完整版直角三角形的判定和性质

1、直角三角形全等的判定1 -【知识点总结】直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL)【典型例题讲解】例1 :求证:已知：如图 ABC中，BD丄AC , CE丄AB , BD、CE交于0点，且 OB=OC.BD=CE已知：Rt ABC中，/ ACB是直角,例2 :垂线交AC于E,求证：CD丄BEDG=EG。F作FG丄例3:已知 ABC中，CD丄AB于D，过D作DE丄AC , F为BC中点，过 DC求证：【随堂练习】1.选择：（1 ）两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，则下列四个命题中，真命题的个 数是（）个这两个三角形全等；相等的角为锐角时全等相等的角

2、为钝角对全等；相等的角为直角时全等A . 0 B. 1 C. 2 D . 3（2）在下列定理中假命题是（）A .一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形B .一个直角三角形必能分成两个等腰三角形C.两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形 D .两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形(3)如图，BD=(A. 1:Rt ABC 中，/)1B=90 ，/ ACB=60 ，延长 BC 至U D,使 CD=AC 贝U AC :C. 4: 1(4)如图，在是/ ACBRt ABC 中， 的平分线。则/A. / 1 / 2D .不能确定C.(5)在直角三角形 的度数是(A. 302.解答：(1已知：如图

3、ABC中，若/ C=90 , D是BC边上的一点，且 AD=2CD，则/ ADBB . 60C. 120D. 150AB 丄 BD , CD 丄 BD , AB=DC 求证：AD/BC.(2)如图，AC丄BC , AD丄BD , AD=BC , CE丄AB , DF丄AB ,垂足分别是 E、F 求证：CE=DF.-7 -【课后习题】一、填空题:（每题5分,共20分）1. 有和一条对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边直角边”或用字母表示为“”.2. 如图, ABC中,/ C=90 ,AM平分/ CAB,CM=20cm,那么 M到AB的距离是 cm.3. 已知 ABC 和 A B C , /

4、 C=/ C =90 ,AC=A C ,要判定 ABC A B C ,必须添加条件为 或或或.4. 如图,B、E F、C在同一直线上,AF丄BC于F,DE丄BC于E,AB=DC,BE=CF,若要说明 AB/ CD, 理由如下：/ AF丄 BC于 F,DE丄 BC于 E（已知） ABFA DCE是直角三角形/ BE=CF已知） BE+=CF+等式性质）即=（已证） Rt ABF Rt DCE（）二、选择题:（每题5分,共25分）5. 两个直角三角形全等的条件是（）A. 一锐角对应相等；B.两锐角对应相等；C. 一条边对应相等；D.两条边对应相等6. 要判定两个直角三角形全等 ，需要满足下列条件中

5、的（）有两条直角边对应相等；有两个锐角对应相等；有斜边和一条直角边对应相等有一条直角边和一个锐角相等；有斜边和一个锐角对应相等；有两条边相等.A.6 个 B.5 个 C.4 个 D.3B7. 如图,AB/ EF/ DC,/ ABC=90 ,AB=DC,那么图中有全等三角形 （）A.5 对；B.4 对；C.3 对；D.2 对8. 已知在 ABC和 DEF中，/ A=/ D=90 ,则下列条件中不能判定 ABC和 DEF全等的是（）A.AB=DE,AC=DFB.AC=EF,BC=DFC.AB=DE,BC=EFD./ C=/ F,BC=EF9. 如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么两个直角三

6、角形全等的依据是A.AAS B.SAS C.HL()D.SSS三、解答题：（共55分）10.如图, ABC中,/ C=90,AB=2AC,M是AB的中点，点N在BC上,MN丄AB.求证:AN平分/ BAC.（7分）11 已知：如图,AB=AE,BC=ED,/ B=/ E,AF丄 CD,F 为垂足,求证:CF=DF.（8 分）12知如图，AB=AC, / BAC=90 ,AE是过A点的一条直线,且B、C在DE的异侧，BD丄AE于D,CE 丄 AE于 E,求证:BD=DE+CE.（8 分）13已知如图，在 ABC中，/ BAC=2/ B,AB=2AC,求证： ABC是直角三角形?（ 8分）ACF连

7、结14已知如图，在 ABC中，以AB AC为直角边，分别向外作等腰直角三角形 ABEEF,过点A作ADX BC,垂足为D,反向延长 DA交EF于点M.（1）用圆规比较 EM与 FM的大小.（2）你能说明由（1）中所得结论的道理吗？（8分）直角三角形的性质【知识点精讲】直角三角形的性质定理及其推论： 直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半； 推论：(1)在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，则它所对的直角边等于斜边的一半；(2)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角为 30【典型例题讲解】例 1:已知,Rt ABC中,/ ACB=90 , AB

8、=8cm D 为 AB 中点,DEI AC于 E, / A=30 , 求BC, CD和DE的长例2 :已知： ABC中, AB=AC=BC （ ABC为等边三角形）1DE1 AC于 E.求证：CE -AC .4D为BC边上的中点,例 3 :已知：如图 AD/ BC,且 BD丄 CD BD=CD AC=BC. 求证：AB=BO.AD【随堂练习】1. ABC中，/ BAC=2/ B, AB=2AC AE平分/ CAB 求证：AE=2CE2.已知,求证:Rt ABC中，/ ACB=90 , CD! AB, CE为 AB边上的中线，且/ BCD=N DCADE=DC11 -3.如图：BE的长。AB=A

9、C ADI BC于 D, AF=FD AE/ BC且交 BF 的延长线于 E,若 AD=9 BC=12 求AE=DF4.在 ABC中，/ ACB=90 , D是AB边的中点，点 F在AC边上，DE与 CF平行且相等。 求证：5.已知，如图，在 ABC中，/ B=/ C, ADI BC于D, E为AC的中点，AB=6,求DE的长。【课后习题】Rt ABC中CD是斜边AB的中线，则1、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。如在CD=2AB你能说明这个结论吗?1?、 ABC中, CD是中线，且CD AB，求证 ABC是直角三角形。23、如图，在 Rt ABC中,/ ACB= 90,/ BAC勺平分线 AD交 BC于点 D, DE/ AC, DE交 AB 于点E , M为BE的中点，连结 DM 在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三 角形是4、如图，四边形 ABCD/ A=90EF与,/ C=90, EF 分另ij是 BDC、 ABC中，BE、DECD分别是三角形的高， M N分别是BG DE的中点，试说明 MN垂直平分C6、如图，AD于 F.(1)求证：已知 AD与 BC相交于 E,/ 1=/ 2=/ 3, BD=CD / ADB=90 , CHLAB 于 H, CH交CD/ AB求证： BDEA ACEAC的位置关系(提示：连结 AE、CE)7