多元线性回归模型公式

1、二、多元线性回归模型在多要素的地理环境系统中，多个（多于两个）要素之间也存在着相互影响、相互关联的情况。因此，多元地理回归模型更带有普遍性的意义。（一）多元线性回归模型的建立 假设某一因变量y受k个自变量X1,X2,.,Xk的影响，其n组观测值为（ya,X1a,X2a,.,Xka），a 1,2,., n。那么，多元线性回归模型的结构形式为:Ya01X1a2X2akXka a （ S2*11）式中:k为待定参数;a为随机变量。如果b0,bi,.,bk分别为0, 1, 2., k的拟合值,则回归方程为?=b0biX-ib2x2.bkXk（ 3.2.12）式中:bo为常数;bi,b2,.,bk称为偏

2、回归系数。偏回归系数bi（ i 1,2,.,k ）的意义是，当其他自变量 Xj（ j i）都固定时，自变量Xi每变化一个单位而使因变量y平均改变的数值。根据最小二乘法原理,（i0,1,2,.,k ）的估计值 bi（i 0,1,2,.,k ）应该使nQYaYaa 1nYaa 1b0b1 x1ab2X2a2bk Xkamin （ 3.2.13）有求极值的必要条件得QbjQb0n2a 1n2 Yaa 1Ya0Ya Ya Xja（3.2.14 ）0（ j 1,2,., k）将方程组（3.2.14 ）式展开整理后得:11nb0n ( a n ( a1x1a )b0x2a)b0n( xka)b0a1n(a

3、n(a1nx1a)b1x12a )b1n(an(x1a x2a)b1a1n( x1a xka )b1 a1方程组（ 3.2.15 如果引入一下向量和矩阵：nx2a)b2 . ( xka )bk1 a 1na1x1a x2a)b2 . (x1a xka)bka1n1n2( x2a)b2 . ( a 1 an( x2axka )b2a1式，被称为正规方程组。A XT Xyax2axka)bk1xk2a ) bk1nx1aya a1n( 3.2.15 )x2aya a1nxkayaa1b0y11x11x21. xk1b1y21x12x22. xk2b2 ,Y.2. , X1x13x23. xk 3.

4、yn. .bk1x1nx2n. xkn111. 11x11x21. xk1x11x12x13. x1n1x12x22. x k 2x21x22x23. x2n1x13x23. xk 3xk1xk2xk3. xkn1x1nx2n. xknnx1anx1aa1 na1n2x1aa1a1B X TYx2axkaa1nx2a a1 nx1ax2a1nnxka1x1axkax1ax2ax1a xka2a1x2 a xka111. 1y1x11x12x13.x1 ny2x21x22x23. x2 ny3xk1xk2xk3. xknyn则正规方程组（ 3.2.15 ）式可以进一步写成矩阵形式a1nx2axk

5、a12xkanyaa1 nx1a yaa1nx2aya a1nxka yaa1Ab B (3.2.15 )求解（3.2.15 ）式可得:1B (XTX) 1XTY (3.2.16)如果引入记号:LijLji(XiaXi)(XjaXj)(i,j1,2,., k)1Liy(XiaXi)( yay)(i 1,2,.,k)则正规方程组也可以写成:LudL12b2.L1kL1yL21b1L22b2.L2kL2yLk1b1Lk2b2. LkkhLkyd yb,X1b2X2.bkXk(3215 )（二）多元线性回归模型的显著性检验与一元线性回归模型一样，当多元线性回归模型建立以后，也需要进行显著性检验。 与

6、前面 的一元线性回归分析一样，因变量 y的观测值y1, y2,.,yn之间的波动或差异，是由两个因素引起的，一是由于自变量X1,x2,.,xk的取之不同，另一是受其他随机因素的影响而引起的。为了从y的离差平方和中把它们区分开来，就需要对回归模型进行方差分析，也就是将y的离差平方和St或（Lyy）分解成两个部分，即回归平方和U与剩余平方和 QStLyy U在多元线性回归分析中, 按公式回归平方和表示的是所有k个自变量对y的变差的总影响，它可以计算，而剩余平方和为nQ (yaa 12y)2ya)kbi Liyi 1Lyy U以上几个公式与一元线性回归分析中的有关公式完全相似。它们所代表的意义也相似，即回归平方和越大，则剩余平方和Q就越小，回归模型的效果就越好。不过，在多元线性回归分 析中，各平方和的自由度略有不