2.高考中悄然兴起的函数双切线问题

1、中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明高考中悄然兴起的函数双切线问题函数双切线问题的基本类型和解题策略 若函数f(x)的图像为c,过一点m(点m可在,可不在c上)作c的切线,首先诱发的是可作的切线问题,特别的,可作两条切线时,如何解决两条切线(双切线)问题,这些问题在高考中悄然兴起,并逐渐升温,成为不可忽视的热点和亮点.母题结构:己知函数f(x)的图像为c,过一点m(a,b)作c的切线,可作切线的条数关于t的方程f(t)+(t)(a-t)-b=0相异实根的个数;若可作切线两条切线,则两切点的横坐标恰是方程f(t)+(t)(a-t

2、)-b=0的两实根.母题解析:设过点m(a,b)作c的切线与c相切于点p(t,f(t),则c在点p的切线l:y-f(t)=(t)(x-t);由点m(a,b)在切线l上b-f(t)=(t)(a-t)f(t)+(t)(a-t)-b=0;可作切线的条数切点p的个数关于t的方程f(t)+(t)(a-t)-b=0相异实根的个数;若可作切线两条切线,则两切点的横坐标恰是方程f(t)+(t)(a-t)-b=0的两实根. 1.解题方法比较 子题类型:(2010年北京大学自主招生数学试题)如图,a、b为y=1-x2上在y轴两侧的点,求过a、b的切线与x轴围成面积的最小值.解析:(法一)设a(-a,1-a2),b

3、(b,1-b2)(a,b0),由y=1-x2=-2x|x=-a=2a,|x=b=-2b在a、b的切线方程ad:y=2ax+a2+1、bd:y=-2bx+b2+1ad、bd分别与x轴的交点c(-,0)、e(,0),两切线的交点d(,ab+1)围成面积s=(+)(ab+1)=(ab+1);令x=0,f(x)=(x)=(3x2-1)f(x)的最小值=f()=当a=b=时,围成面积s取得最小值.(法二)设a(t1,1-t12)(t10),两切线交于点d(x0,y0),由y=1-x2=-2x|x=t=-2t曲线在点p(t,1-t2)处的切线:y=-2tx+t2+1t2-2x0t+1-y0=0有两根t1,

4、t2t1+t2=2x0,t1t2=1-y01;又由切线d、bd分别与x轴的交点c(,0)、e(,0)|ce|=(t2-t1)+(-)=(t2-t1)(1-)=(1-)=切线d、bd与x轴围成的cde面积=|ce|y0=(令=m0)=(m3+2m+);令f(m)=(m3+2m+),则(m)=(3m2-1)f(x)的最小值=f()=切线d、bd与x轴围成的cde面积的最小值=.点评:解法一是分别设出切点,并分别写出切线方程,个别处理;解法二则是统一设切点p(t,f(t),然后,根据切点的横坐标恰是方程f(t)+(t)(a-t)-b=0的实根,进行整体处理;两种解法各有特点,是解决双切线问题的统一方

5、法. 2.切线条数定理 子题类型:(2007年全国高考试题)己知函数f(x)=x3-x.()求曲线y=f(x)在点m(t,f(t)处的切线方程;()设a0,如果过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线,证明:-ab0,且b-f(a)0-abf(a).点评:我们把“过点m(a,b)作曲线y=f(x)的切线,则可作的切线条数关于t的方程b-f(t)=(t)(a-t)函数g(t)=f(t)+(t)(a-t)-b的零点个数”,叫做切线条数定理;它可统一解决切线条数问题. 3.基本问题类型 子题类型:(2013年四川高考试题)已知函数f(x)=,其中a是实数.设a(x1,f(x1),b(x2,f(x

6、2)为该函数图象上的两点,且x1x2.()指出函数f(x)的单调区间;()若函数f(x)的图象在点a,b处的切线互相垂直,且x20,求x2-x1的最小值;()若函数f(x)的图象在点a,b处的切线重合,求a的取值范围.解析:()函数f(x)的单调递减区间为(-,-1),单调递增区间为-1,0)和(0,+);()当x0时,f(x)=x2+2x+a(x)=2x+2;由点a处的切线与点b处的切线垂直(x1)(x2)=-1(2x1+2)(2x2+2)=-12x1+20x2-x1=-(2x1+2)+(2x2+2)=1,当且仅当-(2x1+2)=2x2+2=1,即x1=-,x2=-时等号成立x2-x1的最

7、小值=1;()当x1x2x10时,(x1)(x2),故x100-1x10;a=x12-ln(2x1+2)-1;设g(x)=x2-ln(2x+2)-1(-1x0),则(x)=2x-g(0)=-ln2-1,且当x趋近于-1时,g(x)无限增大a的取值范围是(-ln2-1,+).点评:双切线问题的根本问题是存在双切线的条件,一般问题是由双切线引发的问题,典型问题是两条切线的位置关系,特别是相互垂直等问题;双切线问题可引发许多有意思的问题. 4.子题系列:1.(2011年“华约”自主招生试题)已知y=x3-x2-2x+1,过(-1,1)的直线与该函数图像相切,且(-1,1)不是切点,求直线斜率.2.(

8、2004年全国高考试题)己知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1l2.()求直线l2的方程; ()求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积.3.(2014年北京高考试题)已知函数f(x)=2x3-3x.()求f(x)在区间-2,1上的最大值;()若过点p(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围;()问过点a(-1,2),b(2,10),c(0,2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切？(只需写出结论).4.(2010年湖北高考试题)设函数f(x)=x3-x2+bx+c,其中a0.曲线y=f(x)在点p(0,f(0)处的

9、切线方程为y=1.()确定b,c的值;()设曲线y=f(x)在点(x1,f(x1)及(x2,f(x2)处的切线都过点(0,2).证明:当x1x2时,(x1)(x2);()若过点(0,2)可作曲线y=f(x)的三条不同切线,求a的取值范围.5.(2013年湖南高考试题)已知a0,函数f(x)=|.()记f(x)在区间0,4上的最大值为g(a),求g(a)的表达式;()是否存在a使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直？若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.6.(2012年福建高考试题)已知函数f(x)=ex+ax2-ex,ar.()若曲线y=f(x

10、)在点(1,f(1)处的切线平行于x轴,求函数f(x)的单调区间;()试确定a的取值范围,使得曲线y=f(x)上存在唯一的点p,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点p. 5.子题详解:1.解:设p(-1,1),切点q(t,t3-t2-2t+1)(t-1)kpq=t(t-2),=3x2-2x-2x=t=3t2-2t-2;由x=t=kpqt=1kpq=-1.2.解:()由y=x2+x-2=2x+1|x=1=3.所以,l1:y=3(x-1);设直线l2与曲线相切于点p(x0,y0),则=2x0+1,由=x0=点p(,),所以,l2:y+=(x+),即y=x;()由()知l1、l2与x轴分别交于点a

11、(1,0)、b(,0),l1与l2相交于点c(,),所以sabc=.3.解:()由(x)=6(x+)(x-),f(-)=,f(1)=-1f(x)在区间-2,1上的最大值=f(-)=;()设过点p(1,t)的直线与曲线y=f(x)相切于点q(s,2s3-3s)切线pq:y-(2s3-3s)=3(2s2-1)(x-s);由切线pq过点p(1,t)t-(2s3-3s)=3(2s2-1)(1-s)4s3-6s2+t+3=0;过点p(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切方程4s3-6s2+t+3=0有三个相异的实根;令g(s)=4s3-6s2,则(s)=12s(s-1)g(s)的极大值=g(0)=

12、0,g(s)的极小值=g(1)=-2;所以,方程4s3-6s2+t+3=0有三个相异的实根-2-t-30,g(t)的极小值=g()=6-a3;所以方程4t3-3at2+6=0有三个相异的实根g(t)的极小值06-a30a的取值范围是(2,+).5.解:()当0xa时,f(x)=(x)=-a时,f(x)=(x)=f(x)在a,+)上单调递增;若a4,则g(a)=f(0)=;若0a4,则g(a)=maxf(0),f(4);由f(0)-f(4)=-=;(i)当0a1时,g(a)=f(4)=;(ii)当1a4时,g(a)=f(0)=.综上,当01时,g(a)=;()由()知,当a4时,f(x)在区间(

13、0,4)上单调递减,不满足要求;当0a4时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增,若存在x1,x2(0,4)(x1x2),使曲线y=f(x)在两点处的切线互相垂直.则x1(0,a),x2(a,4),且(x1)(x2)=-1-=-1x1+2a=;由x1(0,a)x1+2a(2a,3a),(,1)(2a,3a)(,1);由3a当且仅当02a1,即0aa的取值范围是(0,).6.解:()由(x)=ex+2ax-e(1)=2a;由曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线平行于x轴(1)=0a=0(x)=ex-ef(x)的单调递减区间为(-,1),单调递增区间为(1,+);()设p(t,et+at2-et),则曲线y=f(x)在点p处的切线:y=(t)(x-t)+f(t);曲线在点p处的切线与曲线只有一个公共点pg(x)=f(x)-(t)(x-t)+f(t)恰有一个零点x=t;由(x