求数列的递推公式

1、已知一个数列的递推公式、如何求解它的通项公式。E3悬赏分：0 -解决时间：2009-8-22 17:25提问者：574128385 -试用期 二级最佳答案 检举公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动 点法、特征根的方法等等。类型一归纳一猜想一证明由数列的递推公式可写出数列的前几项，再由前几项总结出规律， 猜想出数列的一个通项公式，最后用数学归纳法证明.类型二“逐差法”和“积商法”(1) 当数列的递推公式可以化为an+1-an=f(n)时，取n=1,2,3,n -1，得n-1个式子：a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),an -an-1=f(n-1

2、)，且f(1)+f(2)+f(n -1)可求得时，两边累加得通项an，此法称为“逐差法”.(2) 当数列的递推公式可以化为 an +1/an=f(n)时，令n=1,2,3,n -1,得n-1个式子，即a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),an/an -1=f(n 1)，且 f(1)f(2)f(3)f(n -1)可求得时，两边连乘可求出an，此法称为“积商法”.类型三构造法递推式是pan=qan-1+f(n)(p、q是不为零的常数)，可用待定系数法构造一个新的等比数列求解.类型四可转化为类型三求通项(1) “对数法”转化为类型三.递推式为 an+1=qan k(q 0

3、,k工0且kM 1,a1 0)，两边取常用对数，得Igan+1=klgan+lgq ，令 lgan=bn，则有 bn +1=kbn+lgq，转化为类型三.(2) “倒数法”转化为类型三.递推式为商的形式：an+1=(pan+b)/(qan+c)(an 丰0, pqMO,pc 丰qb).若b=0，得an +1= pan/(qan+c).因为anO,所以两边取倒数得1/an+仁q/p+c/pan, 令bn=1/an,贝U bn+1=(c/p)bn+q/p ，转化为类型三.若bM0,设an+1+x=y(an+x)/qan+c，与已知递推式比较求得x、y,令bn=an+x，得bn +1=ybn/qan

4、+c，转化为 b=0 的情况.类型五递推式为 an +1/an=qn/n+k(q 丰 0,k N)可先将等式(n+k)an+1=qnan两边同乘以(n+k-1)(n+k-2)(n+1)，得(n+k)(n+k-1)(n+k-2)(n+1)an+1=q(n+k -1)(n+k- 2)(n+1)nan，令bn=(n+k-1)(n+k-2)(n+1)?nan,贝U bn+1=(n+k)(n+k-1)(n+k-2)(n+1)an+1.从而bn+1=qbn,因此数列 bn是公比为q,首项为b1=k(k-1)(k- 2)2?1?a仁k!a1的等 比数列，进而可求得 an.总之，由数列的递推公式求通项公式的问

5、题比较复杂，不可能一一论及，但只要我们抓住递推数列的递推关系，分析结构特征，善于合理变形，就能找到解决问题的有效途径.类型一归纳一猜想一证明由数列的递推公式可写出数列的前几项，再由前几项总结出规律，猜想出数列的一个通项公式，最后用数学归纳法证明.例1 设数列an是首项为1的正项数列，且(n+1)a2n+1- nan2+an+1an=0(n=1,2,3,), 则它的通项公式是 an=. (2000年全国数学卷第15题)解：将(n+1)a2n+1- nan2+an+1an=0(n=1,2,3,)分解因式得 (an +1+an) (n+1)an+1-nan =0.由于 an0，故(n+1)an+仁n

6、an，即 an+1= n/(n+1)an .可由数学归纳法证明因此 a2=(1/2)a1=(1/2), a3=(2/3)a2=(1/3),.猜想 an=(1/n),之，证明过程略.-1，得n-1个式子:类型二“逐差法”和“积商法”(1)当数列的递推公式可以化为an+1-an=f(n)时，取n=1,2,3,na2-a1=f(1),a3-a2=f(2),an -an-1=f(n-1),且f(1)+f(2)+f(n -1)可求得时，两边累加得通项an,此法称为例 2 已知数列 an满足 a1=1,an=3n-1+an- 1(n 2),证明：an=(3n-1)/2 .(2003 年全国数学卷文科第 1

7、9题)证明：由已知得 an-a n-1=3 n-1，故an=(an-an-1)+(an-1 an-2)+ +(a2 -a1)+a1=3n-1+3n-2+ +3+1=3n-1/2 .所以得证.(2)当数列的递推公式可以化为an+1/an=f(n)时，令n=1,2,3,n -1,得n-1个式子，即a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),a n /an-1 =f(n 1), 且f(1)f(2)f(3)f(n -1)可求得时，两边连乘可求出an,此法称为“积商法”.例3(同例1)(2000年全国数学卷第15题)另解：将(n+1)a2n+1-nan2 + an +1an=O(n

8、=1,2,3,)化简，得(n+1)an+1= nan，即an+1/a n=n/(n+1).故 an=an/an- 1?an-1/an- 2?an-2/an- 3?a2/a1=n- 1/n?n-2/n- 1?n-3/n- 2?1/2=1/n .类型三构造法递推式是pan=qan-1+f(n)(p、q是不为零的常数)，可用待定系数法构造一个新的等比数列求解.例4 (同例2)(2003年全国数学卷文科第19题)另解：由 an=3n-1+an-1 得 3?an/3n=an -1/3n-1+1 .令bn= an/3n，则有(*)，贝U bn=1/3bn-1+1/3x-x ，与(*)式比较，得 x=-1/

9、2，所以.因此数列 bn-1/2 是首项为b1-1=a1/3=-1/6 ，公比为1/3的等 1/6?(1/3)n-1，即 an/3n-1/2=-1/6(1/3)n-1 .故 an=3nbn=1/3b n-1+1/3设 bn+x=1/3(bn-1+x)bn-1/2=1/3(b n-1-1/2) 比数列，所以bn-1/2=-=3n-1/2 .1/2-1/6(1/3) n-1例 5 数列 an中，a1=1,an+1=4an+3n+1，求 an.解：令 an +1+(n+1)x+y=4(an+nx+y)，贝Uan+1=4an+3nx+3y-x,与已知 an+1=4an+3n+1 比较，得3x=3,所以

10、x=1,3y-x=1 ,y=(2 故数列 an+n+(2/3) 是首项为a1+1+(2/3)=(8/3)，公比为4的等比数列，因此an+n+(2/3)=(8/3)?4n-1,即an=(8/3)?4n -1-n-(2/3)另解：由已知可得当n2时，an=4an-1+3(n-1)+1 ，与已知关系式作差，有an +1-an=4(an-an-1)+3，即 an+1-an+1=4(an-an-1+1)，因此数列 an+1-an+1 是首项为a2-a1+1=8-1+1=8，公比为4的等比数列，然后可用“逐差法”求得其通项an=(8/3)?4n -1-n-(2/3)类型四可转化为类型三求通项(1) “对数

11、法”转化为 类型三.递推式为 an+1=qan k(q 0,k工0且kz 1,a1 0)，两边取常用对数，得Igan+1=klgan+lgq ，令 lgan=bn，则有 bn +1=kbn+lgq，转化为类型三.令bn=lgan则bn+1=2bn.因此数列故 bn=2n-1lg2=lg22n-1 ,即 an=22n-1 .例 6 已知数列 an中，a1=2,an+1=an2，求 an.解：由an +1=an20,两边取对数得 lgan+1=2lganbn 是首项为b1=lga1=lg2，公比为2的等比数列，(2) “倒数法”转化为类型三.pqM 0,pc 工 qb).1/a n+仁 q/p+c

12、/pan,令递推式为商的形式：an+1=( pan+b)/(qa n+c)(an 丰0,若b=0，得an +1= pan/(qan+c).因为anO,所以两边取倒数得bn=1/an,贝U bn+1=(c/p)bn+q/p ，转化为类型三.若bz0,设an+1+x=y(an+x)/qan+c，与已知递推式比较求得x、y,令bn=an+x，得bn +1=ybn/qan+c，转化为 b=0 的情况.例 7 在数列 an中，已知 a1=2,an+1=(3an+1)/(an+3)，求通项 an.解：设 an +1+x=y(an+x)/an+3，则 an+1=(y-x)an+(y-3)x/an+3，结合已

13、知递推式得y-x=3,所以x=1,y-3=1 ,y=4 ,则有 an +1+1=4(an+1)/an+3，令 bn=an+1,则 bn +1=4bn/bn+2，求倒数得 1/bn+1=1/2?1/bn+1/4 , 即 1/b n+1-1/2=1/2(1/b n-1/2).因此数列 1/bn-1/2 是首项为1/b1-1/2=1/a1+1-1/2=-1/6 ，公比为1/2的等比数列. 故 1/bn-1/2=(-1/6)(1/2) n-1，从而可求得 an.类型五递推式为an+1/an=qn/n+k(q丰0,k N)可先将等式(n+k)an+仁qnan两边同乘以(n+k-1)(n+k- 2)(n +1)，得(n+k)(n+k-1)(n+k-2)(n+1)an+1=q(n+k -1)(n+k- 2)(n+1)nan，令bn=(n+k-1)(n+k- 2)(n+1)?nan,贝U bn+1=(n+k)(n+k-1)(n+k-2)(n+1)an+1 .从而bn+1=qbn,因此数列 bn是公比为q,首项为b1=k(k-1)(k- 2)2?1?a仁k!a1的等 比数列，进而可求得an.例8(同例1)(20