系稍复杂的方程，常常理不清楚基本量，也不知道如何用含未知数的式子来表示出 这些基本量的相等关系，导致解题时无从下手。事实上，方程就是一个含未知数的等式。列方程解应用题，就是要将实际问题中的一 些数量关系用这种含有未知数的等式的形式表示出来。而在这种等式中的每个式子又 都有自身的实际意义，它们分别表示题设中某一相应过程的数量大小或数量关系。由 此，解方程应用题的关键就是要“抓住基本量，找出相等关系”。所以，其实一元一次方程应用题的解题关键就是：先找出等量关系，根据基本量设未 知数。一般是问什么设什

2、么，但是一些特殊的题目为了使方程简便有时会设一些中间 量为未知数。初一年级涉及的主要有以下几类:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)行程问题；工程问题；溶液配比问题；销售问题；数字问题；比例问题；设中间变量的问题。不管是什么问题，关键是要了解各个具体问题所具有的基本量，并了解各个问题 所本身隐含的等量关系，结合具体的问题，根据等量关系列出方程。行程问题行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度。等量关系为：路程=速度X时间； 速度=路程/时间； 时间=路程/速度特殊情况是航行问题，其是行程问题中的一种特殊情况，其速度在不同的条件下会发 生变化。 顺水（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（

3、风速）； 逆水（风）速度=静水（无风）速度水流速度（风速）。由此可得到航行问题中一个重要等量关系：顺水（风）速度水流速度（风速）=逆水（风）速度+水流速度（风速）=静水（无 风）速度。典型例题例1甲骑车从A地到B地，乙骑车从B地到A地，两人都匀速前进。已知两人在上午8时 同时出发，到上午10时，两人相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米。求AB两地路程。解析：本题可以简化为：A、B两地两人匀速相向而行，2小时候相距36千米，4小时 候后仍相距36千米，求A、B距离。而两人各自的速度是多少，是不是相等这些均没 有交代。为了有助于我们找到等量关系，我们可以借助草图。甲从A出发去B,乙从B出

4、发去A,相向而行，2小时后假设甲到C,乙到D,此 时CD之间的距离为36千米。又过了两小时后甲到D,乙到C,此时CD之间的距离仍 是36千米。我们根本不知道甲乙的速度，但是我们知道一个等量关系就是甲乙的速度 始终不变。那么设A、B之间的距离为X千米，那么2小时后，甲乙一共走的路程是（X-36 ）千米，用时2小时，那么甲乙的速度和是：彎小时候后，甲乙仍相距36千米，此时他们共走的路程是（X+36 ）千米，用时4小时，那么甲乙的速度和是：X+364所以可以列方程为：号半 解得：x=108千米。例2: 一列火车从甲地开往乙地，每小时行90千米，行到一半时耽误了 12分钟，当着 列火车每小时加快10千

5、米后，恰好按时到了乙地，求甲、乙两站距离？ 此题的等量关系是：列车改变速度以后所用的总时间=原计划的时间。 则可设甲乙之间距离为x千米，那么原计划的时间为（x/90）小时。实际所用时间分三段，第一段用原速度90走了一半的路程所用时间（发）小时，第二段是耽9090+10小时，所以可以列方程为:-=（竺）+上+二909060 90+10误停留的12分钟（转换成小时为（12/60 ）小时），第三段为加速后走另一半路程所用的时间（竺）解得：x=360千米。例3:某队伍450米长，以每分钟90米速度前进，某人从排尾到排头取东西后，立即 返回排尾，速度为3米/秒。问往返共需多少时间？解析：这一问题实际上分

6、为两个过程： 从排尾到排头的过程是一个追及过程，相当于最后一个人追上最前面的人； 从排头回到排尾的过程则是一个相遇过程，相当于从排头走到与排尾的人相遇。 在第一个过程追及问题中，等量关系是：此人行进的路程-队伍行进的路程=队伍长度。 设此段此人行进的时间为x ,则：903x - x = 45060解得 x=300s 。此人行进的路程+队伍行进的路程=队伍长在第二个过程相遇问题中，等量关系是： 度。设此段此人行进的时间为y ,则：=450解得：y=100s。所以往返共用时间为x+y=400s。例4: 一艘轮船在甲、乙两地之间行驶，顺流航行需6小时，逆流航行需8小时，已知 水流速度每小时2 km。

7、求甲、乙两地之间的距离。解析：顺水速度=静水速度+水流速度； 逆水速度=静水速度-水流速度。此题的等量关系是：静水速度=顺水速度-水流速度=逆水速度+水流速度。 设两地之间距离为x千米，则解得x=96千米。工程问题工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。关系式为：工作量=工作效率X工作时间；工作时间=工作量/工作效率；工作效率=工作量/工作时间。工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则 工作效率为1/t。常见的相等关系有两种：如果以工作量作相等关系，部分工作量 之和=总工作量。如果以时间作相等关系，则完成同一工作的时间差=多用的时间。 在工程问题中，还要

8、注意有些问题中工作量给出了明确的数量，这时不能看作整体1, 此时工作效率也即工作速度。典型例题例1 :加工某种工件，甲单独作要20天完成，乙只要10就能完成任务，现在要求二人 在12天内完成任务。问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务？ 解析：将全部工作看做整体1，由甲、乙单独完成的时间可知，甲的工作效率为1/20， 乙的工作效率为1/10。问题是乙需要单独工作几天后甲再工作正好完成任务，可知整 个工程分成了两部分，第一部分由乙单独工作，第二部分由甲单独工作，两部分的和 是整个工作。所以可知等量关系为：乙工作的工程量+甲工作的工程量=1。可设乙加工x天，那么因为要12天内完成任务，则

9、甲工作的天数为(12-X )天。因为 乙的效率为1/10，则乙的工程量为x/10 ;甲的工作效率为1/20，则甲的工程量为韦 所以可列方程为：右+詈=1 解得：x=8天。例2 :收割一块麦地，每小时割4亩，预计若干小时割完。收割了 2/3后，改用新式农 具收割，工作效率提高到原来的1.5倍。因此比预计时间提前1小时完工。求这块麦 地有多少亩？ 解析：本题的等量关系为：老式收割与新式收割混合的作业时间-单独老式收割的作业 时间=1。2x可设麦地有x亩，那么在改用新式农具之前的工作效率是4亩/小时，按照此效率收割了 一亩,3此作业时间为 竽=x。改用新式工具后，工作效率为1.5 X 4= 6亩/小

10、时，工作任务为+亩，此作463x +-,而单独老式收割的作业6 18业时间为 学=，所以老式收割与新式收割混合的作业时间为:6 18时间为x，所以根据等量关系可列方程为：x -(x + -)= 144618解得x=36亩。例3:一水池装有甲、乙、丙三个水管，加、乙是进水管，丙是排水管，甲单独开需10小时 注满一池水，乙单独开需6小时注满一池水，丙单独开15小时放完一池水。现在三管 齐开，需多少时间注满水池？1/10 ;1/15。解析：可知三个水管的工作效率如下： 甲水管的注水效率为 乙水管的注水效率为1/6 ； 丙水管的放水效率为 那么当三个水管同时开时，可知其等量关系为：一定时间内甲乙的注水

11、工作量-丙的排 水工作量=工程整体1。则可设注水时间为x小时，则甲的注水工作量为X/10，乙的注水工作量为x/6，丙的 排水工作量为X/15，则可列方程为：解得x=5小时。溶液配比问题溶液配比问题中有四个基本量：溶质（纯净物）、溶剂（杂质）、溶液（混合物）、 浓度（含量）。其关系式为: 溶液=溶质+溶剂（混合物=纯净物+杂质）；纯净物浓度=溶液 X 100%=-质溶+溶剂 X 100%; 溶液溶质+溶剂纯净物纯净物由可得至y:rX 100%=”、呈拓 九壬 X 100%。 混合物纯净物+杂质溶质=浓度X溶液=浓度X（溶质+溶剂）。? 例1 :把1000克浓度为80 %的酒精配成浓度为60 %的

12、酒精，应加入浓度为20 %的酒精多少克？解析：等量关系是：溶质质量相等。配比前的溶质质量分两部分，第一部分为80%浓度的酒精的溶质质量，第二部分为浓度为20%浓度的酒精的溶质质量。配比后的溶质质量为60%浓度的酒精的溶质质量。则设加入溶度为20%的酒精x克，可以列式为：1000 80% + X 20% = （1000+X 60%计算得：x=500克。? 例2 :现有浓度为10%及浓度为20%的两种氯化钠溶液，问各取多少可配制成浓度为14%的溶液100克？解析：本题跟上题等量关系一样。可设需10%浓度的氯化钠溶液x克，那么需20%的氯化钠溶液（100-x ）克，可列方 程为：X- 10% + (

13、100-X) 20% =100 - 14%解得：x=60克，则需要20%浓度的100-60=40 克。销售问题与生活、生产实际相关的销售类应用题，是近年中考数学创新题中的一个突出类 型。销售类问题主要体现为三大类：销售利润问题、优惠（促销）问题、存贷 问题。这三类问题的基本量各不相同，在寻找相等关系时，一定要联系实际生活情景 去思考，才能更好地理解问题的本质，正确列出方程。（1）销售利润问题。利润问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。 基本关系式有： 利润=销售价（收入）-成本（进价）；利润 成本（进价）=销售价（收入）-利润; 禾U润率=、知人 J iJiij十 成

14、本（进价）， 利润=成本（进价）X利润率。在有折扣的销售问题中，实际销售价=标价X折扣率。打折问题中常以进价不变作 相等关系。（2）优惠（促销）问题。日常生活中有很多促销活动，不同的购物（消费）方式可以得到不同的优惠。这 类问题中，一般从“什么情况下效果一样分析起”。并以求得的数值为基准，取一个 比它大的数及一个比它小的数进行检验，预测其变化趋势。（3）存贷问题。存贷问题与日常生活密切相关，也是中考命题时最好选取的问题情景之一。存贷 问题中有本金、利息、利息税三个基本量，还有与之相关的利率、本息和、税率等量。 其关系式有： 利息=本金X利率X期数； 利息税=利息X税率；?例1 :某商店先在广州

15、以每件 元的价格购进同样商品 品的销售价应定多少？ 本息和（本利）=本金 + 利息-利息税解析：设销售价每件x元，X 12.5 ）元，利润率为15元的价格购进某种商品10件，后来又到深圳以每件12.5 40件。如果商店销售这种商品时，要获利12 % ,那么这种商销售收入则为(10+40 ) x元，而成本(进价)为(5 X 10+40 12 % ,则利润为(5 X 10+40 X 12.5 ) X 12 %。则可列方程为：(10+40 ) x ( 5 X 10+40 X 12.5 ) = ( 5 X 10+40 X 12.5 ) X 12 % 解得x=14.56 元。? 例2 :某种商品因换季准

16、备打折出售，如果按定价七五折出售，则赔25元，而按定价的九折 出售将赚20元。问这种商品的定价是多少？解析：设定价为x元，七五折售价为75 % x元，因为赔25元则利润为-25元，进价则为 75 % x - ( - 25 ) =75 % x+25 ;九折销售售价为90 % x,利润为20元，进价为90 % x - 20。根据等量关系进价一定，可列方程为：75 % x+25=90 % x - 20解得x = 300? 例3:小明假期打工收入了一笔工资，他立即存入银行，存期为半年。整存整取，年利息为 2.16 %。取款时扣除20 %利息税。小明共得到本利504.32元。问半年前小明共存入 多少元？

17、解析：本题中要求的未知数是本金，可设存入的本金为x元，由年利率为2.16 %，期数为 0.5年，则利息为0.5 X 2.16 % x ,利息税为20 % X 0.5 X 2.16 % x,则可列方程为：x +0.5 X 2.16 % x - 20 % X 0.5 X 2.16 % x=504.32解得x = 500兀。? 例4:某服装商店出售一种优惠购物卡，花200元买这种卡后，凭卡可在这家商店8折购物，什么情况下买卡购物合算？解析：购物优惠先考虑“什么情况下情况一样”。设购物x元买卡与不买卡效果一样，买卡花费金额为(200+80 % x )元，不买卡花费 金额为x元，故有：解得：x = 10

18、00当 X 1000 时, 不买卡花费大于 当 XV 1000 时,200+80 % x=x如 x=20001000元时,如x=800 买卡消费的花费为:买卡消费的花费为：200+80 % X 2000=1800(元)。买卡购物合算。200+80 % X 800=840(元)。不买卡花费小于1000元时，买卡不合算。数字问题一元一次方程应用题中的数字问题多是整数，要注意数位、数位上的数字、数值三者 间的关系：任何数=E （数位上的数字X位权）如两们数？ = 10a + b ； 三位数= 100a + 10b + c? 例1 :一个三位数，三个数位上的和是17,百位上的数比十位上的数大7,个位上

19、 的数是十位上的数的3倍。求这个数。解析：设这个数十位上的数字为x，则个位上的数字为3x，百位上的数字为（X+7 ），这 个三位数则为100 （ X+7）+10X+3X。依题意可列方程为：(X+7) +x+3x=17。解得：X=2。所以这个三位数为：100（ X+7）+10x+3x=900+20+6=926。? 例2 :一个六位数的最高位上的数字是1，如果把这个数字移到个位数的右边，那 么所得的数等于原数的3倍，求原数。解析：这个六位数最高位上的数移到个位后，后五位数则相应整体前移1位，即每个数 位上的数字被扩大10倍，可将后五位数看成一个整体设未知数。设除去最高位上数字 1后的5位数为X，则

20、原数为100000+X ，移动后的数为10X+1 ，依题意可列方程为：10X+1=3（100000+X ）解得 X = 42857。则原数为142857。比例问题比例问题在生活中比较常见，比如合理安排工人生产，按比例选取工程材料，调 剂人数或货物等。比例问题中主要考虑总量与部分量之间的关系，或是量与量之间的比例关系。调配问题也属于比例问题，其关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关 系。在调配问题中主要考虑“总量不变”。? 例1 :甲、乙两书架各有若干本书，如果从乙架拿100本放到甲架上，那么甲架上 的书比乙架上所剩的书多5倍，如果从甲架上拿100本书放到乙架上，两架所有书相 等。问原来每

21、架上各有多少书？即将原来多的一方多出的数量进行平分。由题 两架书相等”，可知甲书架原有的书比乙书架 本书，则甲架原有（X+200）本书。从乙架拿100 ）本，甲架书变为（X+200）+100本。又解析：在调配问题中，调配后数量相等， 设中“从甲书架拿100本书到乙书架， 上原有的书多200本。故设乙架原有X100本放到甲架上，乙架剩下的书为（X 甲架的书比乙架多5倍，即是乙架的六倍，可列方程为：（X+200 ） +100=6 （ X 100 ）解得X=180 ,即乙书架原有180本书，则甲书架原有180+200=380 本书。? 例2 :某车间22名工人参加生产一种螺母和螺丝。每人每天平均生产

22、螺丝120个 或螺母200个，一个螺丝要配两个螺母，应分配多少名工人生产螺丝，多少名工人生 产螺母，才能使每天生产的产品刚好配套？解析：产品配套（工人调配）问题，要根据产品的配套关系（比例关系）正确地找到它 们间得数量关系，并依此作相等关系列出方程。本题中，设有X名工人生产螺母，生产螺母的个数为200X个，则有（22 X）人 生产螺丝，生产螺丝的个数为120 （ 22 X ）个。由“ 一个螺丝要配两个螺母”即“螺 母的个数是螺丝个数的2倍”，可列方程为：200X=2 X 120 （ 22 X）解得x=12。即生产螺母的工人12名，生产螺丝的工人10名。? 例3:地板砖厂的坯料由白土、沙土、石膏

23、、水按25 : 2 ： 1 : 6的比例配制搅拌 而成。现已将前三种料称好，共5600千克，应加多少千克的水搅拌？前三种料各称了 多少千克？解析：解决比例问题的一般方法是：按比例设未知数，并根据题设中的相等关系列出方 程进行求解。本题中，由四种坯料比例25 : 2 : 1 : 6，设四种坯料分别为25X、2x、X、 6x千克，由前三种坯料共5600千克，则可列方程为：25x+2x+x=5600所以 x=200 ; 25x=5000 ; 2x=400 ; 6x=1200。? 例4:教室内共有灯管和吊扇总数为13个。已知每条拉线管3个灯管或2个吊扇， 共有这样的拉线5条，求室内灯管有多少个？解析：

24、这是一道对开关拉线的分配问题。设灯管有x支，则吊扇有（13-x ）个，灯管拉线为3条，吊扇拉线为 琴条，依题意“共有532条拉线”，则可列方程为:x 13-x_3 + 丁 = 5解得x=9? 例5:出口 1吨猪肉可以换5吨钢材，7吨猪肉价格与4吨砂糖的价格相等，现有 288吨砂糖，把这些砂糖出口，可换回多少吨钢材？解析：本题可转换成一个比例问题。由猪肉：钢材=1 : 5,猪肉：砂糖=7 : 4,得猪肉： 钢材：砂糖=7 : 35 : 4。则设可换回钢材x吨，可列方程为：x : 288=35 : 4解得x=2520设中间变量的问题一些应用题中，设直接未知数很难列出方程求解，而根据题中条件设间接未

25、知数， 却较容易列出方程，再通过中间未知数求出结果。?例1 :甲、乙、丙、丁四个数的和是43，甲数的2倍加8，乙数的3倍，丙数的4倍， 丁数的5倍减去4,得到的4个数却相等。求甲、乙、丙、丁四个数。解析：本题中要求4个*，在后面可用方程组求解.若用一元一次方程求解，如果设算个数为未知数貝余的数用未知故表示很麻烦.S里由甲.乙 丙* 丁变化后得到的相等，故设这个相等的数为X，则甲数为号乙数務.丙数为. 丁数为罟.由四个数的和星43 ,可列方程为:解得X = 36.所以甲14 ,乙12 丙9 , 丁乩? 例2 :某中学生足球联赛共赛10轮(即每队均需比赛10场)，其中胜1场得3分， 平1场得1分，负1场得0分。胜利中学足球队在这次联赛中所负场数比平场数少3 场，结果公得19分。胜利中学在这次联赛中胜了多少场？解析：本题中若直接将胜的场次设为未知数，无法用未知数的式子表示出负的场数和平 的场数，但设平或负的场数，则可表示出胜的场数。故设平X场，则负X 3场，胜 10 ( X + X