空间向量与立体几何知识点归纳总结

1、名师推荐精心整理学习必备 空间向量与立体几何知识点归纳总结一.知识要点。1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示*同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）u一. 逹L-T T1-|TTT 4 彳OB = OA + AB = a + b ； BA = OA- OB = a - b ； 运算律：加法交换律：a + b二b + a 加法结合律：（a + b）.+ C = a + （b + C） 数乘分配律：a + b） = ha i

2、b 运算法则：三角形法则、平行四边形法则、3.共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直a八a（k壬R）平行六面体法则线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作a/bb （ b工0 ）, a/b存在实数入使a =。（2）共线向量定理：空间任意两个向量i（3）三点共线：A、B、C三点共线v=AB=aACOC = xOA+ yOB（其中（4）与a共线的单位向量为4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的条件是存在实数 X, y 使 p

3、 = xa + yb。（3）四点共面：若a、B、C、P四点共面v=AP二xAB+yAC OP = xOA + yOB ； zOC（其中x+y+z=1）T5. 空间向量基本定理：如果三个向量j,b,c不共面，那么对空间任一向量 P，存在- 个唯一的有序实数组x, y,z，使P = xa；yb + ZC。扌若三向量a,b,C不共面，我们把a,b,C 叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量, 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。_名师推荐精心整理学习必备推论：设o_a,b,c是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数 x, y, z，使 OP = xOA+ yOB+

4、zOC。6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组（X, y,z），使OA =xi +yi +Zk ,有序实数组（x,y,z）叫作向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，记 作A（x, y,z）， x叫横坐标，注：点A （x,y,z）关于x轴的的对称点为（x,-y,-z）,关于xoy平面的对称点为（x,y,-z）. 即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。在 y轴上的点设为 （0,y,0）,在平面yOz中的点设为（0,y,z）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交

5、基底， 用i,j,k表示。空间中任一向量a= xi+ yj + zk=（ x,y,z）（3）空间向量的直角坐标运算律：4扌若 q=（ai,a2,a3），则十 b =佝十 Qq 十 bzH? + d）， a（ai - fci,a b2,a3 - R），几a= pd/az/as） 己 R），a b = aQ + a2b2 + asd，ai = kbi,a2 = kb2,a3 =入bsC 壬 R），a 丄 b - aQ + 82 + a3b = 0。. 若 A（xi,yi,zi），B（X2,y2,Z2），则 AB = （x %, y? - zj。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段

6、的终点的坐标减去起 点的坐标。 定比分点公式：若A（x,y,z）, B（X2,y2,Z2）， XP = zPB，则点P坐标为 xi + kx2 w + Z2 乙+ hz2（严，严，严）。推导：设 P（x,y,z）则（X- xi,y- yi ,z- zj （冷-W - yz - z）, 显然，当P为AB中点时，P（冒，耳互）2 2 232 ABC的五心： 也 ABC 中，A （xi，yi，zi） ,B（X2，y2，z2）,C（X3，y3，z3），三角形重心 P 坐标为 P（ Xi + X2 + X3 yi + y2 中 y3 zi 十 Z2 十 Z3）2名师推荐精心整理学习必备内心P:内切圆的圆

7、心，角平分线的交点。外心P:外接圆的圆心，中垂线的交点。ABACAP 二=A (-+ABAC1 11 1PA=PB=PC）（单位向量）垂心重心P：高的交点：PA FB = PA FC = PB fC （移项，内积为0,贝y垂直） 一 1 - P:中线的交点，三等分点（中位线比）AP = 3（AB + AC）3中心：正三角形的所有心的合一。T(4) 模长公式：若 a =18283) , b = (b1，b2，b3),则| a 卜 x/Oi =肩2 + a22 + a32 , |b|=命2+b22 + 鸟2J 、+冷八卡c/O b a ba2b2 +妙3(5) 夹角公式：cos(a b尸：I* 2

8、22 J 22 亍。| a | Ja1+ 02+ 2374+ b2+ d ABC中ABACOv=A为锐角AB 屁c0v=A为钝角，钝角(6) 两点间的距离公式：若 A(X1,y1,Z1), B(X2,y2,Z2), 则 | AB| = /a = J(X2 X1)2 +(y2 -yj2 +(Z2 -Z1)2 ,=J(X2 -Xi)2 +(y2 -yi)2 +(Z2 -Zi)2或 dA,B7. 空间向量的数量积。j（ 1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OA = a彳OB= b,则NAO B叫做向量a与b的夹角，记作 a,b ；且规定 0兰兀，显然有*a,bx；若

9、=，则称a与b互相垂直，记作：a丄b。（2）向量的模：设oA=a,则有向线段oA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|2|。（3）向量的数量积：已知向量 a,b，则|a|qb| 8SW a,b 叫做a,b的数量积，记 作a b，即 a b = |?| 卩| cos。（4） 空间向量数量积的性质：，. a e =|a |cos 3,6。 a 丄 b- ab=0。 |a|=aa。（5）空间向量数量积运算律：彳 彳片（几扌的=“a9 = ab）。a b二b a （交换律）。 a （b + c） = a七+ a 9 （分配律）。- - - P- - - 不满足乘法结合率：（a De工a（b c）二.空间

10、向量与立体几何1. 线线平行=两线的方向向量平行1-1线面平行二线的方向向量与面的法向量垂直1-2面面平行二 两面的法向量平行2线线垂直（共面与异面）二两线的方向向量垂直精心整理学习必备名师推荐2-1线面垂直二线与面的法向量平行2-2面面垂直二两面的法向量垂直3线线夹角0 （共面与异面）0O,90O=两线的方向向量的夹角或夹角的补角,cose = cos3-1线面夹角日0,90:求线面夹角的步骤：先求线的方向向量AP与面的法向量n的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，贝y取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.sin = cos3-2面面夹角（二面角）日0,180:若两面的法向量一进一出，则二面角等

11、于两法向量ni,n2的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.cos = cos4.点面距离h :求点P（X0,y0 ）到平面a的距离：在平面a上去一点Q（x,y ），得向量PQ ;；4-1线面距离（线面平行）:转化为点面距离4-2面面距离（面面平行）:转化为点面距离PQ nn计算平面a的法向量n；. h【典型例题】1.基本运算与基本知识（）例已知平行六面体-ABCD二A BCD，化简下列向量表达式，标出化简结果的向量。 AB+BC ； AB+AD +AA，;/ T T 1 T 1 T AB +AD + CC 蔦 （AB +AD +AA）。2 3G右MJ-/例2.对空间任一点O和

12、不共线的三点A,B,C，问满足向量式:名师推荐精心整理学习必备T T T -T名师推荐精心整理学习必备OP =x0A+yOB + zOC (其中x+y+z=1)的四点P, A, B,C是否共面?例 3 已知空间三点 A (0, 2, 3), B (-2, 1, 6), C (1, 1, 5)。 求以向量aB,AC为一组邻边的平行四边形的面积 S；若向量a分别与向量AB, AC垂直，且活|=73，求向量a的坐标。2.基底法(如何找，转化为基底运算)3.坐标法(如何建立空间直角坐标系，找坐标)4.几何法例4.NOAB =60,女口图，在空间四边形 OABC中, OA=8 , AB=6 , AC =

13、4 , BC =5 , Z OAC = 45 ,说明：由图形知向量的夹角易出错，女口 =135易错写成= 45，切记!例5.长方体ABCD-A,B1C1D1中，AB=BC=4 , E为AG与Bp的交点，F为BG与B,C的 交点，又AF丄BE，求长方体的高BB1。【模拟试题】1.已知空间四边形ABCD，连结ACBD 屮M,G分别是BC,CD的中点，化简下列各表达 式，并标出化简结果向量：(1) AB+bc+CD ；T 1 TI T T(2) AB+(BD+BC) ；(3) AG-(AB+AC)。2 22. E知平行四边形 /BCD，当平面AC外一点O引向量。OE=kOAOF=kOBOG=kOC,

14、OH=kOD。（1）求证：四点E,F,G,H共面；（2）平面AC /平面EG。A3.如图正方体ABCD-ABGDi中，BiEDiF-AiBi，求BEi与DR所成角的余弦。0./i/ &沖AFC.45.已知平行六面体abcd-aBCD中， AB =4, AD =3, AA = 5,NBAD =90， 厶 BAA、N DAA 60 C，求 AC 的长学习必备名师推荐精心整理参考答案1.解：如图,(1) AB+BC+CD=AC+CD=AD ；/c、 T 1 T T T 1T 1T(2) AB +(BD +BC) = AB +BC + BDT T T22=AB +BM +MG = AG ；1(3) A

15、G -(AB + AC) = AG - AM = MG。22. 解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， EG=OGOE,I T I I I T I=k OC -k OA =k(OC -OA) =kAC =k(AB +AD)T T T T T T T T= k(OB -OA +OD -OA) =OF -OE +OH -OEI=EF +EH E,F,G,H 共面；T T T T T(2)解： EF=OF-OE=k(OB-OA)=k，又 = k7C, EF /AB, EG/ AC。所以，平面AC/平面EG。3.解：不妨设正方体棱长为1,建立空间直角坐标系3 1则 B(1,1,0) , E1(1,3,1) , D(0,0,0) ,F1(0, ,1),4 4.T 1 T 1BE1=(0,-1) , DF1=(0,-1),44 r r荷BE1 = DF1 =,415。16T T1115BE厂DFr =0% 0+(- -X-) + M =44=151715 cos(盂忒17=(2, 1,3),AC = (1-3,2)/. cosNBAC =-1 |AB|AC| 2444.分析：T Ab/ BAC = 60,二 S=|aB|AC|sin6o =7巧 (设？厂(x, y, z),则 a 丄 aB二2x-y+ 3z = 0, a 丄 AC =