空间向量与立体几何知识点和习题含答案

1、空间向量与立体几何【知识要点】1.空间向量及其运算:(1) 空间向量的线性运算: 空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边 形法则拓广到空间依然成立. 空间向量的线性运算的运算律:加法交换律:a+ b = b + a;加法结合律:(a + b+ c)= a+(b+ c)；分配律：(+)a= a + a ；(a+ b) =a + b.(2) 空间向量的基本定理: 共线(平行)向量定理：对空间两个向量 a, b(b丸),a/b的充要条件是存在实数使得a / b. 共面向量定理：如果两个向量a, b不共线，则向量c与向量a, b共面的充要条件是存在惟一一对实数，使得

2、 c = a + b. 空间向量分解定理：如果三个向量a, b, c不共面，那么对空间任一向量 P,存在惟一的有序实数组2,3，使得 p = ia +2b +3c.(3) 空间向量的数量积运算:空间向量的数量积的定义：a b = |a | |b | cos a, b；空间向量的数量积的性质:a e= |a | cos； aIbu a b= 0；|a|2= a a； |a bla | |b |.空间向量的数量积的运算律:(a)b =(ab);交换律：a b = b a ；分配律：(a+ b) c= a c + b c.(4) 空间向量运算的坐标表示:空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系 Oxy

3、z，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向i, j, k,由空引单位向量i, j, k,则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底间向量分解定理，对于空间任一向量a，存在惟一数组(ai, a2, a3)，使a = aii + a2j + a3k,那么有序数组(ai, a2, a3)就叫做空间向量a的坐标，即a= (ai, a2, a3). 空间向量线性运算及数量积的坐标表示:设 a = (ai, a2,a3), b =(bi,b2,b3)，则a+ b= (ai + bi, a2+ b2, a3+ b3); a b = (ai bi, a2 b2, a3 b3);ai,a2,a3); a b =

4、aibi + a2b2 + a3b3. 空间向量平行和垂直的条件:a/b(bO)ua = buai=bi,a2 =b2,a3=b3(駅);albu a b = 0= aibi + a2b2 + a3b3= 0. 向量的夹角与向量长度的坐标计算公式:设 a = (ai, a2, a3), b = (bi, b2, b3)，则I a 戶 Ja a = Jaia2 ,| b|= 7 b b = Jbi2 +b2 中 b?;cos= a b =；1 a |b | ja2 +a； + a： Jb2 +b； +b；在空间直角坐标系中，点A(ai, a2, a3), B(bi, b2, b3)，贝U A,

5、B两点间的距离是I ABF(ai -bi)2 +(a2 -b2)2 +(a3 -b3)2.2 .空间向量在立体几何中的应用:(1)直线的方向向量与平面的法向量:如图，I为经过已知点A且平行于已知非零0P = OA+ta向量a的直线，对空间任意一点0,点P在直线I上的充要条件是存在实数t,使得，其中向量a叫做直线的方向向量.由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定.如果直线I丄平面，取直线I的方向向量a,则向量a叫做平面的法向量.由此可知，给定一点 A及一个向量a，那么经过点 A以向量a为法向量的平面惟一确定.(2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系:设直线I, m的方向向

6、量分别是 a, b，平面的法向量分别是U, v，则I你二 a /bu a = kb, k駅；limu a lb 台 a b = 0 ；I/u aluu a u = 0；u a/u a = ku, k駅;/= u /Vu u = kv, k 駅； 丄 二 ul/U u V = 0 .用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题:异面直线所成的角：设a, b是两条异面直线，过空间任意一点 0作直线aa/, bb,则a与）所夹的锐角或直角叫做异面直线 a与b所成的角.设异面直线a与b的方向向量分别是 V1, V2, a与b的夹角为，显然0壬（0,-,则2|C0 V1，V2+躺直线和平面所成的角：直线和平

7、面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的 角.设直线a的方向向量是U，平面 的法向量是V,直线a与平面的夹角为5，n，则 |co-u,v 能记作 二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.-1-在二面角的棱上任取一点 0,在两个半平面内分别作射线 0A1, 0B，则/A0B叫做二面角I的平面角.利用向量求二面角的平面角有两种方法:方法一:如图，若AB，CD分别是二面角-1的两个面内与棱I垂直的异面直线，则二面角 一I的大小就是向量 AB与CD的夹角的大小.方法二:如图，mi, m2分别是二面角的两个半平面的法向量，则mi, m2与该二面角的大小相等或互补.(4)根

8、据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立 体几何问题.【复习要求】1 .了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分 解及其坐标表示.2 .掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3 .掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.4 .理解直线的方向向量与平面的法向量.5 .能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系.6 .能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题.【例题分析】例1 如图，在长方体 OAEB OiAiEiBi中，OA= 3, OB = 4 , OOi = 2，点P在棱AAi上，且A

9、P = 2PAi,点S在棱BBi上，且BiS = 2SB，点Q, R分别是OiBi, AE的中点，求证：PQ /RS.e.【分析】建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k,使得PQ = kRS解：如图建立空间直角坐标系，则0(0, 0, 0), A(3 , 0 , 0), B(0 , 4, 0), Oi(0 , 0, 2), Ai(3 , 0, 2), Bi(o, 4 , 2), E(3 , 4 , 0).AP = 2PAi,AP =-AA1 =-(0,0,2) =(0,0,上),333同理可得：Q(0 , 2 , 2), R(3 , 2 , 0) , S(0,4,-)3-PQ =(,2,-)

10、=RS,3/. PQ/RS，又 R艺 PQ,卩Q RS.【评述】1、证明线线平行的步骤:(1)证明两向量共线;(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可.2、本体还可采用综合法证明，连接 PR, QS，证明PQRS是平行四边形即可，请完成这个证明.例 2 已知正方体 ABCD AiBiCiDi 中，M , N , E , F 分别是棱 AiDi, AiBi , DiCi ,BiCi的中点，求证：平面 AMN /平面EFBD .【分析】要证明面面平行， 可以通过线线平行来证明， 也可以证明这两个平面的法向量 平行.解法一：设正方体的棱长为4 ,如图建立空间直角坐标系，贝y

11、D(0 , 0 , 0) , A(4 , 0 , 0), M(2 , 0, 4), N(4 , 2, 4), B(4 , 4 , 0), E(0, 2 ,4), F(2 , 4, 4).取 MN 的中点 K, EF 的中点 G, BD 的中点 O,则 0(2, 2, 0), K(3, 1, 4), G(1 , 3 ,MN = (2 , 2, 0),MN /EF , AKEF = (2 , 2 , 0) , AK = ( 1, 1, 4) , OG = (- 1 , 1, 4),=0G , MN/EF, AK/OG ,1).MN / 平面EFBD ,AK / 平面EFBD ,a3),平面EFBD

12、的法向量是1).平面AMN /平面EFBD .解法二：设平面 AMN的法向量是 a= (a1 , a2 ,b= (bi, b2 , b3).由 a AM =0, a、AN =0,得 r2a1 +4a取 a3= 1,得 a= (2 , 2 , l2a2 + 4&3 = 0,由 b QE =0,b-BF =0,得件十ZQ取b3= 1,得b= (2 , 2 ,l-2b +4b 0,a /, 平面 AMN /平面EFBD .注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试.例3 在正方体 ABCD AiBiCiDi中，M,N是棱AiBi, BiB的中点，求异面直线 AM5和CN所成角的

13、余弦值.解法,0), A(2 , 0 ,0), M(2 , 1, 2), C(0 , 2, 0), N(2 , 2 , 1).AM =(0,1,2),CN =(2,0,1),设AM和CN所成的角为，则cos空竺2 | AM |CN |5异面直线AM和CN所成角的余弦值是 -5解法二：取AB的中点P, CC1的中点Q,连接B1P, B1Q, PQ, PC.易证明：B1P /MA, B1Q NC ,FB1Q是异面直线 AM和CN所成的角.设正方体的棱长为 2，易知BF =B,Q = J5,PQ =JPC2 + QC2 = J6,2B1P BQCOSP B1QP2+B1Q2 PQ2-22异面直线AM

14、和CN所成角的余弦值是 一c【评述】空间两条直线所成的角是不超过90。的角，因此按向量的夹角公式计算时，分 子的数量积如果是负数， 则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成的角例4如图，正三棱柱 ABC AiBiCi的底面边长为a,侧棱长为J2a，求直线ACi与平面ABBiAi所成角的大小.ABBiAi的法向量【分析】利用正三棱柱的性质， 适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标.求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面求解.解法一：如图建立空间直角坐标系，则A(0 , 0, 0), B(0 , a , 0) , A(0,0,U2a),J3a a 厂

15、a LCi(，一H2a)取 AiBi 的中点 D,则 D(0,T2a)，连接 AD, CiD.2 2 2则 DC* 号，0,0)亦=(0。0)云=(0,0血),DC1 识B TDG JAA =0,DC平面 ABBiAi,iAD是直线ACi与平面ABBiAi所或的角.ACr,22a),A(0,2a),.cosCiAB. AC?AD 二並2|ACi |AD|直线ACi与平面ABBiAi所成角的大小是 30 .解法二：如图建立空间直角坐标系，则A(0 , 0 , 0), B(0, a, 0), Ai(0 , 0, J2a),Ci(迥fRa)，从而 AB=(0,a,0),AA11 =(0,0,V2a)

16、,AC1 =(-a,a,72a) ”2 2 2 2设平面ABBiAi的法向量是a = (p, q, r),由 a *AB =0,a 识A, =0,aq =0,得 L取 p = 1，得 a = (1 , 0, 0).V2ar =0,n设直线ACi与平面ABBiAi所成的角为日，日可0,2=丄,0 =30 2sin 日=| (cos ACi, a|=JACl ACi| a |【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系,再利用向量的知识求解线面角;法二给出了一般的方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角,再利用两角互余转换.例5 如图，三棱锥 P ABC中，PA丄底面ABC ,AC -LBC, PA=

17、 AC = 1 , BC=72 ,求二面角A PB C的平面角的余弦值.解法一：取PB的中点D,连接CD,作AEIPB于E.PA = AC = 1, PA lAC,PC = BC =72 , /-CD _LPB.EAIPB,二向量EA和DC夹角的大小就是二面角 A PB C的大小.如图建立空间直角坐标系，贝 yC(0 , 0 , 0) , A(1 , 0 , 0) , B(0 , J2, 0) , P(1 , 0 , 1),1 J2 1由D是PB的中点，得 D(,飞-,)”2亠 PE AP21由EB2 2 213 -J2 3-乔7 =,得E是PD的中点，从而 E(, = , ) ”AB234

18、4 4一 1 运 3 1721二 ea=(4,，4)。=(?,2,匚)一 一EA PC73/. cos C EA, DC = 一r|EA|DC|即二面角A PB C的平面角的余弦值是解法二：如图建立空间直角坐标系，则A(0, 0, 0), B(72,1,0) , C(0 , 1 , 0), P(0,0, 1),AP =(0,0,1), AB =(J2,1,0),CB=(V2,o,o),CP =(o,-1,1).设平面PAB的法向量是a = (a1 ,a2, a3),平面PBC的法向量是b= (b1, b2, b3).由 a FAP = 0, a AB = 0,得 = 一I a II b I 3

19、 二面角A PB C为锐二面角,二面角A PB C的平面角的余弦值是I - F3【评述】1、求二面角的大小，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量，转化为这两个向量的夹角；应注意两个向量的始点应在二面角的棱上.2、当用法向量的方法求二面角时，有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角，但我们可以借助观察图形而得到结论，这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的.例 6 如图，三棱锥 P ABC 中，PA丄底面ABC, PA = AB, ZABC = 60，/BCA = 90点D , E分别在棱 PB, PC上，且 DE BC .()求证：BC丄平面PAC ;当D为PB的

20、中点时，求 AD与平面PAC所成角的余弦值;(川)试问在棱PC上是否存在点E,使得二面角 A DE P为直二面角？若存在，求出PE EC的值；若不存在，说明理由.解：如图建立空间直角坐标系.设PA = a,由已知可得A（0 , 0, 0）,心壽 a，0），C（023a，0），P（0,0耳 1（AP =（0,0，a），BC=（2a，0,0）,AP 记C=0, .-BClAP .又/BCA = 90 , BC lAC.BC丄平面PAC （ny.D为PB的中点，DE /BC,.E为PC的中点.a,当a丄a）,E（0,当a,la）-44242由（知，BC丄平面PAC，/DE丄平面PAC ,DAE是直线AD与平面PAC所成的角.AD =（4a，a,2a）,AE =（0，专 aga）,cosNDAE皿| AD|AE|即直线AD与平面PAC所成角的余弦值是电44（叫由（知，DE 丄平面 PAC，/DE