最短路径问题 教学设计

1、精品教学教案13.4课题学习最短路径问题张龙乡第一初级中学王玉15最短路径问题教学内容解析:本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题，最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移变换进行研究。本节课以数学史中的一个经典故事“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题, 再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。教学目标设置:1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题2、在谈最短路径的过程中，体会“轴对称”的桥梁作用，感悟

2、转化的数学 思想。教学重点难点:重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。学生学情分析:1、八年级学生的观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳和运用数 学意识的思想比较薄弱，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步引 导。此年龄段的学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体 验中获取一定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，集合演绎推理能力有 待加强。2、学生已经学习过 “两点之间，线段最短。”以及“垂线段最短”。以及 刚刚学习的轴对称和垂直平分线的性质作为本节知识的基础。教学策略分析:最短

3、路径问题从本质上说是最值问题， 作为八年级学生，在此前很少涉及最 值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足， 特别是面对具有实际背景的最值 问题，更会感到陌生，无从下手。解答“当点A B在直线I的同侧时，如何在I上找到点C,使AC与BC的和最小”，需要将其转化为“直线I异侧的两点，与直线I上的点的线段的和最 小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在 理解上和操作上的困难。在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求做的点不重合），证明 所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，一些学生想不到。教学时，教师可以让学生首先思考“直线I异侧的两点，与直线I上的点的

4、 和最小”为学生搭建桥梁，在证明最短时，教师要适时点拨学生，让学生体会任 意的作用。教学条件分析：在初次解决问题时，学生出现了多种方法，通过测量，发现利用轴对称将同 侧两点转化为异侧两点求得的线段和比较短；进而利用几何画板通过动画演示, 实验验证了结论的一般性；最后通过逻辑推理证明。教具准备：直尺、几何画板，ppt教学过程:教师活动1.【问题】：看到图片，回忆如 何用学过的数学知识解释这个 问题？学生活动_1、两点之间，线段最短。2、两边之和大于第三边。设计意图复习引入2.这样的问题，我们称为“最 短路径”问题。从学生已经学 过的知识入 手，为进一步 丰富、完善知 识结构做铺 垫。认真读题，仔

5、细思考。从异侧问题入 手，由简到难, 逐步深入。1. 探究一：【故事引入】：唐朝诗人李颀在将实际问题中的“地点” “河”抽象为数学中的 “点” “线”，把实际问题抽象线段和最小问题。古从军行中写道：“白日登 山望峰火，黄昏饮马傍交河. 诗中就隐含着一个有趣的数学 问题，古时候有位将军，每天 从军营回家，都要经过一条笔 直的小河。而将军的马每天要 到河边喝水，那么问题来了， 问题：怎样走才能使总路程最 短呢？2. 探究二:【变换情境】：后来将军把家搬 到了河的对面，若还是要带马 先到河边喝水，然后再回家， 应该怎样走，才能使总路程最 短呢？（1）【转化】：你能将实际问题 抽象为数学问题吗？【回答

6、】：学生思考并回 答，如何将实际问题转化 为数学问题。已知：直线L和同侧两点A B求作：直线L上一点C, 使C满足AC+BC的值最 小。（2）【展示】:让学生猜想，并画出图形。 巡视发现学生不同的作法（尽 可能多），分别展示各小组的作 法。学生主动探 索，充分发挥 学生的主动 性。展示多种方 法，产生思维 冲突，引发学 生进一步探究 的学习欲望。给予学生一定的提示。【学生展示】： 作法1：AC作法2：:(3)【度量】：如何才能判断哪 种猜想是正确的呢？(测量一 下)在几何画板中分别度量出 AC,BC的长度，并计算AC+BC 让学生观察数值如何变化。并 反思各自的作法是否正确。BC5:第1种作第

7、2种作法只能说明在河 l上取一点，到A、B两地 的距离相等，也就是 AC=BC不能说明AC+BCft 短作法3:第3种作法应该是正确 的。3.解决问题【追问】用第3种作法的同学， 你们是怎样想到作点B关于直 线L的对称点的？为什么要作 对称点？让学生进一步 体会做法的正 确性，提咼逻 辑思维能力。让学生在反思 的过程中，体 会轴对称的作 用，感悟转化 思想，丰富数 学活动经验。【学生反思】法是利用“垂线段最短”， 得到AC最短，利用“两 点之间线段最短”，得到 BC最短，但不能确定AC+BC是最短的。如果做点B关于直线L的 对称点，就是把点B移到 了另一侧，而且满足了 BC =BC。其实直线L

8、上所 有点到B和B的距离都 相等。也可是根据垂直平分线 的性质，L就是线段BB 的垂直平分线，而垂直平 分线上的点到线段两个 端点的距离相等。利用轴对称将同侧线段 和最短转化为异侧线段 和最短问题。借助轴对 称，把折线转化为线段的 长来求解。（4）【推理论证】：如何证明AC+BC最短呢？【提示】：没有比较就不会产生 大小。通常我们要在直线上任 另取一点e （与点C不重合）， 只要证明 AC +BC AC+BC即 可。（3）【几何画板】下面我们可 以借助数学工具一几何画板来 进一步验证一般性。老师动手操作，验证结论的 正确性。（1）学生自主证明，教师纠错。（2）师生共同分析，学生说明 证明过程，

9、教师版书。（3）共同完成证明过程。发 散 思 维除了作点B关于直线I的对称 点以外，还有没有别的作法？得 出 结 论【问题】：我们是如何解决将军 饮马问题的？认真观察，思考，要想确 认AC+B（最短，可以在直 线I上任取一点C （不与 点C重合）1. 独立纠错2. 兵教兵还可以作点A关于直线I 的对称点。先将实际问题转化为数 学问题。然后作其中一个 点关于直线I的对称点， 连接对称点和另一点与 直线的交点就是满足最 短距离的点的位置。让学生进一步 体会作法的正 确性，提高逻 辑思维能力。通过动画演 示，从特殊到 一般地验证了 前面的结论。发散思维，培 养学生一题多 解的能力。让学生反思刚 才的

10、探究过 程。培养数学 思维，和及时 总结所学的知 识的好习惯。范 例 分 析尸.在具体问题中 实践已有模 型，固化已有 模型。为进一 步丰富、完善 知识结构做铺 垫。1.【题目】:如图，直线I是 一条河，P、Q为河同侧的 两地，欲在I上某处修建一 个水泵站M分别向P、Q 两地供水，四种方案中铺设 管道最短的是（）将军饮马模型的直接应用。2.【题目】：如图，在直角三 角形ABC中，角A= 30度， 角C为直角，且BC=1, MN 为AC的垂直平分线，设P 为直线MN上任一点，PB+PC 的最小值为B0习题难度，由 易到难，逐步 深入。让学生 进一步巩固解 决最短路径冋 题的基本策略 和基本方法。

11、3.如图，正方形ABCDi长为 8，M 在 BC 上, BMh 2，N 为AC上的一动点，J则BN+MN 的最小值为N1.【问题】：本节课研究问题的 基本过程是什么？当我们遇到一个实际问题，首 先，我们要将实际问题变成一 个数学问题（群答），也就是抽 象成一个数学模型，这样可以 帮助我们进行实验观察，进而 运用合情推理得到一个猜想， 然后我们可以通过严谨的逻辑 证明，验证猜想，从而得出结 论，最后再将结论运用到实际 问题里。我们要先将实际问题变 成一个数学问题，然后观 察实验，提出猜想，之后 通过证明，验证猜想，从 而得出结论，最后再将结 论运用到实际问题里。培养学生总结 在课题学习的 基本思路。1.【问题】：如图，一个旅游船 从大桥AB的P处前往山脚下的 Q处接游客，然后将游客送往河 岸BC上，再回到P处，请画出 旅游船的最短路径。2.【问题】：轴对称在所研究问 题中起什么作用？转化作用利用轴对称主要是进行问题的 转化，它其实是起到了一个桥 梁的作用，同时也体现了我们 数学学习中的转化思想。目标检测设计:题目1、（课后练习）课本93页，第15题。设计意图