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文档简介
1、名师推荐精心整理学习必备 空间向量与立体几何知识点归纳总结一.知识要点。1. 空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。注:(1)向量一般用有向线段表示*同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。(2)向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)u一. 逹L-T T1-|TTT 4 彳OB = OA + AB = a + b ; BA = OA- OB = a - b ; 运算律:加法交换律:a + b二b + a 加法结合律:(a + b).+ C = a + (b + C) 数乘分配律:a + b) = ha i
2、b 运算法则:三角形法则、平行四边形法则、3.共线向量。(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直a八a(k壬R)平行六面体法则线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量或平行向量,a平行于b,记作a/bb ( b工0 ), a/b存在实数入使a =。(2)共线向量定理:空间任意两个向量i(3)三点共线:A、B、C三点共线v=AB=aACOC = xOA+ yOB(其中(4)与a共线的单位向量为4. 共面向量(1)定义:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明:空间任意的两向量都是共面的。(2)共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,p与向量a,b共面的条件是存在实数 X, y 使 p
3、 = xa + yb。(3)四点共面:若a、B、C、P四点共面v=AP二xAB+yAC OP = xOA + yOB ; zOC(其中x+y+z=1)T5. 空间向量基本定理:如果三个向量j,b,c不共面,那么对空间任一向量 P,存在- 个唯一的有序实数组x, y,z,使P = xa;yb + ZC。扌若三向量a,b,C不共面,我们把a,b,C 叫做空间的一个基底,a,b,c叫做基向量, 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。_名师推荐精心整理学习必备推论:设o_a,b,c是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数 x, y, z,使 OP = xOA+ yOB+
4、zOC。6. 空间向量的直角坐标系:(1)空间直角坐标系中的坐标:在空间直角坐标系O-xyz中,对空间任一点A,存在唯一的有序实数组(X, y,z),使OA =xi +yi +Zk ,有序实数组(x,y,z)叫作向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标,记 作A(x, y,z), x叫横坐标,注:点A (x,y,z)关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z). 即点关于什么轴/平面对称,什么坐标不变,其余的分坐标均相反。在 y轴上的点设为 (0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1,这个基底叫单位正交
5、基底, 用i,j,k表示。空间中任一向量a= xi+ yj + zk=( x,y,z)(3)空间向量的直角坐标运算律:4扌若 q=(ai,a2,a3),则十 b =佝十 Qq 十 bzH? + d), a(ai - fci,a b2,a3 - R),几a= pd/az/as) 己 R),a b = aQ + a2b2 + asd,ai = kbi,a2 = kb2,a3 =入bsC 壬 R),a 丄 b - aQ + 82 + a3b = 0。. 若 A(xi,yi,zi),B(X2,y2,Z2),则 AB = (x %, y? - zj。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段
6、的终点的坐标减去起 点的坐标。 定比分点公式:若A(x,y,z), B(X2,y2,Z2), XP = zPB,则点P坐标为 xi + kx2 w + Z2 乙+ hz2(严,严,严)。推导:设 P(x,y,z)则(X- xi,y- yi ,z- zj (冷-W - yz - z), 显然,当P为AB中点时,P(冒,耳互)2 2 232 ABC的五心: 也 ABC 中,A (xi,yi,zi) ,B(X2,y2,z2),C(X3,y3,z3),三角形重心 P 坐标为 P( Xi + X2 + X3 yi + y2 中 y3 zi 十 Z2 十 Z3)2名师推荐精心整理学习必备内心P:内切圆的圆
7、心,角平分线的交点。外心P:外接圆的圆心,中垂线的交点。ABACAP 二=A (-+ABAC1 11 1PA=PB=PC)(单位向量)垂心重心P:高的交点:PA FB = PA FC = PB fC (移项,内积为0,贝y垂直) 一 1 - P:中线的交点,三等分点(中位线比)AP = 3(AB + AC)3中心:正三角形的所有心的合一。T(4) 模长公式:若 a =18283) , b = (b1,b2,b3),则| a 卜 x/Oi =肩2 + a22 + a32 , |b|=命2+b22 + 鸟2J 、+冷八卡c/O b a ba2b2 +妙3(5) 夹角公式:cos(a b尸:I* 2
8、22 J 22 亍。| a | Ja1+ 02+ 2374+ b2+ d ABC中ABACOv=A为锐角AB 屁c0v=A为钝角,钝角(6) 两点间的距离公式:若 A(X1,y1,Z1), B(X2,y2,Z2), 则 | AB| = /a = J(X2 X1)2 +(y2 -yj2 +(Z2 -Z1)2 ,=J(X2 -Xi)2 +(y2 -yi)2 +(Z2 -Zi)2或 dA,B7. 空间向量的数量积。j( 1)空间向量的夹角及其表示:已知两非零向量a,b,在空间任取一点O,作OA = a彳OB= b,则NAO B叫做向量a与b的夹角,记作 a,b ;且规定 0兰兀,显然有*a,bx;若
9、=,则称a与b互相垂直,记作:a丄b。(2)向量的模:设oA=a,则有向线段oA的长度叫做向量a的长度或模,记作:|2|。(3)向量的数量积:已知向量 a,b,则|a|qb| 8SW a,b 叫做a,b的数量积,记 作a b,即 a b = |?| 卩| cos。(4) 空间向量数量积的性质:,. a e =|a |cos 3,6。 a 丄 b- ab=0。 |a|=aa。(5)空间向量数量积运算律:彳 彳片(几扌的=“a9 = ab)。a b二b a (交换律)。 a (b + c) = a七+ a 9 (分配律)。- - - P- - - 不满足乘法结合率:(a De工a(b c)二.空间
10、向量与立体几何1. 线线平行=两线的方向向量平行1-1线面平行二线的方向向量与面的法向量垂直1-2面面平行二 两面的法向量平行2线线垂直(共面与异面)二两线的方向向量垂直精心整理学习必备名师推荐2-1线面垂直二线与面的法向量平行2-2面面垂直二两面的法向量垂直3线线夹角0 (共面与异面)0O,90O=两线的方向向量的夹角或夹角的补角,cose = cos3-1线面夹角日0,90:求线面夹角的步骤:先求线的方向向量AP与面的法向量n的夹角,若为锐角角即可,若为钝角,贝y取其补角;再求其余角,即是线面的夹角.sin = cos3-2面面夹角(二面角)日0,180:若两面的法向量一进一出,则二面角等
11、于两法向量ni,n2的夹角;法向量同进同出,则二面角等于法向量的夹角的补角.cos = cos4.点面距离h :求点P(X0,y0 )到平面a的距离:在平面a上去一点Q(x,y ),得向量PQ ;;4-1线面距离(线面平行):转化为点面距离4-2面面距离(面面平行):转化为点面距离PQ nn计算平面a的法向量n;. h【典型例题】1.基本运算与基本知识()例已知平行六面体-ABCD二A BCD,化简下列向量表达式,标出化简结果的向量。 AB+BC ; AB+AD +AA,;/ T T 1 T 1 T AB +AD + CC 蔦 (AB +AD +AA)。2 3G右MJ-/例2.对空间任一点O和
12、不共线的三点A,B,C,问满足向量式:名师推荐精心整理学习必备T T T -T名师推荐精心整理学习必备OP =x0A+yOB + zOC (其中x+y+z=1)的四点P, A, B,C是否共面?例 3 已知空间三点 A (0, 2, 3), B (-2, 1, 6), C (1, 1, 5)。 求以向量aB,AC为一组邻边的平行四边形的面积 S;若向量a分别与向量AB, AC垂直,且活|=73,求向量a的坐标。2.基底法(如何找,转化为基底运算)3.坐标法(如何建立空间直角坐标系,找坐标)4.几何法例4.NOAB =60,女口图,在空间四边形 OABC中, OA=8 , AB=6 , AC =
13、4 , BC =5 , Z OAC = 45 ,说明:由图形知向量的夹角易出错,女口 =135易错写成= 45,切记!例5.长方体ABCD-A,B1C1D1中,AB=BC=4 , E为AG与Bp的交点,F为BG与B,C的 交点,又AF丄BE,求长方体的高BB1。【模拟试题】1.已知空间四边形ABCD,连结ACBD 屮M,G分别是BC,CD的中点,化简下列各表达 式,并标出化简结果向量:(1) AB+bc+CD ;T 1 TI T T(2) AB+(BD+BC) ;(3) AG-(AB+AC)。2 22. E知平行四边形 /BCD,当平面AC外一点O引向量。OE=kOAOF=kOBOG=kOC,
14、OH=kOD。(1)求证:四点E,F,G,H共面;(2)平面AC /平面EG。A3.如图正方体ABCD-ABGDi中,BiEDiF-AiBi,求BEi与DR所成角的余弦。0./i/ &沖AFC.45.已知平行六面体abcd-aBCD中, AB =4, AD =3, AA = 5,NBAD =90, 厶 BAA、N DAA 60 C,求 AC 的长学习必备名师推荐精心整理参考答案1.解:如图,(1) AB+BC+CD=AC+CD=AD ;/c、 T 1 T T T 1T 1T(2) AB +(BD +BC) = AB +BC + BDT T T22=AB +BM +MG = AG ;1(3) A
15、G -(AB + AC) = AG - AM = MG。22. 解:(1)证明:四边形ABCD是平行四边形, EG=OGOE,I T I I I T I=k OC -k OA =k(OC -OA) =kAC =k(AB +AD)T T T T T T T T= k(OB -OA +OD -OA) =OF -OE +OH -OEI=EF +EH E,F,G,H 共面;T T T T T(2)解: EF=OF-OE=k(OB-OA)=k,又 = k7C, EF /AB, EG/ AC。所以,平面AC/平面EG。3.解:不妨设正方体棱长为1,建立空间直角坐标系3 1则 B(1,1,0) , E1(1,3,1) , D(0,0,0) ,F1(0, ,1),4 4.T 1 T 1BE1=(0,-1) , DF1=(0,-1),44 r r荷BE1 = DF1 =,415。16T T1115BE厂DFr =0% 0+(- -X-) + M =44=151715 cos(盂忒17=(2, 1,3),AC = (1-3,2)/. cosNBAC =-1 |AB|AC| 2444.分析:T Ab/ BAC = 60,二 S=|aB|AC|sin6o =7巧 (设?厂(x, y, z),则 a 丄 aB二2x-y+ 3z = 0, a 丄 AC =
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