数学专题讲座.ppt

1、 （一）（一） 春秋前中国春秋前中国 数学的萌芽数学的萌芽 最早的计数法最早的计数法 十进位值制计数法十进位值制计数法 （算筹记数法）（算筹记数法） 最古老的计算工最古老的计算工 具：算筹具：算筹 （二）（二） 战国至两汉战国至两汉 中国数学框架的确立中国数学框架的确立 九章算术九章算术 张仓（？前张仓（？前152年）年） 耿寿昌（前耿寿昌（前1世纪）世纪） 九章算術九章算術 九章算術九章算術 衰 (音崔cui) （三）（三） 魏晋至唐初魏晋至唐初 中国数学理论体系的中国数学理论体系的 建立建立 早在公元早在公元263年年刘徽刘徽的的 注注九章九章中论证了中论证了九章九章 的公式、解法，在圆面

2、积公的公式、解法，在圆面积公 式和锥体体积公式的证明中式和锥体体积公式的证明中 引入了无穷小分割原理和极引入了无穷小分割原理和极 限思想，首创了求圆周率的限思想，首创了求圆周率的 正确方法，探索出求球体积正确方法，探索出求球体积 的正确途径，使用了大量类的正确途径，使用了大量类 比、归纳推理和演绎推理。比、归纳推理和演绎推理。 算筹与圆周率算筹与圆周率 算筹为人类文明做出过巨大贡算筹为人类文明做出过巨大贡 献，我国古代著名的数学家祖献，我国古代著名的数学家祖 冲之，就是借助算筹计算出圆冲之，就是借助算筹计算出圆 周率的值介于周率的值介于3.1415926和和 3.1415927之间；中国古代的

3、之间；中国古代的 天文学家也运用算筹，总结出天文学家也运用算筹，总结出 了精密的天文历法。了精密的天文历法。 缀术缀术 祖冲之（祖冲之（429500）父子撰）父子撰 l圆周率算法圆周率算法 l球体积推导球体积推导 l三次方程问题三次方程问题 l球体积球体积(祖暅祖暅) 算盘算盘 中国人发明算盘中国人发明算盘 中国人发明了算盘，它结合了中国人发明了算盘，它结合了 十进制计数法和一整套计算口诀并十进制计数法和一整套计算口诀并 一直沿用至今，被许多人看作是最一直沿用至今，被许多人看作是最 早的数字计算机早的数字计算机 周髀算經周髀算經 海島算經海島算經 刘徽刘徽（生于公元（生于公元250年左右），是

4、中国数学年左右），是中国数学 史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学 史上，也占有杰出的地位他的杰作史上，也占有杰出的地位他的杰作九九 章算术注章算术注和和海岛算经海岛算经，是我国最宝，是我国最宝 贵的数学遗产贵的数学遗产 唐朝在数学教育方面有长足的发唐朝在数学教育方面有长足的发 展。展。656年国子监设立算学馆，设有年国子监设立算学馆，设有 算学博士和助教，由太史令李淳风等算学博士和助教，由太史令李淳风等 人编纂注释人编纂注释算经十书算经十书 包括包括周髀算经周髀算经、九章算术九章算术 海岛算经海岛算经、孙子算经孙子算经 张丘建算经张丘建算经、夏侯阳算经夏侯

5、阳算经 缉古算经缉古算经、五曹算经五曹算经 五经算术五经算术、缀术缀术， 作为算学馆学生用的课本。对保存古作为算学馆学生用的课本。对保存古 代数学经典起了重要的作用。代数学经典起了重要的作用。 李淳风李淳风 (公元公元604-672年年) 唐代岐州雍人唐代岐州雍人(今陕西风翔今陕西风翔) 宋元全盛时期宋元全盛时期 杨辉三角杨辉三角”又称为又称为“贾宪三角贾宪三角”在西方，在西方， 称为称为“帕斯卡三角形帕斯卡三角形”贾宪比帕斯卡早贾宪比帕斯卡早 600年左右，杨辉比帕斯卡早年左右，杨辉比帕斯卡早400多年多年 中国南宋时期杰出的数学中国南宋时期杰出的数学 家和数学教育家家和数学教育家 杨辉杨辉

6、 秦九韶（秦九韶（1202-1261年）年） 创造了创造了大衍求大衍求1术术（整数论中的（整数论中的 一次同余式求解法）。不仅在当一次同余式求解法）。不仅在当 时处于领先地位，在近代数学和时处于领先地位，在近代数学和 现代电子计算设计中，也起到重现代电子计算设计中，也起到重 要的作用，被称为要的作用，被称为中国剩余定理中国剩余定理 。他所论的。他所论的正负开方术正负开方术（数学（数学 高次方程根法），被称为高次方程根法），被称为秦九韶秦九韶 程序程序。现在世界各国从小学、中。现在世界各国从小学、中 学、大学的数学课程，几乎都接学、大学的数学课程，几乎都接 触到他的定理、定律、解题原则。触到他的

7、定理、定律、解题原则。 西学输入时期西学输入时期 徐光启（徐光启（1562-1633），）， 上海徐上海徐 家汇（今属上海市）人，他是明家汇（今属上海市）人，他是明 末著名的科学家，第一个把欧洲末著名的科学家，第一个把欧洲 先进的科学知识，特别是天文学先进的科学知识，特别是天文学 知识介绍到中国，可谓我国近代知识介绍到中国，可谓我国近代 科学的先驱者。科学的先驱者。 梅文鼎梅文鼎（16331721年），是清代年），是清代 具有世界影响的天文学家、数学家，具有世界影响的天文学家、数学家， 宣城数学学派的奠基人。清宣城（今宣城数学学派的奠基人。清宣城（今 安徽宣州市）人安徽宣州市）人 梅文鼎幼时注

8、意观察天象，梅文鼎幼时注意观察天象，27岁起，始治数岁起，始治数 学、历法，终身潜心学术。后接触西方书籍。康学、历法，终身潜心学术。后接触西方书籍。康 熙年间进京，以学识为康熙帝赏识，曾系统考察熙年间进京，以学识为康熙帝赏识，曾系统考察 古今中外历法，又介绍欧洲数学，研究中西历算。古今中外历法，又介绍欧洲数学，研究中西历算。 其间，为其间，为明史明史馆校订馆校订历志历志舛错舛错10余处，余处， 撰成撰成明史历志拟稿明史历志拟稿。近人称梅文鼎和日本的。近人称梅文鼎和日本的 关孝和、英国的牛顿为关孝和、英国的牛顿为“当时世界的三大数学当时世界的三大数学 家家”，著有，著有方田通法方田通法、方程论方

9、程论。 近现代数学发展时期近现代数学发展时期 陈省身陈省身 数学家，美国国籍数学家，美国国籍 。曾获美国国家科。曾获美国国家科 学奖学奖(1975)，沃尔夫数学奖，沃尔夫数学奖(1984)等。等。 1994年当选为中国科学院外籍院士。陈省年当选为中国科学院外籍院士。陈省 身是身是20世纪的伟大几何学家，在微分几何世纪的伟大几何学家，在微分几何 方面的成就尤为突出，被世人称为方面的成就尤为突出，被世人称为“微分微分 几何之父几何之父”。 丘成桐丘成桐，1949年生年生,广东汕头人广东汕头人,1969 年毕业于香港中文大学数学系年毕业于香港中文大学数学系,22岁获岁获 博士学位博士学位,27岁因证

10、明世界数学难题卡岁因证明世界数学难题卡 拉比猜想而引起轰动拉比猜想而引起轰动,华人中惟一获得华人中惟一获得 被称为世界数学领域的诺贝尔奖的菲被称为世界数学领域的诺贝尔奖的菲 尔兹奖尔兹奖,美国哈佛大学讲座教授美国哈佛大学讲座教授,中科中科 院外籍院士院外籍院士,美国科学院院士美国科学院院士,中科院中科院 晨兴数学研究中心、浙江大学数学研晨兴数学研究中心、浙江大学数学研 究中心主任究中心主任,香港中文大学数学研究所香港中文大学数学研究所 所长。所长。 数学界的战略科学家数学界的战略科学家中科院院士中科院院士吴文俊吴文俊 吴文俊在拓扑学、自动推理、机吴文俊在拓扑学、自动推理、机 器证明、代数几何、

11、中国数学史、对器证明、代数几何、中国数学史、对 策论等研究领域均有杰出的贡献，在策论等研究领域均有杰出的贡献，在 国内外享有盛誉。国内外享有盛誉。 他在拓扑学的示性类、示嵌类的他在拓扑学的示性类、示嵌类的 研究方面取得一系列重要成果，是拓研究方面取得一系列重要成果，是拓 扑学中的奠基性工作，并有许多重要扑学中的奠基性工作，并有许多重要 应用。他创立的应用。他创立的“吴文俊方法吴文俊方法”在国在国 际机器证明领域产生巨大的影响，有际机器证明领域产生巨大的影响，有 广泛的重要的应用价值。广泛的重要的应用价值。 华罗庚华罗庚（hua loo-keng，公元，公元1910年年11月月12 日日公元公元

12、1985年年6月月12日）是近代世界有名的日）是近代世界有名的 中国数学家。对数学的贡献是多方面的，在数中国数学家。对数学的贡献是多方面的，在数 论中，他解决了高斯完整三角和的估计，对华论中，他解决了高斯完整三角和的估计，对华 林问题、塔里问题的结果做出了重大推进。他林问题、塔里问题的结果做出了重大推进。他 在圆法与三角和估计法方面的结果长期居世界在圆法与三角和估计法方面的结果长期居世界 领先地位。他的著作领先地位。他的著作堆垒素数论堆垒素数论、数论数论 导引导引及与王元合着的及与王元合着的数论在近似分析中的数论在近似分析中的 应用应用等都已成为经典著作。华罗庚在复分析等都已成为经典著作。华罗

13、庚在复分析 和典型群方面也有许多工作，其中论文和典型群方面也有许多工作，其中论文典型典型 域上的多元复变量函数论域上的多元复变量函数论被国际学术界称为被国际学术界称为 华氏定理。华氏定理。 陈景润陈景润，中国现代数学家，世界著名解析数中国现代数学家，世界著名解析数 论学家之一。论学家之一。 1966年，陈景润攻克了世界年，陈景润攻克了世界 著名数学难题著名数学难题“哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想”中的中的(1+2)， 创造了距摘取这颗数论皇冠上的明珠创造了距摘取这颗数论皇冠上的明珠(1+ 1) 只是一步之遥的辉煌。他在哥德巴赫猜想的只是一步之遥的辉煌。他在哥德巴赫猜想的 研究上居世界领先地位。他研究

14、哥德巴赫猜研究上居世界领先地位。他研究哥德巴赫猜 想和其他数论问题的成就，至今，仍然在世想和其他数论问题的成就，至今，仍然在世 界上遥遥领先。世界级的数学大师、美国学界上遥遥领先。世界级的数学大师、美国学 者阿者阿 威尔威尔(a weil)曾这样称赞他：曾这样称赞他：“陈景陈景 润的每一项工作，都好像是在喜马拉雅山山润的每一项工作，都好像是在喜马拉雅山山 巅上行走。巅上行走。” 陈景润于陈景润于1978年和年和1982年两年两 次收到国际数学家大会请他作次收到国际数学家大会请他作45分钟报告的分钟报告的 邀请，这是中国人的自豪和骄傲邀请，这是中国人的自豪和骄傲 大约公元前世纪，不可通约量的发现

15、导致了毕达哥拉斯大约公元前世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯 悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研 究，把几何、算术、天文、音乐称为究，把几何、算术、天文、音乐称为 四艺四艺 ，在其中追求宇宙，在其中追求宇宙 的和谐规律性。他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或的和谐规律性。他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或 整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理， 但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数但由此也发现了一些直角三角形的斜边不

16、能表示成整数或整数 之比（不可通约）的情形，如直角边长均为的直角三角形就之比（不可通约）的情形，如直角边长均为的直角三角形就 是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当 时认识上的时认识上的 危机危机 ，从而产生了第一次数学危机。，从而产生了第一次数学危机。 到了公元前到了公元前370370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过 给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法，给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法， 出现在欧几里得出现在欧几里得原本原本第卷中。欧多克斯和狄德

17、金于第卷中。欧多克斯和狄德金于 18721872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。今天中学年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。今天中学 几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而 带来的某些困难和微妙之处。带来的某些困难和微妙之处。 第一次数学危机对古希腊的数第一次数学危机对古希腊的数 学观点有极大冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，学观点有极大冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关， 几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来 表示出来，整数的

18、权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。 危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的， 从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系， 这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！ 1818世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成 功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性

19、是毫不怀疑的。 17341734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表年，英国哲学家、大主教贝克莱发表分析学家或者分析学家或者 向一个不信正教数学家的进言向一个不信正教数学家的进言，矛头指向微积分的基础，矛头指向微积分的基础- -无穷无穷 小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指出：小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指出： 牛顿在求牛顿在求x xn n的导的导 数时，采取了先给数时，采取了先给x x以增量，应用二项式（以增量，应用二项式（x+0 x+0）n n，从中减去，从中减去 x xn n以求得增量，并除以以求出以求得增量，并除以以求出xnxn的增量与的增量与x x的增量之比，然后的增量之比，然后

20、又让消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾又让消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾 律的手续律的手续先设先设x x有增量，又令增量为零，也即假设有增量，又令增量为零，也即假设x x没有增没有增 量。量。 他认为无穷小他认为无穷小dxdx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即既等于零又不等于零，召之即来，挥之即 去，这是荒谬，去，这是荒谬，dxdx为逝去量的灵魂为逝去量的灵魂 。无穷小量究竟是不是零？。无穷小量究竟是不是零？ 无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长 达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次

21、数学危机。达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。 18世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式 的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小 概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念 不清楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用， 不考虑连续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函 数可否展成幂级数等等。 直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分 的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的 工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中 间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定 了严格的基础。 数学史上的第三次

22、危机，是由数学史上的第三次危机，是由18971897年的突然冲击而出现的，年的突然冲击而出现的， 到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机 是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合 概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的 基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本 结构的有效性的怀疑。结构的有效性的怀疑。 18

23、971897年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。两年后，康年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。两年后，康 托发现了很相似的悖论。托发现了很相似的悖论。19021902年，罗素又发现了一个悖论，它除年，罗素又发现了一个悖论，它除 了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗素悖论曾被以多种形了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗素悖论曾被以多种形 式通俗化。其中最著名的是罗素于式通俗化。其中最著名的是罗素于19191919年给出的，它涉及到某村年给出的，它涉及到某村 理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己 刮脸的人刮脸，并且

24、，只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答 下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质： 理发师是否自己理发师是否自己 给自己刮脸？给自己刮脸？ 如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮 脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。 罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎弗雷格在收罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎弗雷格在收 到罗素的信之后，在他刚要出版的到罗素的信之后，在他刚要出版的算术的基本法则算术的基本

25、法则第第 卷末尾写道：卷末尾写道： 一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了， 即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的 时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地 。于是终结了。于是终结了 近近1212年的刻苦钻研。年的刻苦钻研。 承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出 来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除， 矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步

26、一步地丧失。矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。 现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又 不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所 以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形 式延续着。式延续着。 毕达哥拉斯学派所倡导的是一种毕达哥拉斯学派所倡导的是一种“唯数论唯数论”的哲学，认为的哲学，认为 宇宙的本质就是数的和谐性，即一切事物和现象都可归结为宇宙的本质就是数的和谐性，即一切事物和现象都可归结为 整数

27、与整数的比。但关于正方形的对角线与其边长的不可公整数与整数的比。但关于正方形的对角线与其边长的不可公 度线段度线段( (即其长度不能归结为整数的比即其长度不能归结为整数的比) )的存在和证明，使毕氏的存在和证明，使毕氏 学派的基本信念遭到了致命的打击。这一不可公度性的证明学派的基本信念遭到了致命的打击。这一不可公度性的证明 在当时就被认为是悖论，人们称之为毕达哥拉斯悖论。在当时就被认为是悖论，人们称之为毕达哥拉斯悖论。 埃利亚学派在世界本质问题上认为只有埃利亚学派在世界本质问题上认为只有“存存 在在”( (神神) )是不生不灭的，它是完整、唯一和不动的。是不生不灭的，它是完整、唯一和不动的。

28、芝诺力图证明，如果承认芝诺力图证明，如果承认“多多”和和“运动运动”，就会，就会 招致招致“更加可笑的后果更加可笑的后果”，陷入更大的矛盾。在芝，陷入更大的矛盾。在芝 诺的论证中，有四个是最著名的，即诺的论证中，有四个是最著名的，即“二分法二分法”、 “阿基里斯追龟阿基里斯追龟”、“飞箭飞箭”、“运动场运动场”等，人等，人 们称之为芝诺悖论。们称之为芝诺悖论。 二分法二分法 l“二分法二分法”是这样陈述的：物体在到达目的是这样陈述的：物体在到达目的 地之前必须先到达全程的一半，要到达全地之前必须先到达全程的一半，要到达全 程的一半，就必须到达全程的四分之一，程的一半，就必须到达全程的四分之一，

29、 这样的要求可以无限下去。所以，如果物这样的要求可以无限下去。所以，如果物 体起动了，它永远到不了终点，或者它根体起动了，它永远到不了终点，或者它根 本动本动 不了。不了。 阿基里斯追龟阿基里斯追龟 阿基里斯是古希腊的长跑健将，但是芝诺说阿基里斯是古希腊的长跑健将，但是芝诺说 他永远也追不上一只乌龟。他永远也追不上一只乌龟。 如果让乌龟先行一段路程，那么阿基里斯将永如果让乌龟先行一段路程，那么阿基里斯将永 远追不上乌龟。乌龟先行了一段距离，阿基里斯远追不上乌龟。乌龟先行了一段距离，阿基里斯 为了赶上乌龟，必须要到达乌龟的出发点为了赶上乌龟，必须要到达乌龟的出发点a。但当。但当 阿基里斯到达阿基

30、里斯到达a点时，乌龟已经向前进到了点时，乌龟已经向前进到了b点。点。 而当阿基里斯到达而当阿基里斯到达b点时，乌龟又已经到了点时，乌龟又已经到了b前面前面 的的c点点.依此类推，两者虽越来越接近，但阿依此类推，两者虽越来越接近，但阿 基里斯永远落在乌龟的后面而追不上乌龟。基里斯永远落在乌龟的后面而追不上乌龟。 古典数学名著古典数学名著几何原本几何原本的第一个注释者普罗的第一个注释者普罗 克鲁斯看到圆的直径把圆分成两个半圆，而圆的直径克鲁斯看到圆的直径把圆分成两个半圆，而圆的直径 有无穷多，所以他认为半圆的数目应当是两倍的无穷有无穷多，所以他认为半圆的数目应当是两倍的无穷 多。按当时的无穷思想，

31、无穷应当是相等的，于是产多。按当时的无穷思想，无穷应当是相等的，于是产 生了生了“一个无穷大等于两个无穷大一个无穷大等于两个无穷大”的悖论，被人称的悖论，被人称 为普罗克鲁斯悖论。为普罗克鲁斯悖论。 亚里士多德发现，在两个同心而半径不相等的亚里士多德发现，在两个同心而半径不相等的 圆周上有相同的点数，被称之为亚里士多德悖论，圆周上有相同的点数，被称之为亚里士多德悖论， 即即“大小不同的两个圆之周长相等大小不同的两个圆之周长相等”的悖论。的悖论。 l 伽利略注意到，固定两个半径不相等的同心圆，伽利略注意到，固定两个半径不相等的同心圆， 再将其旋转一周，并认为证明了这两个圆的周长再将其旋转一周，并

32、认为证明了这两个圆的周长 相等的悖论，这是亚里士多德悖论的另一种证明。相等的悖论，这是亚里士多德悖论的另一种证明。 同时，伽利略还用今天的一一对应方法证明了同时，伽利略还用今天的一一对应方法证明了 “整数同其平方数相等整数同其平方数相等”，于是得出，于是得出“部分等于部分等于 全体全体”的悖论，被人称为伽利略悖论。的悖论，被人称为伽利略悖论。 l 早在早在16381638 年，意大利天文学家伽利略发现了这样年，意大利天文学家伽利略发现了这样 一个问题，就是：正整数集合：一个问题，就是：正整数集合： s1= 1, 2, 3, , n,s1= 1, 2, 3, , n, 与正整数的平方数集合：与正

33、整数的平方数集合： s2= 1, 4, 9, , ns2= 1, 4, 9, , n2 2, 这两个集合中，哪一个的元素更多一些呢？一方面，这两个集合中，哪一个的元素更多一些呢？一方面， 凡是凡是s2s2中的元素，都是中的元素，都是s1s1 中的元素，亦即中的元素，亦即s2s2 是是s1s1 的一个子集合，而且是一个真子集合，的一个子集合，而且是一个真子集合，这样，这样， s1s1的元素要比的元素要比s2s2的元素多一些，但是，另一方面，的元素多一些，但是，另一方面， s1s1中每一个元素都有中每一个元素都有s2s2中唯一的元素与之对应，中唯一的元素与之对应， 这样这样s2s2的元素个数又不比

34、的元素个数又不比s1s1少了。到底少了。到底s2s2是否比是否比s1s1 少呢？伽利略对此困惑不解，许多数学家也回答不少呢？伽利略对此困惑不解，许多数学家也回答不 了这个问题。了这个问题。 因为伽利略是最早提出来部分究竟等不等于整体因为伽利略是最早提出来部分究竟等不等于整体 的，所以这个悖论便称为是伽利略悖论的，所以这个悖论便称为是伽利略悖论 在在1717世纪末期产生了牛顿和莱布尼茨的微积分。这个微积分世纪末期产生了牛顿和莱布尼茨的微积分。这个微积分 完全以实无穷小为基础。关于实无穷小，人们自然地会问：它完全以实无穷小为基础。关于实无穷小，人们自然地会问：它 到底是零还是非零？如果到底是零还是非零？如果dxdx=0=0，就得出，就得出dy/dxdy/dx=0/0=0/0这一毫无意这一毫无意 义的结果；如果义的结