第33课圆与三角形地综合题

1、实用文档第33课圆与三角形的综合题方法指导关于圆的综合性问题， 往往是中考试题中的中等难度题，考查内容涉及到了方程、 三角形全等与相似、特殊四边形性质及其圆的相关知识点，解决这类问题要求学生必须稳固各方 面的数学知识，熟练把握有关推理证明、计算分析、动态变化、分类讨论等多方面的类型题。这类问题在考查过程中往往涉及到方程思想、转化思想、数形结合思想，近年来有关圆的综合题综合的内容越来越广泛，解题技巧要求越来越高， 因此解决此类问题往往采用的主要方 法可以借助题意中的条件联想并运用所体现的知识点，从而探寻解题的突破口。真题回顾【例】（2016内蒙古包头）如图，在 Rt ABC中，/ ABC=90

2、, AB=CB，以AB为直径的O O交AC于点D，点E是AB边上一点（点 E不与点A、B重合），DE的延长线交O O于点G , DF丄DG，且交BC于点F.(1)求证：AE=BF ;标准文案连接 GB , EF，求证：GB / EF;若 AE=1 , EB=2，求 DG 的长.C【考点】圆的综合题.【分析】（1）连接BD，由三角形ABC为等腰直角三角形，求出 / A与/C的度数，根据AB为圆的直径，利用圆周角定理得到/ADB为直角，即BD垂直于AC,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD=DC=BD= AC，进而确定出/ A= / FBD，再利用同角的余角相等得到一对角相等，禾U用

3、ASA得到三角形AED与三角形BFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证;（2）连接EF, BG,由三角形 AED与三角形BFD全等，得到ED=FD，进而得到三角形DEF为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证;(3)由全等三角形对应边相等得到AE=BF=1，在直角三角形 BEF中，利用勾股定理求出EF的长，利用锐角三角形函数定义求出DE的长，禾U用两对角相等的三角形相似得到三角形AED与三角形GEB相似，由相似得比例，求出GE的长，由GE+ED求出GD的长即可.【解答】(1)证明：连接BD , 在 Rt ABC 中，/ ABC

4、=90 , AB=BC ,/ A= / C=45 , AB为圆O的直径, / ADB=90 ，即 BD 丄 AC , AD=DC=BD= |ac ,/ CBD= / C=45 ,/ A= / FBD ,/ DF 丄 DG ,FDG=90 ,FDB+ / BDG=90 ,EDA+ / BDG=90 ,EDA= / FDB,在 AED和 BFD中，Z胪厶BD)=BD, AED ba bfd (ASA ), AE=BF ；(2)证明：连接EF, BG , DE=DF , / EDF=90 , EDF是等腰直角三角形, / DEF=45 ,/ G=/ A=45 , / G=/ DEF, GB / EF

5、；(3) / AE=BF , AE=1 , BF=1 , 在 Rt EBF 中，/ EBF=90 ,根据勾股定理得：ef2=eb2+bf2, / EB=2 , BF=1 , DEF为等腰直角三角形，/ EDF=90 , - cos/ DEF=票, ef= , DE=腐, / G=/ A , / GEB= / AED ,GE?ED=AE?EB ,即GE=票，即a SD，莊dGE=2,i贝U GD=GE+ED=变式训练1. ( 2015咸宁)如图，在 ABC中，/ C=90 以AB上一点0为圆心，OA长为半径的 圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F.(1)若/ B=30 求证：以A、

6、0、D、E为顶点的四边形是菱形.(2)若AC=6 , AB=10，连结 AD，求O O的半径和 AD的长.B适应训练2. ( 2015潍坊)如图，在 ABC中，AB=AC，以AC为直径的O O交BC于点D，交AB于点E,过点D作DF丄AB，垂足为F,连接DE .(1)求证：直线DF与O O相切;(2)若 AE=7, BC=6,求AC的长.C3. (2016云南省昆明市)如图， AB是O O的直径，/ BAC=90，四边形EBOC是平行四边形，EB交O O于点D ,连接CD并延长交AB的延长线于点F.(1)求证：CF是O O的切线;(2)若/ F=30 , EB=4，求图中阴影部分的面积(结果保

7、留根号和 n)课外作业4. ( 2015武威)已知 ABC内接于O0,过点A作直线EF.(1)如图 所示，若AB为O 0的直径，要使 EF成为O 0的切线，还需要添加的一个条件是(至少说出两种)或者(2)如图 所示，如果AB是不过圆心 0的弦，且/ CAE= / B,那么EF是O 0的切线吗?试证明你的判断.A图5. (2015枣庄)如图，在ABC中，/ ABC=90 以AB的中点0为圆心、0A为半径的圆交AC于点D , E是BC的中点,连接DE , 0E .(1)判断DE与O 0的位置关系，并说明理由;(2)求证：BC2=CD?20E ;(3)若 cos/ BAD=0.6 , BE=6，求

8、0E 的长.变式训练1解答：(1)证明：如图1连接0D OE ED. BC与OO相切于一点D, 0D1 BC, / ODB=90 =/ C,/ B=30, / A=60, / OA=OE AOE是等边三角形, AE=AO=0D四边形AODE是平行四边形,/ OA=OD四边形AODE是菱形.(2)解：设O O的半径为r.OD OB-，即 8r=6 (8 - r).AC AB15解得r= 15 ,415OO的半径为一.4如图2,连接OD DF.OD/ AC, / DAC=/ ADO / OA=OD / ADON DAO / DAC=/ DAO / AF是O O的直径, / ADF=90 =/ C,

9、. AD AFACAD AD2=AC?AF/ AC=6, AF=15 2 = 1542 AD2=15 X 6=45,2二 ad=/45=3 亦.适应训练2.解答：（1）证明：如图,连接0D/ AB=AC / B=/ C, / OD=O,C / ODCW C,/ ODCW B,DF丄 AB ODL DE点D在OO上, 直线DF与OO相切;(2)解：四边形 ACDE是OO的内接四边形, / AEDf ACD=180 , / AED+/ BED=180 ,/ BED/ ACD / B=/ B,BD BEAB BC/ OD/ AB AO=C0 BD=CD=BC=3又 AE=7BE7 BE 6 BE=2

10、 AC=AB=AE+BE=7+2=93.【解答】(1)证明：如图连接 OD .四边形OBEC是平行四边形,OC / BE , / AOC= / OBE, / COD= / ODB ,/ OB=OD ,/ OBD= / ODB , / DOC= / AOC ,在 COD和 COA中,nr-fAPZOOD=ZCQA， aD=OA COD COA ,/ CAO= / CDO=90 , CF 丄 OD , CF是O O的切线.(2)解：/ F=30 , / ODF=90 , / DOF= / AOC= / COD=60 ,/ OD=OB ,:. OBD是等边三角形, / DBO=60 , / DBO=

11、 / F+ / FDB ,/ FDB= / EDC=30 , / EC / OB , / E=180 - / OBD=120 , / ECD=180 - / E - / EDC=30 , EC=ED=BO=DB ,/ EB=4 ,OB=OeOA=2在 RTA AOC 中，/ OAC=90 , OA=2 , / AOC=60 , AC=OA?tan60 =2 逅,彎斗号课外作业4.解答：（1）/ BAE=90，/ EACd ABC理由是：/ BAE=90 , AE1 AB/ AB是直径, EF是O0的切线; AB是直径,/ ABCy BAC=90 ,/ EAC= ABC / BAE=/ BAC

12、EAC= BAC ABC=90 , 即 AEl AB/ AB是直径, EF是OO的切线;EF是OO的切线.-W证明：作直径AM连接CM则/ ACM=90 , / M=/ B, / M+/ CAM/ B+/ CAM=90 ,/ CAE/ B, / CAM/ CAE=9 0 , AEl AM/ AM为直径, EF是OO的切线.5.解答：(1)证明：连接OD BD, AB为圆0的直径,在Rt BDC中, E为斜边BC的中点, CE=DE=BE=BC / C=/ CDE / OA=OD / A=/ ADO/ ABC=90，即/ C+/ A=90 ,/ ADO+ CDE=90，即/ ODE=90 , DE丄OD又OD为圆的半径, DE为O O