受非对称集中荷载的弹性拱大变形分析-欧阳稳根-修改稿-oy

1、仅供个人参考垂直集中力作用下弹性圆拱大变形理论解欧阳稳根(武汉大学工程力学系，武汉 430072)XYJ：整体修改要求(1) 全文采用统一公式编号， 如(1), ( 2).等。注意：并非所有文中公式都需要编号。有些公式是过渡性， 以便读者理解或岀于全文交代性、可读性需要，可以不编号。因此，自己在全文中前面岀现、后面需要 引用的公式，都必须编号；而文后中那些没有引用的公式，可以或尽量不编号。(2) 节1 “引言”部分还要修改。引言一般包括两部分：第一部分是向读者交代介绍相关研究工作。必须写清楚引用文献中的主要工作 、进展和创造性贡献，当然篇幅局限，介绍必须简明扼要，突岀重点。另外考虑到文章将优先

2、考虑给引用文献作者作为本文的审稿人，所以，介绍他们工作要肯定为主，不足不要 提，避免反感。第二部分可以简要介绍本文研究工作内容和论文中的组成。(3) 节2标题修改为“圆拱大变形分析及分段微分方程”，这样节3、节4是否可以考虑合并成为一节，节中可用(1)、(2)、分段写(4) 节5 “定解条件与迭代解法”中重点是介绍如何求解方程，需要交代清楚哪些是已知量或初始量、哪些是待求量。另外，非线性方程是如何迭代的？迭代格式？收敛条件或标准？这些都需要交代清楚。(5) 节6 “数值算例与讨论”中的数值算例设计一定要说明问题，如计算的准确性？与参考文献的比较，是否一致？不一致要有原因分析或解释。算例计算参数

3、可以用一个表来表示，简单清楚。插图一律用绘图工具软件“ Origin ”完成。插图中的线型、图例、标示、字体、字号都需要仔细设计下，应该美观、清晰。 另外，失稳曲线将是反对称的，你的曲线是对称的，需分析原因。(6) 节7 “结论”必须是自己研究内容的总结，不要总结别人的研究工作。本文总结包括(1)方程推导的正确性、完整性；(2)数值迭代计算方法的正确性、有效性；(3)以前研究工作忽略了一些项对结果影响及局限性等主要部分。(4 )交代一下有关非对称力作用的研究结果将另文介绍，避免审稿人要求我们补 充非对称算例。(7) 参考文献按照力学学报或固体力学学报的格式修改，全部都要校对，不能岀现错误。可能

4、还需要找些文献，方法是：从参考文献中的参考文献中选取(看别的作者引用哪些文献)，特别是外文文献。摘要：本文对非对称垂直集中力作用下的弹性圆拱进行了非线性分析，得到了固定支承条件下圆拱的 以椭圆积分表示的大变形封闭解，给岀了求翻转临界荷载和临界拱顶位移的非线性方程组，并在对称情况下给岀 了数值算例。关键词：圆拱、屈曲、大变形、椭圆积分、临界荷载因子、临界位移因子不得用于商业用途引言许多学者对平面弹性拱的面内失稳问题进行了 研究1-6，文献2-3通过对拱的应变的非线性并 结合虚功方程求得了拱屈曲的控制方程，在一 定的边界条件下求得了弹性拱面内屈曲的临界荷载。文献4-5用数值渐近方法求得了圆拱大 变

5、形情况下的各种失稳模式。文献1把拱在集中荷载作用下的非线性对称变形分析归结为两 点边值问题，得到了以椭圆积分来表示的逐段闭合解，给出了发生失稳的临界荷载和临界拱 顶位移。本文在文1的基础上，研究了平面弹性拱 在非对称集中荷载作用下的大变形问题，得到 了该问题的控制微分方程，并根据圆拱的变形 特点获得了椭圆积分形式的封闭解答。本文还 就对称情形给出了数值算例，同样给出了在对 称荷载作用下，圆拱发生翻转失稳的临界荷载 和临界拱顶位移。 并与文1作了比较。因文1 问题属本文特例，故利用本文解答可讨论文1中求解过程中某些简化假定的局限性。本文的 结果具有一定的应用价值。1圆拱大变形的计算模型图1平面圆

6、拱计算简图（图中符号约定：垂直作用力用F表示、支座水平反力分别用Ha、Hb表示；支座垂直反力分别用 Va、Vb表示；支座弯距分别用 Ma、Mb表示）式中：s为弧坐标，M s为截面s处的弯矩 规定使曲率增大弯矩为正，反之为负；| 为变 形后拱轴线的切线与 x轴的夹角。小）_ 1是圆ds P拱变形后的曲率， 丄是其变形前的曲率。R2圆拱大变形分析及分段微分方程可知:根据圆拱整体平衡条件 （力的平衡）拱上任意截面的内力的垂直分量V和水平分量h之比为一个常数。考虑铅垂集中荷载作用部 位关于圆拱的非对称性，集中力 F作用点将圆 拱轴线AB分为A P（ s“0, ）和BP（SW（Sp,l ）两个区间（图1

7、 ）。不妨设这两段 中V与H之比分别为tan -1tan I：】O,SpSp,lF作用点处的弧坐标式（2）中，Sp为集中力（sP = R : - arcsil =2R为圆拱轴线弧长。设 s=0处的弯矩为 Ma，s=l处的弯矩为Mb，以弯矩外侧受拉为 正，对圆拱AP段（sfO,Sp ）取平衡条件， 则有同理,M s =Ma HaVax（3a）BP段（sGsp,I ）取平衡条件，则考虑图1所示两端固定支座、半径为 R、 中心角为2的平面弹性圆拱，受跨间铅垂集中 力F，且F偏离圆拱对称轴的距离为 厶。假定 圆拱横截面为等截面图形，面积为 A,面内弯 曲刚度为EQ。为简化讨论，做出如下假设：（1）忽略

8、拱的轴向变形（XYJ :有问题？忽略拱轴向变形的条件？）； Pi和Trahair（1998）用有限元方法研究了拱的屈曲，他们的结果表明，对浅拱而言，轴向位移比弯曲位移小得 多，因而可以忽略拱的轴向变形。（2）假设圆拱在整个变形过程中，始终处于弹性阶段。（3）圆拱可看作小曲率梁，截面变形满足 欧拉一伯努利假定，弯矩和曲率改变的关系为M s =Mb Hby -V3 2Rsin: -x (3b)直角坐标与弧坐标的转换关系dx =cos vds、dy =sin vds，代入式(1) ( 4)后整理可得平衡微分方程组如下d2-lEI2 Ha sin VBCOSd=0,s“Sp,l (4a)dsd2-lE

9、I2 Hb sin v Vbcosv-0, s sP,l(4b)ds对任意sO,Sp，引入新变量2 则可将式(5a)化简为d2a2sin2 ! =0ds22式中(5a)(6a)(XYJ式1如何来的？提供参考文献）M s=-Elz匸_丄ds R(1)2 _ H Aa1 =瓦盲类似地，对任意Sp,l ，引入新变量(7a)2 ：2-八-2(5b)则可将式(5b)化简为d2 鬼 a；“2-sin2 :2 =0ds22s, 0,Sps.t.(6b)Ts2GSp,Is.t.dsd丄2ds=0s _s1=0(10)以及2Hba2Elz COS |.：2(7b)再令uds丿式中d :ds2a1C122琴 1

10、-Cl sin2 ；2C；，则式(6)可进一步化简记为-C； sin2s 三0,Sp(8)MaR4R2a22222 jLi +4R 印 sin %C；EIz丿4R2a；(9)1 MbRI Elz亠4R2a： sin2 %分析拱的变形曲线可知对于浅拱，：不超过90：,在垂直力作用 下，更容易发生图1所示的失稳。在力的作用点处，变形曲线的纵坐标取得极小值，设变形 曲线的方程为y = f x，则有f (xp) =0，观察 此种情况下的变形曲线，可以知道：在力作用 点的两端分别有一个极大值，故在AP段的某点有f (Xm) =0，假设变形曲线的方程是充分光 滑的函数，则对在区间xm,Xp上对y二fx应

11、用Roll定理可得如1 Xm,Xp, s.t. f(x,)=0由曲率的直角坐标表达式有1 _yP _2+(y)于是在X =X1处有, (xj =0，又 i二，dsdds=0 ，同理可ds=0，综上有rd0jdsds11d%d20dsSp犬兰ds此两点即曲线的拐点，并且0ss:l0S|$P为方便分析，将式(入无量纲变量8)无量纲化,(11)为此引s二2R:代入(8)式,为简单起见，仍将s仍记为s，于是(8) 化为r2泗丄Ids丿k22 1 -C2si n2 1sW0,spC1Ads丿式中(12)(13)W 1 - cl sin2 ：2sP,lk2 =R2a2C12ClFh r2El cos I-

12、FhR2El cos -24k12(14)(1比 j +4K2sin2札4k；(1人 $ +4k22sin2 %MaR -ElzMbRElz(15)(16)以上各量均为无量纲量。而将(13)代入(10)可得2 . 1sin Usin2 21IC2式中1 ：0和2 - 0。显然，上式有实数解的条 件是g _1及c2 _1分析圆拱变形，因为在力的作用点处，变形 曲线的纵坐标取得极小值，f(xp0 ,即此处的(17)切线与x轴平行，所以有齐=0,故由式可得：Ip二-亍 邛二亍(18)3圆拱变形分析显然，由于集中荷载不是对称地作用在圆 拱上的，记力的作用点为 P,我们可以将圆拱 曲线分为AP和BP两段

13、。AP和BP的方程虽 然不同，但推求的方法和 AP段完全类似，下 面先考虑AP段的变形，此时弧坐标的范围是 s三0,，根据前面的分析，在 AP段上存在 一点Pi，在Pi两侧 4变号(在Pi处为零)，ds所以下面分为两种情况来求解微分方程，并用 在Pi处的连接条件来求相应的曲线的参数方 程Xi JI2k1 sin :-IGyi-k, 1 -cos：式中(1)AP段变形d半s气0,s )由(11)式知ds 0，由(13)式可得 G 调2匕口 J _C； sin2 巴两边积分有G 畀d2k：a 1匸冷厂fg, a fg,(19)(20)式中_d _o 1-k2sin2 ：为Legendre第一类椭圆

14、积分8。圆拱变形后，记拱轴线上任一点直角坐标 为x,y ，贝V6 -=cosTds = .cos 25 dssin Ps 二.sin 2dsF k,二Xi(21)yi_Xi Xi =Iyi专(22)式中，L =2Rsin :为圆拱跨长，f=R1cos为拱高。将(19)式代入(20)式并利用(22)式可得cos M -g? A, ；Sin 肾 g；a,|cos M g A,1 广Sin 肾f 2 LgA(札冲)=1丙 卞(6札)F(C冲卩1 C丿 +C2e(cQa)-e(c 沖)2 一 .-2 . 2 r-2 g2A (%冲尸津心 sin20j1_G2sigA a, (23)(24)E k= o

15、 Jk2sin2 ;:d为Legendre第二类椭圆积分。dp(b) ss,Sp ,由(11)式知一 1 .0，同上可得ds大C1旳ds =2ka(1 _c；sin2暑一FG, AFC1, _2FC1, 1(25)x Ccos-1 hA A, 1, sin -1 h2 , ,2K1 sin _-I Cy _k1(1_cosQcos:1 hA a, 1厂sin “ hA a, 1, il(26)式中风(収沖冲)=1悴21您)卄2冲)-2耳64卩1 C丿2C1 -世(収,沖)=-22 2j C； sin2 習 冷 1 G2 sin2 % (1 C； sin2(27)(2) BP段变形同理，这一段也

16、分为两种情况，结果分别为：d2 S Sp,s2 ，由(11)式知 :0 ,dsC“一盂二/ C2/ -F C2, b(28)C2*Cos2 gB B, sin ；gB B,yi =k 0 ：o昭 jin 艮 g：(Q , 卩cos% gB (电,聊(29)对A点列力矩平衡方程，有Ma 亠VB 2Rs in 二一MBF Rsi n：=0利用(14)式和(16)式，可将上式化为匕=% sin2k； sin 12sin :R 22式中:f 2)_g：(电冲)=1_戸 吓(C2,)F(C2,% 卩J S丿+ 2 E (C2 JE (C2fe 卩 C2 Jg；(电沖)=三 I J -C； sin2 J

17、C； sin2 直C2 -令，则上式可写为Rsina.二a -b sin:莓 1-、. -2k；sin -2sin:(34b)式中：的物理意义是，集中力偏离圆拱中轴线 的距离与圆拱半跨长之比。由(14)式可得k12 cos= k； cos ：2(34c)(30)(b)s sj ,由(11)式知，罟 02F C2, 2 -FC2, b -FC?,(31)s =12k2:-=1 一2.一 cos 2 hB b, 2, 厂sin ? hB b, 2, 二kpos-2 hB b, 2, sin -2 hB b, 2,(32)(2)连接条件S=Sp处，弧长和位移满足连续性条件s，即(35a)hB (电,

18、 冲)1召国,电)-F(G 冲)F(C2,Q )1 I C2丿?E(C2, j-E(C2)-E(C2,lB flx|y|将上两式展开并整理可得：G,Q )+F(G,屯p )-2F(G,q 卩 |2FC2, 2 -F C2, B -F C2, 2p k2 -A = X|I s -spn-A=2：(35b)(34d)c；-hBb, 2, 2/rcos h： A, 1, 1p -sin ： h； a, 1, 1p k1 C2k2cos -2 h B, 2, 2p -sin、hB B, ；,2.1 -C2 sin2 2 - 1 -C2sin2- 1 -C：sin2 b=2si n.篇(33)5定解条件

19、与迭代求解方法(1)平衡条件由水平方向力的平衡条件，即H A H B - FH由垂直方向力的平衡条件，即(34e)，cosp1 h2A 仲A,Q,Qp )+sin A 忙他沖“號)1 C2 k2cos -2 hBB, 2, 2p sin -2 hBb, 2, 2p可得可得Fx 0，Fy =0 ,Fh tan -! tan -2 =FFR2(tan A +tan )=L ?.，称入为荷Elf EI载因子,注意到(14)式，可得所以FhR2cos 卜2 sin 亠sin 卜2(34a)(34f)再(34)式即是本问题的全部边界条件。待定的参数有六个：、k、k2、正好由上面六个方程决定。也就是说，只

20、要确 定圆拱的EI ,在给定的外荷载(包括集中力大 小及偏心距)作用下，拱的变形曲线将唯一 确定。设Up为力作用点处的位移，引入无量纲化 参数(36)疋，k?-加-U 1 -cos:C2 k2 丄1u1cos：cos| ：2t1：sin：sinF2J|Upu =R 1 _cos :-称为位移因子 汙是，我们可将(34d)和(34e)式用u分别表示如下1 -cos： si nJ 亠訂-、.si n ： cos|. 1 -cos: cos r - 1 -、. sin ： sin|； |(37a)sin $2 亠门亠心sin : cos$2 | 准算法的问题，求解变得相对简单。事先给定U，相应于每一

21、个U有一个近似解。 求解步骤如下：(1) 第一次求解时，为了获得较精确的初值， 采用蒙特卡洛方法，让各参量在各自定义域内随机取值，事先设定条件门:：:0.25，这样就可 以选得较好的初值，然后采用最优化算法进行 迭代计算(用的是Matlab的最优化工具箱里的 Isqnonlin函数)，得到更精确的近似值，迭代终止条件是 凶二乞10-.这样就可以求得(39)HXn|的一个近似解。(2) 增大u,用(1)求得的近似解作为初始值进行 迭代，求得本步近似解.(37b)根据上述式子，每给定一个位移U，就可以确定拱的变形曲线以及荷载大小。重复步骤(2),直到发现荷载因子开始减小， 以上若干步中最大的就是临

22、界荷载因子，“.k1FA6数值算例与讨论先考虑特殊情况，即A =0，圆拱对称变形。 此时，根据对称性有41 2 匕=k2(38)心f B此时，式(34a)-(34c)将自动满足。而(34d)-(34e) 退化为下(5虫)+F(C1,0p )-2F(G,0 卩 =CL二f |j1 -u 1 -cos” sin 彳 sin “cos (39)$ |j1 -u 1 -coscos 彳-sin-：sin解这个非线性方程组就可以确定各个参量，进 而确定拱的变形曲线。由于这是一个非线性方 程组，而式中各个参量都有范围，所以用普通 迭代法(例如拟牛顿迭代法)求解时，由于对初 值敏感，若初值选取不当，很容易导

23、致发散。 现在转换一下思路：方程组(39)的未知数可取为，其余的量可以通过这三个量来表示，方程组可记为 f -,=0，构造函数3f2，显然的最小值为零，设i X =x* = :*丄* .*时，冲达到其最小值，此 时有E =0 i =1,2,3，故x =x*即为方程组 (39)的解。于是可把求解非线性方程组的问题 转化为求一个函数的极值问题，这是一个有标在下面的计算中取 R=1m， E =210Gpa，114I =3.33 10 m。数值结果如下表：表1:不同中心角时的u和中心角aJI6314JI35n72312临界拱顶位移ucr0.800.410.560.490.40临界荷载因子人r19.60

24、16.7712.5510.728.87u =0.41时，达到临界荷载，此时:=0.3245、=1.00、，=16.77即=186、M =7 N_m、Fp =117 N圆拱的变形曲线和荷载位移曲线如图。图2 :不同拱顶位移的变形曲线7结论由(39)式可看出，和仅和角度:-有关， 每一个:-对应有一个临界荷载因子，。也就是 说，当:-一定时，拱的高跨比不变，此时临界 荷载因子，将是唯一确定的。由表1可看出，随着中心角ot的增大，临 界荷载因子 入逐渐减小，也就是拱的高跨比的 越小，临界荷载因子 扎就越小。图3中将本文的荷载位移曲线与用文献1的公式计算所得到的荷载位移曲线做了比较。从图 3可看出，本

25、文和文献1的结果相差不大。临 界荷载对应的位移均为u =0.41，仅大小有区别。产生差异的原因如下：(1)文1的(18)式中的h2的表达式为h2 ；0, ；1,77 . 1 cjsin2 叮飞匸cjsin2C0 - - 与本文的(27)和(33)式中的hA A，：和 h2B b, 2/比较即可知道，文1的(18)式中的 h2 ；, 1/：少了一项；(2)由文1中的(19)式,二0(相当于本文 的1 =)并结合本文(15-17)可得到 =1，即 MA =邑，也就是说，不管加在圆拱上的力有多R大，Ma始终不变，这显然是不大合理的。 而用 本文的方法，则不需要这一假定， 而把叫作为 一待求的量，有求

26、解结果知道，在某些情况下，JA接近1，有时则与1的差距较大。需要说明的是，因为实际的荷载是逐渐增加的，并不会减小，当达到拱顶临界位移Ucr时( 时，Ucr =0.41 )，圆拱发生翻转，达到新4的平衡位置。对应拱顶临界位移ucr以后的荷载 是不可能达到的，所以U . Ur后一直到达到新的 平衡位置前的变形曲线都是不可稳定存在的。本文通过一些简化假设，得到了圆拱在垂 直集中力作用下大变形的分析解，将求临界荷 载最终转化为一个解非线性方程组，并进而简 化为一个求函数的极小值的问题，最终求得了 在对称集中力作用下，具有不同中心角的圆拱 翻转失稳的临界荷载(见表1)，通过表1知道， 随着圆拱高跨比的减

27、小，临界荷载也随之减小。 本文的结果有一定的应用价值。因为在非对称集中力作用下还有很多值得 讨论的问题，限于篇幅，非对称的情况将另撰 文发表。参考文献(XYJ :中文的参考文献要有对 应的英文翻译)1 魏德敏.弹性扁圆拱在集中荷载作用下的非线性分析，太原工业大学学报 J，1994,25(1): ( 31-36)( wei Demin，Nonl inear Deformation Analysis of elastic circular Arches undera concentrated force.journal of taiyuan university of no.1 mar.1994,

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