第三节任意项级数的绝对收敛敛与条件收敛2012-2-8

1、注意：下次上课千万别缺课，内容重要。预习幕级数 =级数发散。即 注意：通项极限不是零 oO lim un 0 二 un 发 ni: 散.lim山=0不能推出 : ：1 、un收敛。例7 -发散，但 n 4n n 1 lim un = lim 0 . n n ： n 11.3任意项级数的绝对收敛与条 件收敛 教学目的：弄清交错级数的概念，掌握莱布尼茨判别法； 掌握任意项级数的绝对收敛与条件收敛概念， 能灵活正确运用各种判别法判断所给级数的 敛散性. 重点：掌握任意项级数的绝对收敛与条件收敛概念，并能 灵活正确判断所给级数的敛散性. 难点：灵活正确判断所给级数的敛散性. 教学方法：讲练结合 教学过

2、程： 本节将讨论不限制项的正负的级数-任意项级数. 一、交错级数及其敛散性 1. 【定义11.3】形如 O0 为（-1）2山=Ui -U2 +U3 -厲 + +（-1）n，Un+ n d oO 或（1）nun = -“ + u2 - u3 + + （T）n Un + 的级数 n d 称为交错级数.其中un 0,（ n =1,2,）. 2. 【定理11.6】（莱布尼茨定理）设送（一1）2叫为交错 n =1 级数，若满足 (1) Un Un 1 ,( n =1,2,)； oO limun=0,贝U a (-1)nun收敛，且级数和 FnJ n S乞Ui ,其余项Rn的绝对值I Rn l S, cd

3、 limSn=SU|,故 a (-1)n，Un 收敛. nn n 乂 (3)注意到级数Rn=Un+-Un七+ 也满足本定理的 两个条件 Rn兰4十 1 例1 (1)证明级数a (-1)n-是收敛的,并估计误差 n dn IRnI. 1 证明令Un : n 由于 =0 且 Un - Un !, n 二 1,2, 故原级数收敛( 由莱布尼茨定理知) 1 1 且其和 S O, = 1 ,其误差为Rn兰U 2 34 (2)判断级数1 一2-的敛散性. 3 57 解因为un n ，Un 1 2n -1 n n 1 n +1 2n 1 Un Un卅 _2n 十 1 2n +1 n(2n 1) -(2n -

4、1)(n1) (2n -1)(2n 1) 由于 nimunJm：2n-1 n 1 寸0， 由莱不尼兹定理知原级数发散. 练习：判断下列级数的敛散性 00 1 (1 ) (-1)丄 (收敛，可以证明x 1时, n4 In n ) 1 I (收敛) n 1 In x cln(x+1 oO (2) Z (1)nT n J od (3) (-1)nln(收敛) n *n 二、绝对收敛与条件收敛 1.【定理11.7】对于任意项级数 oOCO 工un ,若v | un |收敛， n Tn d oO 则7 Un收敛(反之不然.) n d 1 证明因 0j=2(Un SWnl， 又因为v | un |收敛,

5、n d oO 所以由正项级数的比较判别法知 送vn收敛. n =1 3 -0 oOoO 由 Un = 2% - |Un | ,且 V“、T | 均收敛 n -1n -1 cd 故 、 Un收敛 n =1 oo彳ao 反之不然例如7 (-1)n丄收敛，但7 -发散 n1nn2 n aO 2. 【定义11.4】若 |un |收敛； n 4 CO 则级数v Un收敛且绝对收敛 n =1 CoO 级数v Un收敛，但jUn |发散, n n d QO 则un收敛且条件收敛 n 4 匕J1 例如：而级数7 (-1)n1条件收敛；级数 n mn 0彳aC 、 (-1)2 + 绝对收敛,级数 7 (-1)2

6、qn(0 ： q ： 1) n Ann d 绝对收敛 3. 【定理11.8】如果任意项级数 oO 7 Un =5U2亠 一 Un 满足条件 n =1 I j ：或 l=nim：n|Un|，则 oO (1)若I ： 1 ,级数7 Un收敛，且绝对收敛 n=1 QO 若I 1 ,级数Un发散 n =1 oOoO 证明I ：1时，正项级数x |Un |收敛= Un收敛 n =1n =1 X 7 l = lim n: Un 1 Un lim un = 0 n i. 1二 Un卅 Un =lim Un n_sq! -1时，v un发散 n 4 判断下列级数的敛散性: 0 、(-1) n =0 :_ n

7、z X n =9 oo z n 4 oO 二 nx n 4 解( 1) (1) (2) (3) n! n X n! n n 2! 1 2 X + 2! 2 X 二 X 2 3! + 32 n x n! n X +J n n -1 (n 1)! (-1)n n! + n n n_n! 2 n 故原级数收敛且绝对收敛 Un =lim I n . n 1 (2)因为 lim n - Un 1 Un = lim n (n 1)! = lim 亠 n n 1 所以对-xR，原级数收敛且绝对收敛. !n 由上两题得重要结论：lim ! = 0,lim 0 . n ；：nnn n! n出 (3) lim.

8、nj - Un 1 nimn 1 当X 1时，原级数收敛且绝对收敛; 当X 1时，原级数发散 当X =1时，级数成为调和级数，它是发散的; 当X二-1时，级数成为、(_1)n nn 它是条件收敛的级数. (4) lim n: n x (n +1) n_1 x n lim(1 )x n n 当X 1时，原级数收敛且绝对收敛; 当X工1时，原级数发散 其中X =1时，级数通项的极限不为零 例3判断下列级数的敛散性 (1) sinna 2 (n 1)2 因为 sinna (n 1)2 L ”： 2且级数2收敛， (n 1)2n2心 n2 由正项级数的比较判别法知级数 sinna (n 1)2 n 4

9、 :(-1) sin JI n 1 故原级数收敛且绝对收敛 (2)、 n d n sin n 1 3n 1 n/ : Un (-1)nsin 3n n -1 (T)丙 JI =lim - n 2 = 11, (n=时 sin ) n 3 二 3n 1 n 1 n 1 所以瓦un收敛，故原级数绝对收敛 n =1 JI Sin 4001 另解：Un=n3兰尙二Vn，瓦爲收敛 33心3 =原级数绝对收敛 练习： 判断和n(n+1)敛散性. 提示: 因为 cosna n(n 1) 1 1 亠 n(n 1)n2 9 级数2收敛=原级数收敛且绝对收敛 n d n 1 (2)(-1)n(1 -COL): n

10、dn 1 1 1 2 nT 时,1 _cos(_) n 2 n 原级数绝对收敛 (3) (-1)nln n21 2: n=时,ln(1 n 丄) n2 原级数绝对收敛 CO (1)n n d (2n-1)2 Un (2n -1)2n (n -1)2 1 且 2为收敛的P级数， n 所以原级数收敛且绝对收敛 0 ,而级数瓦a：收敛, n =1 则级数瓦(1)n7(). n #7 n 十 h (A)发散；(B)条件收敛；(C)绝对收敛；(D)收敛性与有 关. 答 (C).因为 (-1)n 1 - 2an )2 由题设知 A, n 00 2 00 1 Z an收敛,又瓦2收敛, n 4n 仝 n 故

11、原级数收敛且绝 对收敛 级数瓦(_1)n2nan收敛，则级数 n J (A)条件收敛；(B) (C)发散；(D) oQ 解(-1)n2nan 收敛 n 4 =lim 2“an =0二 2a :1 二收敛=:二 n#2n an (6) (06.4) 若级数 绝对收敛； 敛散性不定 0 ，所以v an收敛，且绝对收敛. oC 、an n d 收敛，则级数() oO (A)、 n z! oO (C) 7 anan q 收敛； n d oO 答(D).由an收敛可知 n d ” a +a + an收敛 oC (Bp (-1)nan 收敛； n T cO + (D)、电卜收敛. n d2 oo an *

12、收敛, n d 所以 n卜1收敛. i2 例5判断下列级数的敛散性 ：:1 (1 )讨论级数7 4的敛散性 n d n 19 提示： 1 1 : 1 Un- n2nJ - Vn , 刃收敛= n2n4 2 (2)判别级数 J 1 的敛散性 n 吕(n 2)( n 3) 正项级数2收敛. n j n n2 1n21 (n2 2)(n2 3) (n2 1)n2 ：1 且-Vng收敛= n 4n -1 n 2 2 ：(3)收敛. (3) 、 n 4 n 3 n(n 1)( n 2) 解：令un n(n 1)( n 2) oo 1 oO 3 又级数 v -y,飞收敛， n J n n J n oon

13、+ 3 所以正项级数7n 3 n m 收敛. n(n 1)( n 2) 111 1 1 1 1 357 od 解该级数为、- ，由1 n2n -1 2n 1 1 一 2n 1 发散知 2n 原级发散 12 3 4 345 由于 Un ，而叫叫 上 23 35 3 12 n = (一) 2n -1 3 =lim1 n ；：n 1 7 34 (2)n (3)， =0，该级数发散 远22 、(2)n是一个公比为的收敛 n4 33 几何级数，所以由正项级数的比较判别法可知原级数收 敛 0 1 2n 解令un =( n 1 2n n ),Vn l = lim Un n 5 1 2n = lim(亠 n

14、n 厂 1 2n 2n 二 lim nt: (1 2n )2丫 因为级数 1 2n 收敛 另解：令u n 1 2n n =1 n 1“ =lim1 n 1 2n 2 =原级数收敛. oO (8) sin2 nx n2 解： un片 sin2 n 2 2“ 2n n_ 2n MJ 1 n 2 p n Vn 所以正项级数 0 、卫收敛, nd 2n oO 故原级数瓦-sin2 n兀 收敛. n4 2n 练习：判定下列级数哪些是绝对收敛，哪些是条件收敛： 二（-J1 nd ln(n 1) (-1)n 1 ln( n 1) ln(n 1) n ：:1 1 . ,而调和级数 V 发散, 由比较判别法可知

15、级数 a n d n (-1)n 1 ln(n 1) 发散, -,又 ln(n 1) n, nd ln(n 1) 21 但由于 UnUn 1(n =1,2,),且 Hm：Un =0, 由莱不尼兹定理知级数 (-1)n1 諂ln(n+1)收敛, 故原级数条件收敛 (2) 1- X- 2 10 oO +丄_2_ 33 2 10 2 10 + 1 2 10 22 + 3 +1 +3 10223103 1 八、 2n 1 : 1 由于v飞和 2n#10 n台 X： Un 收敛，所以原级数 绝对收敛 心、19254981121 248163264 1 =*、 (- 1) 2 n(n4) (2n 1)2 2n 解设un n(n) (2n 1)