东升学校高三数学第一轮复习集体教案

1、东升学校高三数学第一轮复习集体教案东升学校高三数学第一轮复习集体教案第一讲集合一课标要求：1集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；2集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；3集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用V enn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对

2、理解抽象概念的作用。二命题走向有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。预测2021年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为：（1）题型是1个选择题或1个填空题；（2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。三要点精讲1集合：某些指定的对象集在一起成为集合。a；若b不是集合A的元（

3、1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作Ab?；素，记作A（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内。具体方法：在大括号内先写上表示这

4、个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。（4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作N ；正整数集，记作N *或N +；整数集，记作Z ；有理数集，记作Q ；实数集，记作R 。2集合的包含关系：（1）集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ?B （或B A ?）；集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A ?B 且B ?A ，则称A 等于B ，记作A

5、=B ；若A ?B 且A B ，则称A 是B 的真子集，记作A B ；（2）简单性质：1）A ?A ；2）?A ；3）若A ?B ，B ?C ，则A ?C ；4）若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n 个子集（其中2n 1个真子集）；3全集与补集：（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ；（2）若S 是一个集合，A ?S ，则，S C =|A x S x x ?且称S 中子集A 的补集；（3）简单性质：1）S C (S C )=A ；2）S C S=，S C =S 。4交集与并集：（1）一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B

6、 的交集。交集|B x A x x B A =?且。（2）一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集。|B x A x x B A =?或并集。注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。5集合的简单性质：（1）;,A B B A A A A A ?=?=?=?（2）;,A B B A A A ?=?=?（3）);()(B A B A ? （4）B B A

7、B A A B A B A =?=?;；（5）S C （A B ）=（S C A ）（S C B ），S C （A B ）=（S C A ）（S C B ）。四典例解析题型1：集合的概念例1设集合,4121|Z k k x x A +=，若29=x ，则下列关系正确的是（ ） A A x ? B A x C A x D A x ? 解：由于4124121+=+k k 中12+k 只能取到所有的奇数，而41829=中18为偶数。则A A ?29,29。选项为D ； 点评：该题考察了元素与集合、集合与集合之间的关系。首先应该分清楚元素与集合之间是属于与不属于的关系，而集合之间是包含与不包含的关系。

8、例2设集合P =m |1m 0，Q =m R |mx 2+4mx 40对任意实数x 恒成立，则下列关系中成立的是（ ）A P QB Q PC P =QD P Q =Q解：Q =m R |mx 2+4mx 40对任意实数x 恒成立，对m 分类：m =0时，40恒成立；m 0时，需=（4m ）24m （4）0，解得m 0。综合知m 0，Q =m R |m 0。答案为A 。点评：该题考察了集合间的关系，同时考察了分类讨论的思想。集合Q 中含有参数m ，需要对参数进行分类讨论，不能忽略m=0的情况。题型2：集合的性质例3（2021广东，1）已知集合A =1，2，3，4，那么A 的真子集的个数是（ ）A

9、 15B 16C 3D 4解：根据子集的计算应有241=15（个）。选项为A ；点评：该题考察集合子集个数公式。注意求真子集时千万不要忘记空集?是任何非空集合的真子集。同时，A 不是A 的真子集。变式题：同时满足条件：;5,4,3,2,1?M 若M a M a 则6,，这样的集合M 有多少个，举出这些集合来。答案：这样的集合M 有8个。例4已知全集321,3,2S x x x =-，A =1,21x -如果0=A C S ，则这样的实数x 是否存在？若存在，求出x ，若不存在，说明理由。解：0=A C S ；A S ?00且，即322x x x -0，解得1230,1,2x x x =-=当0

10、=x 时，112=-x ，为A 中元素；当1-=x 时，S x =-312当2x =时，213x S -=这样的实数x 存在，是1x =-或2x =。另法：0=A C SA S ?00且，3A 322x x x -0且213x -=1x =-或2x =。点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当0=x 时，112=-x ”不能满足集合中元素的互异性。此题的关键是理解符号0=A C S 是两层含义：A S ?00且。 变式题：已知集合2,2,A m m d m d B m mq mq =+=，0m 其中,A B =且,求q 的值。解：由B A =可知，（1）?=+=+22m

11、q d m mq d m ，或（2）?=+=+mqd m mq d m 22解（1）得1=q ，解（2）得21,1-=q q 或， 又因为当1=q 时，2mq mq m =与题意不符， 所以，21-=q 。题型3：集合的运算例5（06全国理，2）已知集合M x |x 3，N x |log 2x 1，则M N （ ）A ?B x |0x 3C x |1x 3D x |2x 3 解：由对数函数的性质，且21，显然由1lo g 2x 易得),2(+=B 。从而)3,2(=?B A 。故选项为D 。点评：该题考察了不等式和集合交运算。例6（06安徽理，1）设集合22,A x x x R =-，2|,1

12、2B y y x x =-，则()R C A B 等于（ ）A RB ,0x x R x C 0D ? 解：0,2A =，4,0B =-，所以()0R R C A B C = ，故选B 。点评：该题考察了集合的交、补运算。题型4：图解法解集合问题例7（2021上海春，5）已知集合A =x |x |2，x R ，B =x |x a ，且A B ，则实数a 的取值范围是_ _。解：A =x |2x 2，B =x |x a ，又A ?B ，利用数轴上覆盖关系：如图所示，因此有a 2。 点评：本题利用数轴解决了集合的概念和集合的关系问题。例8（1996全国理，1）已知全集I N *，集合A x x 2

13、n ，n N *，B x x 4n ，n N ，则（ ）A I A BB I （IC A ）B C I A （I C B ）D I （I C A ）（I C B ） 解：方法一：I C A 中元素是非2的倍数的自然数，I C B 中元素是非4的倍数的自然数，显然，只有选项正确.方法二：因A 2，4，6，8，B 4，8，12，16，所以I C B 1，2，3，5，6，7，9，所以I A I C B ，故答案为.方法三：因B A ，所以（I C ）A （I C ）B ，（I C ）A （I C B ）I C A ，故I A （I C A ）A （I C B ）。方法四：根据题意，我们画出Venn

14、图来解，易知B A ，如图：可以清楚看到I =A （I C B ）是成立的。点评：本题考查对集合概念和关系的理解和掌握，注意数形结合的思想方法，用无限集考查，提高了对逻辑思维能力的要求。题型5：集合的应用例9向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果 赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人。问对A 、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？解：赞成A 的人数为5053=30，赞成B 的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U ，赞成事件

15、A 的学生全体为集合A ；赞成事件B 的学生全体为集合B 。设对事件A 、B 都赞成的学生人数为x ,则对A 、B 都不赞成的学生人数为3x +1,赞成A 而不赞成B 的人数为30x ，赞成B 而不赞成A 的人数为33x 。依题意(30x )+(33x )+x +(3x +1)=50,解得x =21。所以对A 、B 都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人。点评：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握。本题主要强化学生的这种能力。解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来。本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找

16、线索。画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系。例10求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个？解：如图先画出Venn 图，不难看出不符合条件的数共有（2002）（2003）(2005) (20010)(2006)(20015) (20030)146 所以，符合条件的数共有20014654（个）点评：分析200个数分为两类，即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法。题型7：集合综合题3的倍数2的倍数5的倍数例11（1999上海，17）设集合A =x |x a |12+-x x 解：由|x a

17、 |3+-x x ?+-3222a a ，于是0a 1。 点评：这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。主要考查集合的概念及运算，解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法。在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法。例12已知a n 是等差数列，d 为公差且不为0，a 1和d 均为实数，它的前n 项和记作S n ,设集合A =(a n ,nS n )|n N *,B =(x ,y )|41 x 2y 2=1,x ,y R 。 试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明：（1）若以集合A 中的元素作为点的坐标，则这

18、些点都在同一条直线上；（2）A B 至多有一个元素；（3）当a 10时，一定有A B ?。解：（1）正确；在等差数列a n 中，S n =2)(1n a a n +,则21=n S n (a 1+a n ),这表明点(a n ,nS n )的坐标适合方程y 21=(x +a 1),于是点(a n , nS n )均在直线y =21x +21a 1上。 （2）正确；设(x ,y )A B ,则(x ,y )中的坐标x ,y 应是方程组?=-+=1412121221y x a x y 的解，由方程组消去y 得：2a 1x +a 12=4(*)，当a 1=0时，方程(*)无解，此时A B =?；当a

19、 10时，方程(*)只有一个解x =12124a a -,此时，方程组也只有一解?-=-=1211214424a a y a a y ,故上述方程组至多有一解。A B 至多有一个元素。（3）不正确；取a 1=1，d =1，对一切的x N *，有a n =a 1+(n 1)d =n 0,nS n 0，这时集合A 中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a 1=10 如果A B?，那么据(2)的结论，A B 中至多有一个元素(x 0,y 0),而x 0=5224121-=-a a 0,y 0=43201=+x a 0，这样的(x 0,y 0)?A ,产生矛盾，故a 1=1,d =1时A

20、 B =?，所以a 10时，一定有A B ?是不正确的。点评：该题融合了集合、数列、直线方程的知识，属于知识交汇题。变式题：解答下述问题：（）设集合,0|,0422|2分析：关键是准确理解?B A 的具体意义，首先要从数学意义上解释?BA的意义，然后才能提出解决问题的具体方法。解： ?+=-?=+-=?=+-=+-?042,232021)32(4,0422|,0422212122m x x m x x m m x x x m M m x x 则两根均为非负实数的方程关于设至少有一个负实数根方程命题23|0|232|-=?=-=m m m U m m M 设全集 m 的取值范围是U M=m|m.

21、21321320321)(-（解法三）设,42)(2+-=x x x f 这是开口向上的抛物线，01=x 其对称轴 ，则二次函数性质知命题又等价于,20)0(-注意，在解法三中，f (x )的对称轴的位置起了关键作用，否则解答没有这么简单。 （）已知两个正整数集合A =a 1,a 2,a 3,a 4,432124232221,a a a a a a a a B A B A a a a a B A 求集合的所有元素之和是且且若,124,10,4141?=+=?、B . 分析：命题中的集合是列举法给出的，只需要根据“交、并”的意义及元素的基本性质解决，注意“正整数”这个条件的运用， .81,25,

22、9,1,9,5,3,1,;,5,3,)2(;512494,81,9,3,1,3,)1(,9,10,1,132342332332332422424441121141242322214321=?=+=?=+=?=?（）,05224|),(,1|),(22=+-+=+=y x x y x B x y y x A 设集合 .,)(,|),(试证明你的结论使问是否存在自然数=?+=C B A b k b kx y y x C 分析：正确理解.,)(题并转化为具体的数学问=?C B A要使=?=?=?=?C B C A C B C A C B A 且必须,)()()(, 由,01)12(12222=-+-

23、+?+=+=b x kb x k bkx y x y当k =0时，方程有解12-=b x ,不合题意； 当k k b b k kb k 4140)1(4)12(022221+kx y y x x 由8)1(200)25(16)1(4222-=?k b b k 得，由、得,820,141点评：这是一组关于集合的“交、并”的常规问题，解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具体的数学内容，才能由此寻求解决的方法。题型6：课标创新题例13七名学生排成一排，甲不站在最左端和最右端的两个位置之一，乙、丙都不能站在正中间的位置，则有多少不同的排法？解：设集合A =甲站在最左端的位置，B =甲站在最右端的位置

24、，C =乙站在正中间的位置，D =丙站在正中间的位置，则集合A 、B 、C 、D 的关系如图所示，不同的排法有264044556677=+-A A A 种. 点评：这是一道排列应用问题，如果直接分类、分步解答需要一定的基本功，容易错，若考虑运用集合思想解答，则比较容易理解。上面的例子说明了集合思想的一些应用，在今后的学习中应注意总结集合应用的经验。例14A 是由定义在4,2上且满足如下条件的函数)(x ?组成的集合：对任意2,1x ，都有)2,1()2(x ? ； 存在常数)10(（1）设4,2,1)(3+=x x x ?，证明：A x )(?（2）设A x )(?,如果存在)2,1(0x ,

25、使得)2(00x x ?=,那么这样的0x 是唯一的;（3）设A x )(?,任取)2,1(l x ,令,2,1),2(1?=+n x x n n ?证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式|1|121x x LL x x k k lk -+。 解：对任意2,1x ,2,1,21)2(3+=x x x ?,33)2(x ?35,253133对任意的2,1,21x x ， ()()()()23232132121211121212|)2()2(|x x x x x x x x +-=-?， 1112121x x x x +， 2323213211121212x x x x +32()()(

26、)()2323213211121212x x x x +=L ，10所以A x )(?反证法：设存在两个0000),2,1(,x x x x 使得)2(00x x ?=,)2(00x x =?。 则由|)2()2(|/00/00x x L x x -?，得|/00/00x x L x x -，所以1L ，矛盾，故结论成立。 121223)2()2(x x L x x x x -=-?，所以1211x x L x x n n n -+()()()|1|1211211x x LL x x x x x x x x k k k p k p k p k p k k p k -+-+-=-+-+-+-+ k k p k p k p k p k x x x x x x -+-+-+-+-+-+1211123122x x L x x L p k p k -+-+-+121x x L k -1211x x LL K -。 点评：函数的概念是在集合理论上发展起来的，而此题又将函数的