拉普拉斯变换及逆变换

1、章拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在 自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。本章将扼要地介绍拉普拉斯变换(以下简称拉氏变换)的基本概念、主要性质、 逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。第一节拉普拉斯变换在代数中，直接计算是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数N。这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。、拉氏变换的基本概念0 f (t)e ptdt在P的某一区域内收 敛，则此积

2、分就确定了一个参量为P的函数，记作F(P)，即定义 设函数f(t)当t 0时有定义，若广义积分() 称()式为函数 f(t)的拉氏变换式，用记号 Lf(t) F(P)表示。函数F(P)称为f(t)的 拉氏变换(Laplace)(或称为f(t)的象函数)。函数F(P)象原函数)，记作f (t)称为F (P)的拉氏逆变换(或称为，即。 关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：(1) 在定义中，只要求 f(t)在t 0时有定义。 总假定在t 0时，f(t) 0。(2) 在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数为了研究拉氏变换性质的方便，以后P是在复数范围内取值。为了方便起 见，本章我们把作为实数来讨论，

3、这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用。(3)拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数， 一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的。例 求斜坡函数f(t) at ( t 0，a为常数)的拉氏变换。它是一种积分变换。e ptdt解：Lat 0 ate ptdta3 / C pt r a c pt 1p 0 td(e ) 7e 0、单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函 数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为t0)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流i(t)，以Q(t)表示上述电路中的电量，则由于电流强

4、度是电量对时间的变化率，即所以，当t 0时，i（t） 0 ；当t 0时,O这个函数称为狄拉克函数。上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强 度.为此，引进一个新的函数，定义设（t）0,-,0t ，当0时，（t）的极限（t） lim0(t)0,称为狄拉克（Dirac ）函数，简称为 函数当t 0时，（t）的值为0；当t 0时,（t）的值为无穷大，即0,t0。,t 0（t）dtdt0函数称为单位脉冲函数等于1的有向线段来表示，这个线段的长度表示（t）的拉氏变换。 有显然，对任何 0 ,有工程技术中，常将例求单位脉冲信号 解：根据拉氏变换的定义,例现有一单位阶跃输入

5、u(t)0, t1, t1，所以(t)dt，有些工程书上，将函数的积分，叫做函数用一个长度 函数的强度。求其拉氏变换。解：Lu(t)0 u(t)eptdt例求指数函数f(t)eat(解：Leatatege ptdtpte 0Pa为常数）的拉氏变换。e（p a）tdt 丄0P a0 1S ptdt，(Pa），即0)。类似可得Lsintp 0) ； Lcos t2(P 0)。三、拉氏变换的性质拉氏变换有以下几个主要性质，利用这些性质，可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换。 性质（线性性质）若a1,（）证明：a2 是常数，且 L fi(t)Fi(p)，Lf2(t)F2( p)，则1例求函数f（t） -

6、（1 eaat）的拉氏变换解:性质(平移性质) 若Lf(t) Fp，贝yLeat f (t) F (p a) ( a 为常数)()证明:位移性质表明：象原函数乘以eat等于其象函数左右平移|a|个单位。例求 Lteat,解因为LtLe atsin t和 Leatcos t o1 ,Lsin t 2 , LcosPPt 2 P 2，由位移性质即得P性质(滞后性质)若 Lf(t) Fp，则()证明：在拉氏变换的定义说明中已指出，当t 0时，f(t)0。因此，对于函数 f(t a), 当t a 0 (即t a)时，f(t a) 0 ,所以上式右端的第一个积分为 0，对于第二个积 分，令t a ，则滞

7、后性质指出：象函数乘以e ap等于其象原函数的图形沿 t轴向右平移a个单位。由于函数f(t a)是当t a时才有非零数值。故与f(t)相比，在时间上滞后了一个a值，正是这个道理，我们才称它为滞后性质.在实际应用中，为了突出“滞后”这一特点， 常在f(t a)这个函数上再乘u(t a)，所以滞后性质也表示为例求 Lu(t a)。解：因为Lu(t)例求 Lea(t )u(t解:因为Leat1,由滞后性质得Lu(t a) P)o1，所以 Lea(t )u(t )P a0,ap 1OP, (P a)P ac已知f(t)2 c,0,t a ，求 Lf(t) ot 3a3a解:可用单位阶梯函数表示为，于是

8、由拉氏变换定义来验证:性质(微分性质)若L f(t) Fp，并设f(t)在0 , + )上连续，f(t)为分段连续，则证明：由拉氏变换定义及分部积分法，得可以证明，在L f (t)存在的条件下，必有lim f (t)e pt 0 o因此,p，再微分性质表明：一个函数求导后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以参数 减去函数的初始值。应用上述结果，对二阶导数可以推得 同理，可得以此类推，可得由此可见，f (t)各阶导数的拉氏变换可以由 来.特别是当初值 f(0)f (0) f (0) f(n 1)()p的乘方与象函数Fp的代数式表示出(0)0时，有更简单的结果()利用这个性质，可将 例利用微分性质

9、求解：令 f(t) sin式，得f (t)的微分方程转化为F ( p)的代数方程。Lsin t和 Lcos t。t，则 f(t) sin tf (0)0, f (0),f (0)2 sin由()移项化简得Lsin t利用上述结果,1cos t (sin t)及()式，可得性质(积分性质)(p 0)，且设f (t)连续，则()证明：令(t)，而，所以有tof (x)dt，显见(0)0,且因(t)f(t)，由微分性质,F(P)1 pL (t) pL 0f(x)dx，即 L 0f(x)dx -F( p)。00pp。积分性质表明：一个函数积分后再取拉氏变换，等于这个函数的象函数除以参数 例求Ltn (

10、 n是正整数)。解：因为般地，有性质若 Lf(t)Fp，则时性质若 Lf(t)Fp,则性质若 Lf(t)F p，且 limt 0例求 Ltsin t。所以由()式即得匸存在，则t()()()解：因为Lsin t2，由（）式可得P解：因为LsintAa! C +PI，而且啊-1，所以由。式可得arctgp。因此，当时，得到一个广义积分的值这个结果用原来的广义积分的计算方法是得不到的。现将拉氏变换的八个性质和在实际应用中常用的一些函数的象函数分别列表如下:表拉氏变换的性质序号设123(a0)456（a0）78表常用函数的拉斯变换表序号11234567891011121314151617181920

11、21习题(1)f(t)4t e(2)f(t)t2(3)f(t)teat(4)f(t)sin( t)(,是常数).求下列题中函数的拉氏变换(1)3e 4t(3)f(t)1,0 t 41, t 41.求下列函数的拉氏变换2(4)5sin 2t 3costsi nt,t,f(t)(5) f (t)0,1,0,(6)f(t)j.n att e第二节拉普拉斯逆变换前面我们主要讨论了怎样由已知函数 是已知象函数F(p)要求它的象原函数 氏反变换的简便方法是利用拉氏变换表。 出.性质f (t)求它的象函数F(p)的问题.运算法的另一面 f (t),这就是拉斯逆变换问题. 在控制工程中，求拉 同时把常用的拉氏

12、变换的性质用逆变换形式一一列(先行性质)性质性质(平移性质) 。(滞后性质) 。22p 3 的逆变换。P2 2p 5例求F ( P)解:在运用拉氏变换解决工程技术中的应有问题时，通常遇到的象函数常常是有理分式，对于有理分式一般可采用部分分式方法将它分解为较为简单的分式之和，然后再利用拉氏变换表求出象原函数。例求F (p)3 P 23的逆变换。p 4p 4p解：先将Fp分解为几个简单分式之和：3-，所以2用待定系数法求得 A -4于是习题求下列题中函数的拉氏逆变换2P 32p 81. F(p)2.F(P)3. F(p)4.5. F(p)362Pp3 6p2 9pF(P)4pp2 1616.F(P

13、)P(P 1)(P 2)P21P(P 1)2第三节拉氏变换在电学中的应用、求解常微分方程例 求微分方程x(t)2x(t)解：第一步 对方程两边取拉氏变换，并设0满足初值条件x(0)3的解。Lx(t) X(p):将初始条件x(0)3代入上式，得这样，原来的微分方程经过拉氏变换后，就得到了一个象函数的代数方程。3第二步解出X(p) : X(p)P 23第三步 求象函数的拉氏逆变换：x(t) L 1X(p) L 1 3e 2tP 2这样就得到了微分方程的解x(t) 3e 2t o例 有一个二阶动态电路满足微分方程y 3y 2y 2e t，并且其初值条件y(0) 2 ,y(0)1，求其解。解：对所给微

14、分方程的两边分别作拉氏变换.设Ly(t) Y(p) Y，则得将初值条件y(0)2，y(0)1，代入，得到的代数方程解出，得将上式分解为部分分式再取拉氏逆变换，就得到满足所给初值条件的方程的特解为用拉氏变换还可以解常系数线性微分方程组。、电学应用举例例求图示电路的输入运算阻抗Zin ( S)解：由串并联关系得Zn ( S)= 22 s2 1s2 2s 12 s21其中例求图所示电路中的i (t)、uc(t)。解:(a)先画出运算电路如图(1s 110KiK2K3b)所示。由运算电路得ss2 6s 10K1(b)K2K3 s 30.1s6s 10Ucj0.7缶 L81.87s 3j 0.1-e t J2e510s 1 S2 6s 10j0.73tl/81.8772cos tK1S 181.87t( AK2s 3K3s 3其中K1Uc106s 10Uc tK2K3L 1UcUc10s 1 s 3 jj275/116.565Ucs 3 j75/ 116.5652e2yi5e 3t cos(t 116.565 ) (V习题1.求解一输入响应电路的微分方程。2.求图(a)所示电路中的回路电流i 1 和 i 2.。自测题1.求各函数的拉氏