第三章课后习题解答

1、341质量为2kg的质点的运动学方程为r = (6t2 -i)P + (3t2 +3t +i)?(单位：米，秒)，求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。解：/ a =d2F/dt2 =i2?+6?, F = ma =24i?+i2?为一与时间无关的恒矢量,质点受恒力而运动。22 i/2iF=(24 +i2 ) =12 J5n，力与x轴之间夹角为:Ct = arctgFy / Fx= arctg0.5 =26 专43.4.2 质量为m的质点在o-xy平面内运动，质点的运动学方程为：f = acosti? + bsinet?, a,b,为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。证明： a=d2F

2、/dt2=七 2(acos tP+bsin t?) =2r 2F = ma =-mr，二作用于质点的合力总指向原点。3.4.4桌面上叠放着两块木板，质量各为2, mi和m2间的摩擦系数为 解：以地为参考系，隔离mi ,m2,如图所示，m2和桌面间的摩擦系数为 卩i，问沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出来。mi、m2,其受力与运动情况如图所示，f2fiN2F32Niai*fiNim2g其中，Ni=Ni,fi=fi = 1 iNi,f2= 1 2N2,选图示坐标系 有iNi =miaiF -tNi -4 2N2 =口2&2migo-xy，对mi,m2分别应用牛顿二定律,Ni -Ng-0解方程

3、组，得N2 Ni m2g = 0ai = iga2 =(F -4 igg2mig - 4 2m2g m2要把木板从下面抽出来，必须满足aa1，即F -Aimig -Amg -bmzg Am2 4ig 二 F ( + 2 伽 +口2 b3.4.6在图示的装置中两物体的质量各为mi ,m2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为卩,求在力F的作用下两物体的加速度及绳 内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。mi厂、m2F解：以地为参考系，隔离 mi,m2，受力及运动情况如图示，其中：fi= i Ni= i mig, f2= i N2= i T，在水平方向对两个质点应(Ni+m2g)= (m

4、i+m2)g.用牛二定律：Ni* 1migafi T f2 fi” N21-Ni m2gFT - 4m,g =m1aF _ A mijg -卩(m, + m2)g -T = m2a+可求得:F -m-iga =m, +m2将a代入中,可求得：仃-2叫)mm23.4.7在图示的装置中，物体 A,B,C的质量各为mi,m2,m3, 且两两不相等.若物体A,B与桌面间的摩擦系数为i，求三个物体的加速度及绳内的张力，不计绳和滑轮质量，不计轴承摩擦， 绳不可伸长。解：以地为参考系，隔离A,B,C，受力及运动情况如图示，其中：fi= i Ni= i mig, f2= i N2= i m2g, T=2T ,

5、Tfia3mig ai *NiN2f2Tm2g * a2由于A的位移加B的位移除2等于C的位移，所以(ai + a2) /2=a3.对A,B,C分别在其加速度方向上应用牛顿第二定律：m3gT -Pmrig umia m2 m2a2 m32T -m3(aa2)/2 ，,联立，可求得:ai_(mm2)m4mim22mim3(i7)a2 = I F g(0 +m 2 )m3 +4 mmJa3rgi+mu+A)_(mm2)m4mim234i2 沿铅直向上发射玩具火箭的推力随时间变化如图所示, 火箭质量为2kg , t=0时处于静止， 高度(注意，推力大于重力时才启动)解：根据推力F-t图像，可知即 4

6、.9t=2 X 9.8, t=4so因此，火箭发射可分为三个阶段：求火箭发射后的最大速率和最大oF=4.9t (tw 20),令 F=mg ,t=0 4s为第一阶段，由于推力小于重力，火箭静止,(Xv=0,y=0 ; t=4 20s为第二阶段，火箭作变加速直线运动，设t=20s时，y = y1,t 20s为第三阶段，火箭只受重力作用，作竖直上抛运动，设达最大高度时的坐标y=y2.第二阶段的动力学方程为：F- mg = m dv/dtdv = F /mdt gdt =4.9/2tdt 9.8dt:Vtt0dv =4.9/2 4tdt -9.8 4dt (t 20 )V =4.9/4t2 -9.&

7、 +4x4.9 (t 20)Vmax =v(20) =314m/s-dy =vdt =(4.9/412 -9.8t +4x4.9)dt/.dy =4.9/44t2dt 9.8tdt +4x4.9fdtYi = 1672m第三阶段运动学方程V = Vmax ；Y丫2YiV =314-9.8(t-20)(1), y-yi =314(t -20)-4.9(t -20)2 (2)令v=0,由（1 ）求得达最大高度y2时所用时间（t-20） =32，代入（2）中，得y2=ymax=5030+1672=6702（m）3.4.13抛物线形弯管的表面光滑，沿铅直轴以匀角速率转动，抛物线方程为y2-yi=503

8、0y=ax2, a为正常数，小环套于弯管上。弯管角速度多大, 若为圆形光滑弯管，情况如何？小环可在管上任一位置相对弯管静止？解：以固定底座为参考系，设弯管的角速度为 及运动情况如图示：a为小环处切线与x垂直，加速度大小 a=3 2x,方向垂直指向 在图示坐标下应用牛顿二定律的分量式：轴夹角,y轴。3,小环受力压力N与切线N cos(90 a) = N sin aN sin(90-a) = N cosa2=x=mg /得：tg a = 3 2x/g;由数学知识:tg a =dy/dx=2 ax;所以，2ax = 2x/g,=J2ag若弯管为半径为R的圆形，圆方程为：x2+ (R-y)2R2 ,即

9、(R-y)2 =R2tga =dy/dx-x2,R-y =(R2 一恋2-x2严= r_(r2_x2)1/221/2-x ) ,y(2x) =x/VR2 -X2代入中,得:x/ Jr2 -x22 -X3.5.1保持静止,摆锤相对小车小车以匀加速度 a沿倾角为a的斜面向下运动，求悬线与竖直方向的夹角（分别自惯性系和非惯性系求解）。,T XF f =maaW=mg yx解：（1）以地为参考系（惯性系），小球受重力W和线拉力T的作用 加速度a沿斜面向下，建立图示坐标 o-xy.应用牛顿第二定律：JTsi =maCOsimg T COS0 = masi not解得 tg0 =acosa/(g-as i

10、n a)（2）以小车为参考系（非惯性系），小球除受重力 W、拉力T 外,还受惯性力f*的作 用（见上图虚线表示的矢量），小球在三个力作用下静止，据牛顿第二定律：fT si n9 macosa =0acosot1解得tg8 =mi,m2且m,M m?，若不计绳及a （方向向下）运动时，两img T COS0 -masina =0g -asinot3.5.2 升降机内有一装置如图示，悬挂的两物体的质量各为 滑轮质量，不计轴承处摩擦，绳不可伸长，求当升降机以加速度 物体的加速度各是多少？绳内的张力是多少？Tfi*aimigm2gaa2解：以升降机为参考系，隔离mi,m2,受力及运动情况如图示,T为绳

11、中张力， fi =mia,f2 =m2a, ai=a2=a为mi、m?相对升降机的加速度.以向下为正方向，由牛顿二定律，有：陀-陀一阴解得：im2g -T -m2a =m2aa(m-m2)(m-m)gmJ m2T =2mim2（ga）/（mi+m2）设m,、m2的加速度分别为a,、a2，根据相对运动的加速度公式,a, =ai+a aa2a 写成标量式：印=a+a,a2 = a+a ,a代入，求得：ai2m2(m2 -m1)ga?m, +m2_ Zga +血mjgm, + m2)3.0m,轮胎与壁f*=m 3 2r3.5.4摩托车选手在竖直放置圆筒壁内在水平面内旋转。筒内壁半径为 面静摩擦系数为

12、0.6,求摩托车最小线速度（取非惯性系做）解：设摩托车在水平面内旋转的最小角速度为3,以摩托车本身为参考系，车受力情况如图示，运动状态静止。在竖直方向应用平衡条件，卩oN = mg 在水平方向应用平衡条件,/得：卩0最小线速度 V = r = Jrg / % = J3.0x 9.8/0.6 = 7m/s362 质量为m的质点在o-xy平面上运动，其位置矢量为:r =acost?+bsint?,求质点的动量。解：质点速度：V = dr/dt = / asin t? +bcosBt?质点动量:p = mv = m asiz tP+m bcosi t?大小:方向:= /p X2 + Py2=mJa2

13、si n2t+b2cos%tx 轴夹角为 0 , tg 0 = Py/px = - ctg 31 b/a棒球质量为0.14kg，棒球沿水平方向以速率 50m/s投来, 球沿水平成300飞出，速率为3.6.4经棒击球后， 为0.02s,求棒击球的平均力。解：以地为参考系，把球视为质点,80m/s，球与棒接触时间由动量定理，FAt =mv-mvo，画出矢V0量图，由余弦定理，Ft =(m2v2 +m2v022 1/2+ 2m v0vcos30)，代入数据，可求得 F=881N.由正弦定理mv/si na =FM/si n30，代入数据,FA tmv30mv0求得 Sin a 俺 0.3179, a

14、 =18 323.6.6 质量 m1=1kg, m 2=2kg, m 3=3kg, m4=4kg , (x,y) = (-1,1), (-2,0), (3,-2)，四个质点的质心坐标是：444解：由质心定义式：送 mi Xi = S mjXc,送 mi yi =送 mi yc，有mi, m2和m4三个质点的位置坐标顺次是:(x,y)=(1,-1)，求 m3的位置坐标。4ii #i #i #m1xm2x m3xm4x (m + m m m4)xC1(1) + 2 咒(一2) +3X3 + 4咒 3 = (1 + 2+ 3 + 4)1, x 1gyi +m2y2 +m+m 4y(mi +m2 +m

15、3 + mjyc1x1 +2xO +3y3 +4x(_2) = (1 +2 + 3 + 4)x (1),目3 = 13.7.1质量为1500kg的汽车在静止的驳船上在5s内自静止加速至5m/s，问缆绳作用与驳船的平均力有多大？(分别用质点系动量定理、质心运动定理、牛顿定律求解)m2解：(1)用质点系动量定理解： 以岸为参考系，把车、船当作质点 系，该系在水平方向只受缆绳的拉 力F的作用，应用质点系动量定理，有 F t=miv. F=miv/A t=1500 X 5/5=1500N(2) 用质心运动定理解：F=(mi+m2)ac,据质心定义式，有：(mi+m 2)ac=m ia什m2a2 , a

16、i 为车对岸的加速度，ai =(v-0)/ A t=v/ A t,a2为船对地的加速度，据题意a2=0 , ac=aimi/(mi+m2)，代入ai,ac=miv/(m 什m2)A t , F=m iv/A t=1500Naif (3) 用牛顿定律解：a2=0分别分析车、船两个质点的F 丨m2f为对两个质点分别应用牛顿二定律:受力与运动情况：其中 静摩擦力，ai=v/ A t,f =m1a1 =m1v/At= 1500N F - f = 0 F = f =1500N3.7.2汽车质量mi=1500kg，驳船质量m2=6000kg，当汽车相对船静止时，由于船尾螺旋桨的转动，可使船载着汽车以加速度

17、0.2ms-2前进.若正在前进时，汽车自静止开始相对船以加速度0.5ms-2与船前进相反方向行驶，船的加速度如何？a rxJi解：用质心定理求解车相对船无论静止还是运动，螺旋a2桨的水平推力不变，即车、船系统所受外力不变，由质心运动定 理可知，车运动时的质心加速度与车静止时的质心加速度相等2ac=0.2m/s设车运动时相对船的加速度为a，相对地的加速度为ai,船相对地的加速度为a2，由相对运动公式：a =a+a2，mi由质心定义式可知： miam2a(mi +m2)ac 将代入中，可得：a2=ac-mmm?a，取船前进方向为正，代入数据：a2 =0.2-0.5) =0.3m/s2用质点系动量定

18、理求解设船所受的水平推力为 F,在车静止时，可把车、船当作质量为(mi+m2)的质点，加速度为 a=O.2，由牛顿第二定律：F =(叶+m2)a 设车运动时相对船的加速度为a，相对地的加速度为ai，船相对地的加速度为a2，由相对运动公式：ai =a+a2,对车、船应用质点系动量定理的导数形式:F =m1 dv + m2 dv =m1am2a m, (aa2VH m2a2 令=，(mi +m2)a = mi(a+a2)+m28282 = a-而策a，取船前进方向为正，代入数据：a2 =0.2=0.3m/s23.7.5 70kg重的人和210kg重的小船最初处于静止，后来人从船尾向船头匀速走了 3

19、.2m停下来，问人向哪个方向运动，移动了几米？不计船所受的阻力。mi解：以地为参考系，选图示坐标O-X,设人的质量为 mi=70kg，人相对地的速度为vi,相对船的速度为 vi,它们的方向显然与X轴同向；m2设船的质量为m2=210kg，船相对地的速度为V2,(方向显然与x轴相反);, 据相对运动的速度变换公式，人对地的速度vi=vi+V2.miVi +m2由于不计水的阻力，所以在水平方向上，人与船构成的质点系动量守恒，有：V2=0 ,即 mi(vi+ V2)+m2 V2=0 ，可求得V2= - V i mi/(m什m2),将上式两边同时乘上相互作用时间A t, V2A t=S2为船相对地的位

20、移，ViA t=si=3.2m，即S2 = - Si mi/(m什m2) = - 3.2 X 70/(70+2i0) = - 0.8m3.7.6炮车固定在车厢内，最初均处于静止，向右发射一枚弹丸，车厢向左方运动， 弹丸射在对面墙上后随即顺墙壁落下，问此过程中车厢移动的距离是多少？已知炮车和车厢总质量为M，弹丸质量为 m,炮口到对面墙壁的距离为L,不计铁轨作用于车厢的阻力。解：以地为参考系，建立图示坐标0-X，设弹丸出口时相对车的速度为v对地的速度为v=v Vv,车后退的速度为 V，据相对运动的速度变换公式，可知： M1m/Q1 O VOOLxV由于不计路轨对车的摩擦阻力，所以，在水平方向，弹、

21、车组成的质点系动量守恒，有MV+m v=0，将 v 代入，MV+m(v +V)=0，V= - v m/(m+M)设弹发出到与车壁相碰所用时间为 t，用t乘上式两边，得：VA t= - vA t m/(m+M)，其中：vA t= -L , VA t即为车在此过程中前进的距离S,/ S=Lm/(m+M)3.8.1 一枚手榴弹投出方向与水平面成450，投出的速率为点同一水平面的目标时爆炸，设分成质量相等的三块，一块以速度 炸处切线方向以 V2=l5m/s飞出，一块沿法线方向以vi飞出，求25m/s，在刚要接触与发射 v铅直朝下，一块顺爆 vi和V3，不计空气阻力。解：以地为参考系，把手榴弹视为质点系，由于在爆炸过程中，弹片所受的重力远远 小于弹片之间的冲力，因而在爆炸过程中可忽略重力作用，认为质点系动量守恒。设手榴弹质量为 m,爆炸前速度为V,由动量守恒，有：mv = mv1