




版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
1、注意:下次上课千万别缺课,内容重要。预习幕级数 =级数发散。即 注意:通项极限不是零 oO lim un 0 二 un 发 ni: 散.lim山=0不能推出 : :1 、un收敛。例7 -发散,但 n 4n n 1 lim un = lim 0 . n n : n 11.3任意项级数的绝对收敛与条 件收敛 教学目的:弄清交错级数的概念,掌握莱布尼茨判别法; 掌握任意项级数的绝对收敛与条件收敛概念, 能灵活正确运用各种判别法判断所给级数的 敛散性. 重点:掌握任意项级数的绝对收敛与条件收敛概念,并能 灵活正确判断所给级数的敛散性. 难点:灵活正确判断所给级数的敛散性. 教学方法:讲练结合 教学过
2、程: 本节将讨论不限制项的正负的级数-任意项级数. 一、交错级数及其敛散性 1. 【定义11.3】形如 O0 为(-1)2山=Ui -U2 +U3 -厲 + +(-1)n,Un+ n d oO 或(1)nun = -“ + u2 - u3 + + (T)n Un + 的级数 n d 称为交错级数.其中un 0,( n =1,2,). 2. 【定理11.6】(莱布尼茨定理)设送(一1)2叫为交错 n =1 级数,若满足 (1) Un Un 1 ,( n =1,2,); oO limun=0,贝U a (-1)nun收敛,且级数和 FnJ n S乞Ui ,其余项Rn的绝对值I Rn l S, cd
3、 limSn=SU|,故 a (-1)n,Un 收敛. nn n 乂 (3)注意到级数Rn=Un+-Un七+ 也满足本定理的 两个条件 Rn兰4十 1 例1 (1)证明级数a (-1)n-是收敛的,并估计误差 n dn IRnI. 1 证明令Un : n 由于 =0 且 Un - Un !, n 二 1,2, 故原级数收敛( 由莱布尼茨定理知) 1 1 且其和 S O, = 1 ,其误差为Rn兰U 2 34 (2)判断级数1 一2-的敛散性. 3 57 解因为un n ,Un 1 2n -1 n n 1 n +1 2n 1 Un Un卅 _2n 十 1 2n +1 n(2n 1) -(2n -
4、1)(n1) (2n -1)(2n 1) 由于 nimunJm:2n-1 n 1 寸0, 由莱不尼兹定理知原级数发散. 练习:判断下列级数的敛散性 00 1 (1 ) (-1)丄 (收敛,可以证明x 1时, n4 In n ) 1 I (收敛) n 1 In x cln(x+1 oO (2) Z (1)nT n J od (3) (-1)nln(收敛) n *n 二、绝对收敛与条件收敛 1.【定理11.7】对于任意项级数 oOCO 工un ,若v | un |收敛, n Tn d oO 则7 Un收敛(反之不然.) n d 1 证明因 0j=2(Un SWnl, 又因为v | un |收敛,
5、n d oO 所以由正项级数的比较判别法知 送vn收敛. n =1 3 -0 oOoO 由 Un = 2% - |Un | ,且 V“、T | 均收敛 n -1n -1 cd 故 、 Un收敛 n =1 oo彳ao 反之不然例如7 (-1)n丄收敛,但7 -发散 n1nn2 n aO 2. 【定义11.4】若 |un |收敛; n 4 CO 则级数v Un收敛且绝对收敛 n =1 CoO 级数v Un收敛,但jUn |发散, n n d QO 则un收敛且条件收敛 n 4 匕J1 例如:而级数7 (-1)n1条件收敛;级数 n mn 0彳aC 、 (-1)2 + 绝对收敛,级数 7 (-1)2
6、qn(0 : q : 1) n Ann d 绝对收敛 3. 【定理11.8】如果任意项级数 oO 7 Un =5U2亠 一 Un 满足条件 n =1 I j :或 l=nim:n|Un|,则 oO (1)若I : 1 ,级数7 Un收敛,且绝对收敛 n=1 QO 若I 1 ,级数Un发散 n =1 oOoO 证明I :1时,正项级数x |Un |收敛= Un收敛 n =1n =1 X 7 l = lim n: Un 1 Un lim un = 0 n i. 1二 Un卅 Un =lim Un n_sq! -1时,v un发散 n 4 判断下列级数的敛散性: 0 、(-1) n =0 :_ n
7、z X n =9 oo z n 4 oO 二 nx n 4 解( 1) (1) (2) (3) n! n X n! n n 2! 1 2 X + 2! 2 X 二 X 2 3! + 32 n x n! n X +J n n -1 (n 1)! (-1)n n! + n n n_n! 2 n 故原级数收敛且绝对收敛 Un =lim I n . n 1 (2)因为 lim n - Un 1 Un = lim n (n 1)! = lim 亠 n n 1 所以对-xR,原级数收敛且绝对收敛. !n 由上两题得重要结论:lim ! = 0,lim 0 . n ;:nnn n! n出 (3) lim.
8、nj - Un 1 nimn 1 当X 1时,原级数收敛且绝对收敛; 当X 1时,原级数发散 当X =1时,级数成为调和级数,它是发散的; 当X二-1时,级数成为、(_1)n nn 它是条件收敛的级数. (4) lim n: n x (n +1) n_1 x n lim(1 )x n n 当X 1时,原级数收敛且绝对收敛; 当X工1时,原级数发散 其中X =1时,级数通项的极限不为零 例3判断下列级数的敛散性 (1) sinna 2 (n 1)2 因为 sinna (n 1)2 L ”: 2且级数2收敛, (n 1)2n2心 n2 由正项级数的比较判别法知级数 sinna (n 1)2 n 4
9、 :(-1) sin JI n 1 故原级数收敛且绝对收敛 (2)、 n d n sin n 1 3n 1 n/ : Un (-1)nsin 3n n -1 (T)丙 JI =lim - n 2 = 11, (n=时 sin ) n 3 二 3n 1 n 1 n 1 所以瓦un收敛,故原级数绝对收敛 n =1 JI Sin 4001 另解:Un=n3兰尙二Vn,瓦爲收敛 33心3 =原级数绝对收敛 练习: 判断和n(n+1)敛散性. 提示: 因为 cosna n(n 1) 1 1 亠 n(n 1)n2 9 级数2收敛=原级数收敛且绝对收敛 n d n 1 (2)(-1)n(1 -COL): n
10、dn 1 1 1 2 nT 时,1 _cos(_) n 2 n 原级数绝对收敛 (3) (-1)nln n21 2: n=时,ln(1 n 丄) n2 原级数绝对收敛 CO (1)n n d (2n-1)2 Un (2n -1)2n (n -1)2 1 且 2为收敛的P级数, n 所以原级数收敛且绝对收敛 0 ,而级数瓦a:收敛, n =1 则级数瓦(1)n7(). n #7 n 十 h (A)发散;(B)条件收敛;(C)绝对收敛;(D)收敛性与有 关. 答 (C).因为 (-1)n 1 - 2an )2 由题设知 A, n 00 2 00 1 Z an收敛,又瓦2收敛, n 4n 仝 n 故
11、原级数收敛且绝 对收敛 级数瓦(_1)n2nan收敛,则级数 n J (A)条件收敛;(B) (C)发散;(D) oQ 解(-1)n2nan 收敛 n 4 =lim 2“an =0二 2a :1 二收敛=:二 n#2n an (6) (06.4) 若级数 绝对收敛; 敛散性不定 0 ,所以v an收敛,且绝对收敛. oC 、an n d 收敛,则级数() oO (A)、 n z! oO (C) 7 anan q 收敛; n d oO 答(D).由an收敛可知 n d ” a +a + an收敛 oC (Bp (-1)nan 收敛; n T cO + (D)、电卜收敛. n d2 oo an *
12、收敛, n d 所以 n卜1收敛. i2 例5判断下列级数的敛散性 ::1 (1 )讨论级数7 4的敛散性 n d n 19 提示: 1 1 : 1 Un- n2nJ - Vn , 刃收敛= n2n4 2 (2)判别级数 J 1 的敛散性 n 吕(n 2)( n 3) 正项级数2收敛. n j n n2 1n21 (n2 2)(n2 3) (n2 1)n2 :1 且-Vng收敛= n 4n -1 n 2 2 :(3)收敛. (3) 、 n 4 n 3 n(n 1)( n 2) 解:令un n(n 1)( n 2) oo 1 oO 3 又级数 v -y,飞收敛, n J n n J n oon
13、+ 3 所以正项级数7n 3 n m 收敛. n(n 1)( n 2) 111 1 1 1 1 357 od 解该级数为、- ,由1 n2n -1 2n 1 1 一 2n 1 发散知 2n 原级发散 12 3 4 345 由于 Un ,而叫叫 上 23 35 3 12 n = (一) 2n -1 3 =lim1 n ;:n 1 7 34 (2)n (3), =0,该级数发散 远22 、(2)n是一个公比为的收敛 n4 33 几何级数,所以由正项级数的比较判别法可知原级数收 敛 0 1 2n 解令un =( n 1 2n n ),Vn l = lim Un n 5 1 2n = lim(亠 n
14、n 厂 1 2n 2n 二 lim nt: (1 2n )2丫 因为级数 1 2n 收敛 另解:令u n 1 2n n =1 n 1“ =lim1 n 1 2n 2 =原级数收敛. oO (8) sin2 nx n2 解: un片 sin2 n 2 2“ 2n n_ 2n MJ 1 n 2 p n Vn 所以正项级数 0 、卫收敛, nd 2n oO 故原级数瓦-sin2 n兀 收敛. n4 2n 练习:判定下列级数哪些是绝对收敛,哪些是条件收敛: 二(-J1 nd ln(n 1) (-1)n 1 ln( n 1) ln(n 1) n ::1 1 . ,而调和级数 V 发散, 由比较判别法可知
15、级数 a n d n (-1)n 1 ln(n 1) 发散, -,又 ln(n 1) n, nd ln(n 1) 21 但由于 UnUn 1(n =1,2,),且 Hm:Un =0, 由莱不尼兹定理知级数 (-1)n1 諂ln(n+1)收敛, 故原级数条件收敛 (2) 1- X- 2 10 oO +丄_2_ 33 2 10 2 10 + 1 2 10 22 + 3 +1 +3 10223103 1 八、 2n 1 : 1 由于v飞和 2n#10 n台 X: Un 收敛,所以原级数 绝对收敛 心、19254981121 248163264 1 =*、 (- 1) 2 n(n4) (2n 1)2 2n 解设un n(n) (2n 1)
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 苏科版八年级物理下册教学计划(及进度表)
- 八年级语文上册 第四单元 综合性学习 我们的互联网时代教学实录 新人教版
- 40用英语表示的单词
- 浙江省七年级人教版下册6-1-1红松之乡教学设计
- mc通讯协议项目案例
- 电梯坠梯判定依据
- 电力溯源机制
- 毒害有毒水质预防措施计划
- 品牌转型的成败案例研究计划
- 如何进行有效的工作分配计划
- 项目四任务1:认识毫米波雷达(课件)
- 银行保安服务 投标方案(技术标)
- 180万吨柴油加氢装置可行性研究报告
- 2024年河北省中考道德与法治真题含解析
- DLT 5285-2018 输变电工程架空导线(800mm以下)及地线液压压接工艺规程
- 消防员训练伤的预防及恢复课件
- 研发综合项目管理新规制度
- GB/T 43860.1220-2024触摸和交互显示第12-20部分:触摸显示测试方法多点触摸性能
- 密封条范文模板(A4打印版)
- 大学生生涯发展报告新能源汽车
- 医疗机构制剂管理规范
评论
0/150
提交评论