立体几何线面垂直的证明

1、立 体 几 何 证 明 【知识梳理】 1. 直线与平面平行 判定定理： 如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个 平面平行（“线线平行=线面平行”） 性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那 么这条直线和交线平行（“线面平行=线线平行”） 2.直线与平面垂直 判定定理一如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线 垂直于这个平面（“线线垂直=线面垂直”） 判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 性质1.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线。 （线面垂直=线线

2、垂直） 性质2 :如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行 三。平面与平面 空间两个平面的位置关系：相交、平行 1. 平面与平面平行 判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平 行（“线面平行=面面平行”） 2. 两个平面垂直 判定定理:女口果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面. （“线面垂直=面面垂直” ） 性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一 个平面.（面面垂直=线面垂直） 知识点一 【例题精讲】 1.在棱长为2的正方体ABCD - AiBiCiDi中，E、F分别为DD1、DB的中点。

3、 (3)求三棱锥Bi - EFC的体积V. 平面 BDiC _ BiC EF _ BiC ； m AB (1)求证：EF/ 平面 ABCiDi ;( 2)求证: 2. 如图所示,四棱锥P-ABCD底面是直角梯形 BA _ AD, CD _ AD, CD =2AB, PA _ 底面 ABCDE为 PC的中点， PA= AB AB= i. (1) 证明：EB /平面PAD ; (2) 证明：BE 平面PDC ; (3) 求三棱锥 B-PDC勺体积V. 3、如图所示，在四棱锥 P- ABCD中，PA丄底面 ABCD , AB丄AD , AC丄CD , / ABC=60 , PA=AB=BC , E

4、是 PC 的中点，证明： (i) AE丄CD (2) PD丄平面 ABE. r. 4、.如图，三棱柱 ABC - AiBiCi 中，CA=CB , AB=AA i, / BAA i=60 (I)证明：AB 丄AiC; 1如图，菱形ABCD与等边 PAD所在的平面相互垂直，AD=2 , / DAB=60. (I)证明：AD丄PB;(H )求三棱锥 C- PAB的高. 2如图1-4所示， ABC和厶BCD所在平面互相垂直，且 AB = BC= BD = 2, / ABC = / DBC = 120, E, F, G分别为AC, DC , AD的中点.求证： EF丄平面BCG ; 3如图1-1所示，

5、三棱柱 ABC - A1B1C1中，点Ai在平面ABC内的射影D在AC 上, / ACB =90 , BC= 1, AC = CC1 = 2. 4、如图，在三棱台 ABC - DEF 中，平面 BCFE 丄平面 ABC，/ ACB=90 , BE=EF=FC=1 , BC=2 , AC=3 . (I)求证：BF丄平面ACFD ; (H )求直线 BD与平面ACFD所成角的余弦 值. 5、三棱锥 P- ABC 中，/ BAC=90 , PA=PB=PC=BC=2AB=2 , (1)求证：面 PBC 丄面 ABC 6. 已知四棱锥P-ABCD中,底面四边形为正方形，侧面PDC为正三角形,且平面PD

6、CL底面 ABCD,E为PC的中点 求证:PA/平面EDB; （2）求证:平面EDBL平面PBC; 7、如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD为矩形，平面 PAB丄平面 ABCD , PA丄PB , BP=BC , E为PC的中点. 1）求证: AP / 平面 BDE ; 2.求证BE垂直平面PAC B 8将如图一的矩形ABMD沿CD翻折后构成一四棱锥 M - ABCD （如图二）， 若在四棱锥 M - ABCD中有MA=二.（1）求证：AC丄MD ;（ 2）求四棱锥 M -ABCD的体积. 图一图二 作业 1、如图1,菱形ABCD的边长为12, / BAD=60, AC交BD于点0

7、 将菱形 ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B-ACD，点M , N分别是棱BC, AD的 中点，且DM=6匚. (I)求证：0D丄平面ABC; 2、如图，在斜三棱柱 ABC - AiBiCi中，0是AC的中点，AQ丄平面 ABC, / BCA=90 AA i=AC=BC .(I)求证： AiB丄 ACi； 3、如图所示，四棱锥P-ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD 是/ ABC=60的菱形，M为PC的中点，PC= ；( I)求证：PC丄AD ; 4、如图，四棱锥 P-ABCD 线段AD , PC的中点. E , F分别为 (I)求证：AP /平面BEF ; (n)求证：

8、BE丄平面PAC . 5、如图，四棱锥 S-ABCD中，AB / CD , BC丄CD，侧面SAB为等边三角形. CD=1 , SD= _. (1)证明：CD丄 SD; AB=BC=2 , 6如图，四棱锥 S-ABCD中， ABD是正三角形，CB=CD , SC丄BD . (I)求证：SB=SD ; (n)若/ BCD=120 , M为棱SA的中点，求证： DM /平面SBC. 1 中，AP 丄平面 PCD , AD / BC, AB=BC= AD , c 2 7、如图，在矩形 ABCD中，点E为边AD上的点，点F为边CD的中点， AB = AE =2AD =4，现将 MBE沿BE边折至APBE位置，且平面 PBE丄平面 3 BCDE. (1)求证：平面 PBE _平面PEF ； 8、如图5.在椎体 P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形, 且/ DAB=60 , PA = PD = . 2 ,PB=2, E,F分别是BC,PC的中点. (1) 证明：AD 平面DEF; 9、在如图所示的多面体 ABCDEF中，ABCD为直角梯形， AB/CD , DAB =90 , 四边形ADEF为等腰梯形，EF /AD，已知AE EC , AB二AF二EF = 2, AD 二 CD =4 . (I)求证：平面 ABCD 平面ADEF 10.如图