学业分层测评第2章、

1、学业分层测评第2章、(建议用时：45分钟)学业达标【一】选择题1. 用数学归纳法证明3nn3(n3, n N + ),第一步验证()C、n= 3 D、n = 4【解析】由题知，【答案】 C1 12. f(n)=二+- +B、n= 2n的最小值为3,所以第一步验证n= 3是否成立.1 1+屉那么(1)1 12 时，f(2)p +1A、n= 1v n n+1 n + 2A、f(n)共有n项，当n=1 1 1B、f(n)共有 n+ 1 项，当 n = 2 时，f(2) = 2+3+4C、f(n)共有 n2- n 项，当 n= 2 时，f(2) =1 +13 1 1D、f(n)共有 n2- n+ 1

2、项，当 n = 2 时，f(2) = 2 + 3+ 4【解析】 结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1,分母为n,n+ 1,1 1 1 n2的连续自然数共有n2 n+ 1个，且f(2) = 2+；1+ 4*【答案】 D n4 + n23. 用数学归纳法证明1 + 2+3+ n2= 厂，那么当n=k+ 1(n N +)时，等式左边应在 n= k的基础上加上()B、(k+ 1)2C. k +14+ k+12A、k2+ 1A、假设f(3) 9成立，那么当k 1时，均有f(k) k2成立B、假设f(5) 25成立，那么当k4时，均有f(k) k2成立C、假设f(7)8时，均有f(k)4时，均为f(k

3、) k2成立【解析】对于A，假设f(3) 9成立，由题意只可得出当k3时，均有f(k) k2成立，故A错；对于B,假设f(5) 25成立，那么当k 5时 均有f(k) k2成立，故B错；对于C,应改为 假设f(7) 49成立，那么 当k7时，均有f(k) k2成立.【答案】D5. 命题1 + 2 + 22+ 2n 1 = 2n 1及其证明：(1)当n= 1时，左边=1，右边=21 1 = 1,所以等式成立.假设n= k(k 1, k N +)时等式成立，即1+2 + 22+ 2k 1 = 21 2k + 1k 1 成立，那么当 n=k+ 1 时，1+2+22+ 2k 1 + 2k = 21 2

4、k+1 1,所以n= k +1时等式也成立.由(1)(2)知，对任意的正整数n等式都成立.判断以上评述()A、命题、推理都正确B、命题正确、推理不正确C、命题不正确、推理正确D、命题、推理都不正确【解析】推理不正确，错在证明n= k + 1时，没有用到假设n= k的结论，命题由等比数列求和公式知正确，应选B.【答案】B【二】填空题6. 假设 f(n) = 12+22+32+ (2n)2,那么 f(k + 1)与 f(k)的递推关系式是.【导学号：05410053】【解析】v f(k) = 12 + 22+ (2k)2，f(k + 1)= 12 + 22 + + (2k)2 + (2k + 1)

5、2 + (2k + 2)2， f(k + 1) f(k) = (2k + 1)2 + (2k + 2)2，即 f(k + 1)=f(k) + (2k + 1)2 + (2k + 2)2.【答案】f(k + 1) = f(k) + (2k + 1)2 + (2k + 2)211 1117. 用数学归纳法证明：22+32+n+2n+2.假设门=k时，不等式成立，那么当n=k+ 1时，应推证的目标不等式是 1 1 13式子是【解析】当n=k+ 1时，目标不等式为： 元+ 32+ k + 1 2 +1 1 1假设当n= k时，不等式成立，即1+刁+3+ 2k_ 1 1)时，等式成立，即1 + 3+ (

6、2k 1)= k2,那么，当 n= k+ 1 时，1 + 3+ (2k 1)+ 2(k + 1) 1 = k2 + 2(k +1) 1 = k2+2k+ 1 = (k+ 1)2.这就是说，当n = k+ 1时等式成立.根据(1)和(2)可知等式对任意正整数n都成立.1 1 110. 用数学归纳法证明：1 + 2 + 3+ 2n1 1).【证明】(1)当n= 2时，左边=1+2+,右边=2,左边 右边，不等式成立.k2+3k+ 2+ k + 2= k+ 2 2=(k+ 1)+ 1,所以当n= k + 1时，不等式成立.上述证法()A、过程全都正确B、n= 1验证不正确C、归纳假设不正确D、从n

7、= k到n= k + 1的推理不正确【解析】n= 1的验证及归纳假设都正确，但从n= k到n = k+ 1的推 理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，这不符合数 学归纳法的证题要求.应选D.【答案】D 2k _i1=1+ 1 时，有 1+2 + 3+2k_1 + 2k + 2k+1 + + 2k+ 1_ 1 k + 2k +2k + 1 + + 2k + 1_ 1 k+ 2k = k+ X 所以当 n= k + 1 时不等式成立由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n,不等式均成立.能力提升1. 用数学归纳法证明当n为正奇数时，xn+ yn能被x+ y整除， 第二步归纳假设

8、应写成()A、假设n = 2k+ 1(k N + )时正确，再推n = 2k + 3时正确B、假设n = 2k_ 1(k N + )时正确，再推n = 2k + 1时正确C、假设n= k(k N + )时正确，再推n = k+ 1时正确D、假设n= k(k N + )时正确，再推n=k + 2时正确【解析】v n为正奇数，.在证明时，归纳假设应写成：假设n= 2k 1(k N +)时正确，再推出n = 2k + 1时正确.应选B.【答案】B2. 对于不等式-；n2+nwn+1(n N +)，某学生的证明过程如下：(1)当n= 1时，-.；12 + 1 1 + 1,不等式成立；假设当n= k(k N +)时，不等式成立，即；k2 + kw k + 1,那么当n=k+ 1 时，k+ 12+ k +