26进位制问题

1、第26讲6 进位制问题精品文档10【内容概述】本讲不着重讨论 质是：n进制就是逢但是，作为数论的一部分，具体到每道题则其方法还是较复杂的. 说明：在本讲中的数字，不特加说明，均为十进制.n进制中运算问题，我们是关心n这个数字，即为几进制.对于进位制我们要注意本n进一.離型问题】 昶级数:1.计算：(234) 7 +(656) 7【分析与解】我们必须注意到7进制的运算必须是逢7进I，如下:27 3? t+ 6? 5 678 8 1010 1 2 2 3于是，和为（1223）2.在几进制中有 4X 13=100.【分析与解】我们利用尾数分析来求解这个问题:不管在几进制均有（4） 10 X10=（1

2、2） 10 .但是，式中为100,尾数为0.也就是说已经将12全部进到上一位. 所以说进位制n为12的约数， 但是出现了 4，所以不可能是也就是 12, 6, 4, 3, 2.4, 3, 2进制.我们知道10 X (13) 10=(52)10，因52 100,也就是说不到10就已经进位，才能是 100，于是我们知道n 10.所以，n只能是6.3.在几进制中有 125X 125=16324 .【分析与解】注意(125) 10 X (125) 10=(15625) 10，因15625 16324，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324,所以，n 0 102 0所以显=3于捷02. 址也制

3、 为;!Xg3 12+ 102ABC+ B D CB D C D1CA+DC+ 11旦CD1 0D可能是!0 但捷肮h所以冋则 A+B+C+D=3+1+2+0=611.称n个相同的数a相乘叫做a的n次方，记做a n，并规定a0=1 .如果某个自然数可以写成2的两个不同次方(包括零次方)的和，我们就称这样的数为“双子数”，女0 9=23+20, 36=2 5 +22它们都是双子数,那么小于1040的双子数有多少个？【分析与解】我们注意到与二进制的联系：(9=23+20) 10=(1001) 2, (36=2 5+22) 10 =(100100) 2,写成2的两个不同次方(包括零次方)的和，这样的

4、数改写为二进制后只含有2个1，我们知道:(1040=2 10+24) 10 =(10000000000+10000) 2=(10000010000) 2,这样二进制为11位数，但是11位数有限制; 我们先看10位数，于是(* * * * * * * * * * )，这样10位数，选择2个数位填1,其他为0，所以为C10 ；再考虑11位数，于是(1000001 * * * * ) ，只有4个“*”和紧邻的“ 于是有5种选择；1”2所以，共有0+5=50种选择方法.所以这样的“双子数”为 50个.级数:主車12. 一个非零自然数，如果它的二进制表示中数码2是“坏数” 试求小于 1024的所有坏数的

5、个数.【分析与解】我们现把1024转化为二进制：的个数是偶数，则称之为“坏数”.例如：18= (10010)(1024)10=210=(10000000000) 2.于是，在二进制中为 11位数，但是我们只用看并且，我们把不足10位数的在前面补上0 ,10位数中情况.如 冋000卜0 i叫I 5个1 5个或以上0丿2 I 9个1、f=glI9个 1J2则,丿21* * * * * * * *；个位置/可以含2个I , 4个1, 6个1,8 个 I , 10 个 1 .于是为 G： +Cw +Cw +Cw +Cw10：94仔23咒4咒561 咒 2 3 4咒 5咒 6 7“=45+210+210

6、+45+1=511于是，小于1024的“坏数”有511个.13.计算:2 x2 XI2003个2【分析与解】! 2x2x2X2003 个 2)f、x_21=j100n 0 1丿10 I 2003个 2/ 、U1.J2003个 1 J2( 7=(111) 2 ,所以 |2x2x2fx2 1I2003个 2十 7=|111.JI 2003个1-(111) 2/0I 200372(111) 2整除(111) 2, 2003-3=6672,所以余(11) 2=3. 所以余数为3.14.计算：j3工3工、3-汇3 -1 26的余数.I2003个3丿【分析与解】f)f)I竺竺4 j =)1000.1=i2

7、22.2I2003个 3丿 I2003个3丄I 2003个2丿3f)26=(222) 3 所以，3X3X3 x3-1 -26=|22R- (222)V2003个 3丿V2003个 23(222) 3 整除(222) 3 , 2003- 3: 6672,所以余 (22) 3= 8.所以余数为8.麵级数：卓車車車3 9 2 I j业【分析与解】我们注意到被除数与 2的次幕有关，所以，我们试图通过2进制来:iL解决.我们通过左式的短除法，或者直接运用通过2次幕来表达为2进制：15 .试求(2 2006 -1)除以992的余数是多少？(992) 10=(1111100000) 2, (2 2006 -

8、1) 2=冲一I 2006个1我们知道在2进制中、5个 15个或以上0丿2定能整除(1111100000) 2,2 I曲 2| jg 2旦2 2丄2丄( ，所以iTE!=丨111.4000.0 +1111112V 2006个 1 J2V 2000个 16个 0丿2(于是我们注意到1141.4000卜.0I 5k个 15个或以上0因为 |114厂1000._0 I 能整除(1111100000) 2, (2000个16个0 丿2所以余数为(111111) 2=25+24+23+22+21+1=63,所以原式的余数为 63.16. 一个10进制的三位数，把它分别化为9进制和8进制数后，就又得到了

9、2个三位数老师发现这3个三位数的最高位数字恰好是3、4、5,那这样的三位数一共有多少个？【分析与解】我们设(3 ab) 10 =(4 cd) 9=(5 ef) 8 ；我们知道(4 cd ) 9在(400) 9(488) 9之间，也就是 4x95x9-1，也就是324406;还知道(5 ef) 8在(500) 8(577) 8之间，也就是 5X826X8 2-1，也就是 320383;又知道(3 ab) 10 在(300) 10 (399) 10之间.所以，这样的三位数应该在324383之间，于是有 383-324+1=60个三位数满足条件.17.三个两位数恰构成公差为6的等差数列，而在五进制的

10、表示中，这三个数的数字和是依次减少的那么符合这样要求的等差数列有多少个？【分析与解】6写成5进制为(11) 5，设等差数列中最小的那个数表达为5制为(abc) 5，最大可为 (322) 5=99- 6X 2=87,最小可为(20) 5=1O.那么有(abc) 5、(abc) 5+(11)5、( abc) 5 +(22)5的数字和依次减少.所以(abc) 5+(11) 5、( abc) 5+(22) 5在运算时均必须有进位，不难发现有(a24) 5、( a43) 511满足,而a可以取0, 1, 2，于是共有6组符合要求的数列.18. 一袋花生共有2004颗，一只猴子第一天拿走一颗花生，从第二天起，每天拿走的都是以前各天的总和. 如果直到最后剩下的不足以一次拿走时却一次拿走，共需多少天？ 如果到某天袋里的花生少于已拿走的总数时，这一天它又重新拿走一颗开始，按原规律进行新的一轮如此继续，那么这袋花生被猴子拿光的时候是第几天？【分析与解】我们注意到每天12348163264前若干天的和210 2004211前1天为1,前2天为2，前3天是2，所以前11天为2 10，前12天是211 ,也就是说天.不够第11天拿的，但是根据题中