2021年“深圳杯”数学建模A题

1、2021年“深圳杯”数学建模A题数学建模2012年“深圳杯”全国大学生数学建模夏令营A题深圳人口与医疗需求预测组长：廉会组员：周玉婷雷慧泽马小华深圳市人口变化与医疗需求的合理分析摘要一个国家的人口与医疗问题关系到国家的发展与进步，因此对人口合理的预测就显的非常重要。但是不同的地区有不同的人口特点。深圳是我国经济发展最快的地区之一，近年来深圳市的产业结构有很大变化，人口也发生了很大变化。深圳人口增长较快，主要原因有两个：一是人口流入量较大。10年来，深圳经济保持较高增速，提供了较多的就业岗位，吸引了大量市外人员到深圳工作和生活。二是户籍人口增长较快。10年间，深圳采取多项措施，降低了入户门槛，加

2、快了户籍人口增长步伐。本文就深圳人口变化及未来的床位需求进行了预测。对于问题一，我们先用excel软件对深圳近十年人口数量变化作图，对深圳市近十年的人口变化得到大致了解。针对深圳市人口结构中非户籍人口比重大，流动人口多这一特点，然后又由于所得到的数据量不是很大，并且灰色预测模型【1】所需建模信息少，运算方便，建模精度高，所以我们采取灰色预测模型首先对深圳近十年的非常住人口、常住人口及总人口的变化特征进行了分析，在此过程中同时用到MATLAB软件对数据进行计算及拟合，分别得到了非常住人口、常住人口和总人口的拟合函数。通过模拟出的常住人口与非常住人口的函数，我们可以很容易的得出深圳市人口数量的变化

3、情况，同时我们以非户籍人口与常住人口的函数之比作为深圳市人口结构的变化，通过作图发现，深圳市非户籍人口正逐年下降。之后对不同年龄段的人口数用excel作图，然后再用MATLAB 软件对不同年龄段的人数数据进行二次拟合并作图。对问题一中的预测未来全市和各区医疗床位需求,通过查阅资料得知床位需求与各年龄段人数、住院率、平均住院天数以及该地平均年床开放日数有关，在查找资料以及大量演算基础上，利用已求出的常住人口变化函数，我们得出深圳市的床位需求函数，而深圳市各区对应的床位需求则为深圳市总的床位需求乘以本区总人口所占深圳市总人口的比例。对于问题二，考虑到研究的实用性与可行性，选择比较常见的病，如高血压

4、、胃癌进行预测，我们通过查找高血压与胃癌在深圳市不同年龄段的发病率、这两种病在市级与区级医院的住院天数以及这两种级别的医院的平均年床开放日数，根据公式进行计算、预测。最后对结果及不同的模型进行分析。关键词：灰色模型二次拟合MATLAB excel一、问题重述深圳市是我国发展最快的地方，从1980年到2010年，深圳市每年以30多万的人口增幅增长。到2010年深圳市人口已达1037万人。从结构上来看，深圳人口的显著特征是流动人口远远超过户籍人口且年轻人占绝对优势。深圳流动人口主要从事第二第三产业的一线工人和商业服务人员。年轻人身体强壮、发病较少，因此深圳目前医疗设施虽然低于全国类似平均水平，但仍

5、能满足现在人口的就医需求。然而随着时间推移和政策的调整，深圳老年人口比例会逐渐增加，产业结构的变化也会影响外来务工人员的数量，这些都可能导致未来深圳市的床位需求于现在有较大差异，难以满足人口和医疗预测的需求，为了了解此情况，根据深圳人口发展变化态势以及全社会医疗卫生资源投入情况收集数据，建立针对深圳具体情况的数学模型，预测深圳未来人口的增长和床位需求解决下面问题：首先分析深圳近十年户籍人口，非户籍人口变化特征，其次预测未来十年深圳市人口数量和结构的发展趋势，最后以此为基础预测未来全市和各地区医疗床位需求，并针对几种病在不同类型的医疗机构就医的床位需求分析。二、问题分析深圳市是外来人口比例大得城

6、市，分析深圳市近十年常住人口、非常住人口的变化特征来预测未来十年深圳市的人口数量和人口特征，对于这种数据不太多的问题，可以选择灰色预测模型来解决，灰色预测模型在此方面有较好的优势。预测出来，得到拟合函数后，可以通过excel作图，使结果更加的清晰、明了，易于观察。床位的需求受总人口、人口结构等的影响，总人口可以由第一问的灰色模型预测。人口特征可以由非户籍人口占总人口的比例及各年龄段占总人口的比重来解决。对于第一个比例可以由第一问的预测得到，然后作图；对于第二个比例，可以先以往年的数据做图看分布情况，然后用MATLAB拟合函数并作图。由历年数据发现，老年人群是各种疾病的高发人群，老年人口的比重严

7、重影响着床位需求，但是老年人的比例一直在变化，不好统计，所以假设在未来的十年老年人的比例基本上保持不变。因此可以由人口总数和不同年龄段的人口比例数及患病率预测深圳市床位需求量。深圳市各地区的床位需求又可以通过各地区人口数及不同年龄段的人口数和患病率分析得到。对于对选择的几种病预测在不同类型的医疗机构就医的床位需求，我们考虑到高血压和胃癌是比较常见的病，所以选择这两种病进行分析。通过查资料得到有关数据，代入公式进行计算。三、模型假设1.在研究期间不考虑重大事件、自然灾害及国家有关人口调动政策的影响，只选取人口数量与年龄地区、户籍、性别方面因素的关系；2.深圳市各区相同年龄段的人口体质相同，即患病

8、率相同；3.各地区相对封闭，各部区人口不会跨地区就医；4.不考虑老龄化的现象；5.深圳市当前的人口政策保持不变；6.相同的病医疗所需的时间相同；7.高血压人群中，由于35岁以前的发病情况几乎没有，忽略不计；8.对于研究的患病人口均需住院治疗，即需要床位；四、符号说明1.n x-)0(个元素的数列（每年的人口数）； 2.)0()1()(x k x-的前k 项和；3.)1()(x k d -的灰导数； 4.-a 发展系数； 5.-b 灰作用量； 6.-Y数据向量；7.-B 数据矩阵； 8.-u 参数向量；9.-t 年份； 10.20010-t 年；11.-)(k E 残差； 12.-)(k e 相

9、对残差； 13.2000-=t k;14.-)(i n 第i 个年龄段；15.-)(i y 第i 个年龄段的人口数；五、模型的建立与求解5.1问题一：深圳市最近十年常住人口、非常住人口变化特征和未来十年人口数量和结构的发展情况及在此基础上对全市和各区医疗床位需求的预测。 5.1.1灰色模型 1、模型说明：设给定的原始数据序列 )(,),2(),1()0()0()0()0(n x x x x =对此数据序列累加得到一个新的数据序列)(,),2(),1()1()1()1()1(n x x x x =，其中 ),1()()(1)0()1(n k i x k x ki =，显然)1()1()0()1(

10、x x =为得原始数列，对)1(x 中的数进行后减运算，在此过程中定义)1(x 的灰导数为)1()()()()1()1()0(-=k x k x k x k d再设)1(x 满足一阶常微分方程 b ax dtdx =+)1()1(，其中a 称为发展系数，b 称为灰作用量。此方程满足初始条件当 0t t =时，)(0)1()1(t x x =的解为a b e a b t x t x t t a +?-=-)(0)1()1(0)()(对等间隔取样的离散值则为a b e a b x k x ak +?-=+-)1()1()1()1( * 令T T b a u n x x x Y ),(,)(,),3

11、(),2()0()0()0(=? ?-+-+-+-=)1),1()(211),2()3(211),1()2(21)1()1()1()1()1()1(n x n x x x x x B ，则Bu Y=由最小二乘法可以求得Y B B B T T Tb a u 1)(,-=? ?= 把估计值a 与b 代入*式得时间响应方程()a b a b xak e x k -+?-=+)1()1()1(1 当1,2,1-=n k时，由上式得到)1()1(+k x 的拟合值，当n k 时，()1(1+k x 为预测值；用后减运算还原，当1,2,1-=n k 时，就可以得到原始数据)0(x的拟合值()1)0(+k

12、x ，当n k 时，可得原始序列()0x 的预测值，即为人口的预测值。由已有数据用excel 作图，可以看出深圳近十年的常住人口和非常住人口都呈上升趋势，并且非常住人口增长快于常住人 图一：近几年深圳市的人口变化 下面就用灰色预测模型对深圳市的人口进行详细、具体的分析及未来十年的人口预测预测。2.建立模型： 1）对于常住人口（1）由原始数据列计算并整理一次累加序列)1(x ，结果如下：表一：2001年2010年常住人口数 （2）建立矩阵：Y B ,年份2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 )0(x 132.04 139.45 150

13、.93 165.13 181.93 196.83 212.38 228.07 241.45 251.03 )1(x132.04271.49422.42587.55769.48 966.311178.691406.761648.211899.24? ?-=? ?+-+-+-=1,725.17731,485.15271,725.12921,5.10721,895.8671,515.6781,985.5041,955.3461,765.2011),9()10(211),2()3(211),1()2(21)1()1()1()1()1()1(x x x x x x B ，Tn x x x Y )(,),

14、3(),2()0()0()0( =T)03.251,45.241,07.228,38.212,83.196,93.181,13.165,93.150,45.139(=（3）计算1)(-B BT，并由Y B B B TTu 1)(-=求估值a 和b 经过MATLAB 的计算得?=-4720.0,0004.00004.0,0000.0)(1B B T，? ?-=? ?=-9060.1280734.0)(1Y B B B T T b a u ，即 0734.0-=a ，9060.128=b 。则把a 和b 的值代入事件响应方程，由于04.132)1()1(=x ，故时间响应方程为 2.175625.

15、1888)1()1(0734.0)1()1(-?=+?-=+-k e e x k x a b a b ak ，即 2.175625.1888)1(0734.0)1(-?=+k e k x（4）计算拟合值)()1(k x ，再用后减运算还原计算)0(x 又残差n k k k x k E x ,3,2),()()()0()0( =-= 相对残差n k k x k k x k e x ,3,2),(/)()()()0()0()0( =-= 表二：2001年2010年常住人口灰色预测法的拟合值 由残差、相对残差及相对误差的大小可得所得的拟合函数 2.175625.1888)1(0734.0)1(-?=

16、+k e k x 还是比较准确的，所以可以以此函数来预测未来十年的常住人口，则可得： 表三：2011年2021年常住人口的预测值2）对于非常住人口我们用同样的方法得到非常住人口发展趋势的拟合函数1739117984)1(0327.0)1(-?=+k e k x 年份 拟合值 残差 相对残差 相对误差 2001 132.04 0 0 0 2002 143.82 -4.37 -0.0313 0.0242% 2003 154.76 -3.83 -0.0254 0.0245% 2004 166.56 -1.43 -0.0087 0.0063% 2005 179.23 2.7 0.0148 0.0325

17、% 2006 192.89 3.94 0.0200 0.0156% 2007 207.57 4.81 0.0226 0.0082% 2008 223.39 4.68 0.0205 0.0022% 2009 240.4 1.050.0043 0.0036% 2010258.7-7.670.03060.0155%年份 2011 2012 2013 2014 2021 2021 2021 2021 2021 2021 预测值 299.61 322.43 347 373.41 402.06 432.47 465.4 500.84 538.99 580.04代入k 值的表四：2001年2010年非常住人

18、口灰色预测法的拟合值 和表五：2011年2021年非常住人口的预测值 所以对于总人口可由常住人口和非常住人口相加可得。或用上面同样的方法得 时间响应方程为2.165318.17255)1()1(0420.0)1()1(-?=+?-=+-k e e x k x a b a b ak ，即2.165318.17255)1(0420.0)1(-?=+k e k x 年份 拟合值 残差 相对残差 相对误差 2001 592.53 0 0 0 2002 598.26 8.91 0.0147 0.0242% 2003 617.68 9.66 0.0154 0.0245% 2004 638.2 -2.53

19、-0.0040 0.0063% 2005 659.41 -13.59 -0.0210 0.0325% 2006 681.32 -7.05 -0.0105 0.0156% 2007 704 -4.01 -0.0573 0.0082% 2008 727.38 -1.17 -0.0016 0.0022% 2009 751.56 2 0.0027 0.0036% 2010776.549.630.01220.0155%年份 2011 2012 2013 2014 2021 2021 2021 2021 2021 2021预测值 802.36 829.02 856.59 885.06 914.47 944

20、.88 976.28 1008.73 1042.27 1076.91计算拟合值)()1(k x ，再用后减运算还原计算)0(x 得表六：灰色预测法的拟合值 和表七：20112021年总人口的预测值年份 2011 2012 2013 2014 2021 2021 2021 2021 2021 2021 预测值 1079.4 1125.7 1173.9 1224.2 1276.7 1331.5 1338.5 1448.1 1510.1 1574.9 利用表七得出的数据我们可以看到人口还在增长，应用excel 软件做图，我们可以清晰地看到人口变化的情况，如图： 图二：未来十年深圳市人口的变化年份 拟

21、合值 残差 相对残差 相对误差2001 724.57 0 0 0 2002 739.77 6.85 0.0092 0.0012% 2003 771.49 6.78 0.0087 0.0011% 2004 804.56 -3.76 0.0047 0.0006% 2005 839.06 -11.31 0.0137 0.0017% 2006 875.03 -3.93 0.0045 0.0156% 2007 912.54 -0.17 0.0002 0.0082% 2008 951.66 2.62 0.0027 0.0022% 2009 992.46 2.55 0.0026 0.0036% 201010

22、35.012.190.00210.0155% 3）人口结构的分析（1）由上面的预测值可以算得非常住人口占总人口中的比率变化，即 令 每年的总人口数每年非常住人口数比率 经过数据处理并由excel 软件的处理得到如下的图 图三：未来十年非常住人口所占比例 我们发现深圳市的非户籍人口所占的比例总的来说有所下降，所以说，虽然非户籍人口数量在增加，但比例在下降，跟这10年来，深圳采取的多项措施，降低了入户门槛有很大的关系，加快了户籍人口增长步伐。5.1.2二次拟合根据2000、2005和2010年各个年龄段所占比例的数据用excel 作图得深圳市2000年不同年龄人口数 500000100000015

23、0000020000000-4岁10-14岁20-24岁30-34岁40-44岁50-54岁60-64岁70-74岁80-84岁90-94岁100岁及以上年龄人数系列1 图四：深圳市2000年不同年龄段的人口比例 深圳市2005年各年龄人口数 500000100000015000002000000 0-410-1420-2430-3440-4450-5460-6470-7480-8490-94100岁及年龄人数系列1 图五：深圳市2005年不同年龄段的人口比例 深圳市2010年不同年龄人口数 50000010000001500000200000025000000-4岁10-14岁20-24岁3

24、0-34岁40-44岁50-54岁60-64岁70-74岁80-84岁90-94岁100岁及以上年龄人数系列1 图六;深圳市2010年不同年龄的人口比例 从以上图中看出，每年深圳市各年龄的人口变化不是很大，因此可预测未来十年人口的年龄变化与此接近。用MATLAB 进行二次拟合得函数776340)(37350)(4400)()2(+-=i n i n i y 用MATLAB 绘制出得拟合曲线为 0510152025 0.20.40.60.811.21.41.61.82x 106 图七：深圳市不同年龄段人口变化曲线 5.1.3 未来全市和各区医疗的床位需求 1）全市的床位需求 为解决该问题，我们假

25、设在最近的十年内各年龄段的人口所占比例保持不变。经过我们的讨论，然后又查找资料得病床的需求量公式得：【2】 ()平均年床开放数平均住院天数各年龄段需要的住院率各年龄段的人口数医院病床需求量?=经过查找资料得各年龄段的住院率3做成饼图为： 图八：各年龄段的住院比率由给出的数据并计算得到各年龄段占总人口的比率，然后做成饼图得： 图九：各年龄段占总人口的比例各年龄段所占的比例总人口数各年龄段的人口数?=由表七中的预测值得到未来十年的总人口数，再由查资料得到平均住院天数和平均年床位开放日数分别为292和6.0。将数据代入上式公式得到医院病床需求量为表八：未来年床位数年份 2011 2012 2013

26、2014 2021 2021 2021 2021 2021 2021 数量（万张） 120.665 132.248 137.654 145.158 150.112 158.207 163.072 169.591 174.020 177.3192）各区的床位需求由查阅资料【4】得到各地区人口占深圳市总人口的比例，罗湖区11.05% ，福田区12.98% ，南山区10.30 ，宝 安 区39.02% ，龙 岗 区24.47 % ，盐 田 区2.17% 。再由上面的公式及未来十年的人口预测的相关数据得未来十年各区的床位需求为：表九：未来十年各区总的床位需求 5.2问题二：不同疾病在不同医疗机构的床位

27、需求以高血压和胃癌为例 查阅文献【5】得在高血压人群中，由于35岁以前的发病情况几乎没有，忽略不计。而35岁以上不同年龄的发病率及不同年龄段胃癌的发病率分别如下表所示：表十：不同年龄高血压发病情况区名 罗湖区 福田区 南山区 宝安区 龙岗区 盐田区 床位（万） 168.85 198.34 157.39 596.24 373.9133.16分组 调查人数 患病人数 患病率（） 3554 1074 4 0.37 55-64 1756 11 0.67 65-74 1861 23 1.24 75以上 189 6 3.17表十一:不同年龄段胃癌的发病情况 经查阅资料，疾病在不同类型医院的住院天数如下表：

28、 再由公式()平均年床开放日数平均住院天数患病率各年龄段所占比例量不同类型医院病床需要?-=)1()()1()1(k x k x 可得出不同类型医疗机构的床位需求，比如以市级医院2011年高血压的床位需求量为例（查资料的年开放日数为317），)(0509.03174.90441.00159.00067.00211.00037.02021.0(4.1079万张中医院的床位需求量=?+?+?= 其它类型的医院机构也可以用同样的方法得到。六、模型评价与改进方向1.灰色预测模型比较适合信息不全面，数据不太多的问题，本论文比较巧妙的使用了灰色预测模型分别分析和预测了深圳市常住人口、非常住人口及全市人口的

29、发展趋势；2.本模型巧妙的忽略了问题的次要矛盾，即年龄结构，各区所占比例，虽然丧失了一些精确度，但是相对于其它繁琐的模型而言，还是利大于弊的；3.在分析不同年龄段的发展趋势时应用了二次拟合模型，但是只适应于预测短期，不适应于长期；4.模型没有体现出深圳不同区的人口变化函数，而只是假设其人口总量对深圳总人口量保持不变，实际上每个区的发展不同，人口变化也不同；5.模型建造中没有考虑到年龄结构的变化，而深圳市年龄结构是趋向老龄化方向的，老年人体质弱，易生病住院，因此实际得出的床位数小于实际需求的床位数；6.从提高准确性与普遍性的角度考虑，还可以引入关于年龄结构的拟合函数以及各区独立的人口发展函数。分

30、组 调查人数 患病人数 患病率（） 44岁以下 821 2 0.24 4554 1074 3 0.28 55-64 1756 3 0.17 65-74 1861 14 0.75 75以上 189 6 3.17 不同医院类型 政府办医院综合医院市级区级街道社会办医院平均住院天数8.1 8.19.496.97.2七、参考文献1 唐丽芳、贾冬青、孟庆鹏，2008.用MATLAB 实现灰色预测GM(1,1)模型.沧州师范专科学校学报，24:352 饶克勤、陈育德关于制定卫生资源配置标准的几点建议，1999年03期 39页 3 2003年调查地区各年龄段居民住院率 中国发展门户网4 2010年深圳市卫生和人口计划生育委员会卫生统计年鉴（卫生机构、床位、人员情况） 5 高血压、肥胖、血脂紊乱和糖耐量异常在不同年龄段人群中分布的基线调查 广西医科大学第一附属医院 吕泽平6 李彦卿 小城镇人口规模研究 天津大学 7 景倩 中国人口增长趋势预测模型8 朱艳伟、张永利 中国人口增长预测模型及其改进J 统计与预测附录（1）计算1)(-B BT，并计算