第二章机电系统数学模型

1、第二章机电系统数学模型 第二章机电系统数学模型 2.1 微分方程的建立 2.2 线性微分方程的拉普拉斯变换 求解方法 2.3 传递函数与方框图 2.4 状态空间模型 主主 要要 内内 容容 第二章机电系统数学模型 1.建立系统微分方程式的一般步骤建立系统微分方程式的一般步骤 n分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，将系统划 分为若干个环节（或元件），确定每一环节的输入信号和 输出信号。 n根据支配系统动态特性的定律，从输入端开始，按照信号 的传递顺序，列出各个元件描述输出信号和输入信号相互 关系的动态方程式，一般为微分方程组； n消去中间变量，最后得到只包含系统输入量和输出量的微 分方程式

2、，即系统的数学模型； n将方程式化为标准形式，即将与输入有关的各项放在等号 右边，与输出有关的各项放在等号的左边，并且各导数项 要按降幂排列，最后将系数归化为反映系统动态特性的参 数，如时间常数等。 2.1 微分方程的建立 第二章机电系统数学模型 n2.典型元件典型元件 2.1 微分方程的建立 第二章机电系统数学模型 n典型元件典型元件 2.1 微分方程的建立 第二章机电系统数学模型 n典型元件典型元件 2.1 微分方程的建立 第二章机电系统数学模型 n电气系统电气系统 : n基尔霍夫电压定理 n基尔霍夫电流定理 n机械系统机械系统: n空间连续律 n达朗贝尔静力平衡原理 2.1 微分方程的建

3、立 网络方程网络方程元件连接原则元件连接原则 第二章机电系统数学模型 例例2. 1 机械平移系统机械平移系统 n设弹簧-质量-阻尼组成的简单的机械平移系统如图所示， 列出以F为输入，以质量的位移y为输出的运动方程式（不 计重力）。 n解解：根据牛顿第二定律可得 则系统的方程为: 上式经整理，可得系统的微分方程为: 2.1 微分方程的建立 第二章机电系统数学模型 n已知机械转动系统如图2.2所示，系统由惯性负载和粘性摩擦阻尼器组 成。系统的输入以外力矩M，系统的输出为角速度。试列出系统运动 方程式。 解解: 牛顿第二定律可以表示为 ： 式中J 为惯性负载的转动惯量，为角速度，M 为外加到系统的转

4、动 力矩。代入元件方程，可得 或 若系统的输出为转角， 据 = d/ dt 例例2. 2 机械转动系统机械转动系统 2.1 微分方程的建立 第二章机电系统数学模型 设有一个以电阻R、电感L和电容C组成的R-L-C电路如图所示。试列写 以ui为输入，uo为输出的微分方程式。 解解: 根据基尔霍夫定律写出 电路方程 亦即 消去中间变量 i得输入-输出的运动方程式 例例2.3 电气系统电气系统 其中 2.1 微分方程的建立 第二章机电系统数学模型 n例例2.1 n例例2.3 n 不同的系统，其数学模 型均为二阶微分方程，即 相似的数学模型。亦即是 说各物理系统的特性参数 间也存在着一定的运动相 似性

5、。 2.1 微分方程的建立 机电系统的相似性机电系统的相似性 第二章机电系统数学模型 n机电系统的相似性机电系统的相似性 n机电系统方程机电系统方程 2.1 微分方程的建立 第二章机电系统数学模型 2.1 微分方程的建立 n例例2.4天线方位角伺服系统如图天线方位角伺服系统如图2. 4所示，试列出以电枢电压所示，试列出以电枢电压ua为为 输入信号，跟踪卫星的天线的方位角输入信号，跟踪卫星的天线的方位角为输出信号的运动方程式。为输出信号的运动方程式。 图2. 4天线方位角伺服系统 第二章机电系统数学模型 n解解 ： 符号定义：符号定义： ua电动机的电枢电压（V） em电动机的反电势（V） Ia

6、 电动机的电枢电流（A） Ra电枢绕组的电阻（） La电枢绕组的电感（H） 电动机轴的转速（rad/s） ke反电动势系数V/rad/s） Ja 电动机转子的转动惯量（kgm2） b阻尼系数（Nm/rad/s） Ma电动机的电磁转矩（Nm） Md风力产生的阻力矩（Nm） kc电机转矩系数（Nm/A） 2.1 微分方程的建立 例例2.4 第二章机电系统数学模型 n1 电网络平衡方程 其中 n2 机械平衡方程 n3. 系统方程 2.1 微分方程的建立 例例2.4 第二章机电系统数学模型 工程简化：电动机电枢电感La通常比较小，因此可以忽略La； 在 工程实践中， 和 可作为干扰信号来处理 输入为电

7、枢电压ua，输出为天线旋转角速度的二阶微分方程为： fM c d M 2.1 微分方程的建立 例例2.4 第二章机电系统数学模型 如果设则可得到一阶线性微分方程为： 若以电动机转角为输出，即则上式可改写为： 如果电机轴上的转动惯量Ja和电枢电阻Ra忽略不计，则方程变为： 此时电枢电压ua与电机的转速成正比，这就是测速发电机的原理。 例例2.4 2.1 微分方程的建立 第二章机电系统数学模型 令：令： 则天线方位角伺服系统的运动微分方程式: 或: 2.1 微分方程的建立 例例2.4 第二章机电系统数学模型 2.2.1 2.2.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义 如果一个以时间 t为自变量的

8、函数f（t），它的 定义域是t 0，那么，拉普拉斯变换为 dtetfsFtfL st 0 )()()( 式中 为复数， 是实数； 是角频率(rad/s）。 为运算符号，称为拉普拉斯变换算子； 为函数 的拉普拉斯变换。 js L )(sF )(tf 常用的拉氏变换可以参见表2.2。 2.2 线性微分方程的拉普拉斯变换求解方法 第二章机电系统数学模型 2.2.3 2.2.3 拉氏变换基本定理拉氏变换基本定理 常数定理 线性定理 衰减定理 延迟定理 )()(sAFtAfL )()()()( 2121 sFbsFatfbtfaL )()(asFtfeL at )()(sFetfL s 2.2 线性微分

9、方程的拉普拉斯变换求解方法 第二章机电系统数学模型 2.2.3 2.2.3 拉氏变换基本定理拉氏变换基本定理 微分定理 )0()( )( fssF dt tdf L )0()0()( )( 2 2 2 fsfsFs dt tfd L )0()0()0()( )( 121 nnnn n n ffsfssFs d tfd L 2.2 线性微分方程的拉普拉斯变换求解方法 第二章机电系统数学模型 2.2.3 2.2.3 拉氏变换基本定理拉氏变换基本定理 积分定理 初值定理 终值定理 卷积定理 s f s sF dttfL )0()( )( 1 )(lim)0()(lim 0 ssFftf st )(l

10、im)(lim 0 ssFtf st )()()()()()( 21 0 2121 sFsFdftfLtftfL t 2.2 线性微分方程的拉普拉斯变换求解方法 第二章机电系统数学模型 2.2.4 2.2.4 拉氏拉氏反反变换变换 j j st dtesF j sFLtf )( 2 1 )()( 1 拉氏反变换的公式 用上式求拉氏反变换，计算复杂，一般很少采用。 通常采用的方法是利用部分分式展开，然后查拉氏变换表， 求出函数 。 )(tf 2.2 线性微分方程的拉普拉斯变换求解方法 第二章机电系统数学模型 2.2.4 2.2.4 拉氏拉氏反反变换变换 微分方程式的拉普拉斯变换 01 2 2 1

11、 1 01 1 1 )( )( )( asasasas bsbsbsb sA sB sF n n n n n m m m m n i in n n n sFsFsFsF ps C ps C ps C pspsps sB sF 1 21 2 2 1 1 21 )()()()( )()( )( )( n i i sFLsFLtf 1 11 )()()( 2.2 线性微分方程的拉普拉斯变换求解方法 第二章机电系统数学模型 2.2.5 2.2.5 用拉普拉斯变换求解线性微分方程用拉普拉斯变换求解线性微分方程 列出机电系统的微分方程后，就可以求解该微分方程。 微分方程的求解方法，可以采用数学分析的方法，

12、也可以采 用拉氏变换法来计算。采用拉氏变换法求解微分方程是代初 值进行运算的，许多情况下应用更为方便。应用拉氏变换求 解线性微分方程的一般步骤如下： （1）对微分方程两边进行拉氏变换，变微分方程为代数方 程。 （2）将给定的初始条件和输入信号代入方程，求解代数方 程，得到微分方程在 域的解。 （3）作拉氏反变换求得微分方程的时域解。 2.2 线性微分方程的拉普拉斯变换求解方法 第二章机电系统数学模型 2.2 线性微分方程的拉普拉斯变换求解方法 2.2.5 2.2.5 用拉普拉斯变换求解线性微分方程用拉普拉斯变换求解线性微分方程 例例2.52.5 求解例2.1 所述弹簧-质量-阻尼组成的简单的机

13、械平移系 统以 为输入，以质量的位移y为输出的运动方程式。 i F 其中： i Fky dt dy f dt yd m 2 2 为阶跃函数，幅值为8kg。 2 1mkg s5/kkg m6/fkg s m 已知初始位移 i F 初始速度 0 ( )|0.6 t y tm 0 ( ) |0.3/ t dy t m s dt 第二章机电系统数学模型 2.2 线性微分方程的拉普拉斯变换求解方法 2.2.5 2.2.5 用拉普拉斯变换求解线性微分方程用拉普拉斯变换求解线性微分方程 解：解：首先，对方程两边进行拉氏变换， i Fky dt dy f dt yd m 2 2 )()()0()()0()0(

14、)( 2 sFskYfysfsYymmsysYms kfsms fyymsmysF sY 2 )0()0()0()( )( 将初始条件代入方程 )5)(1( 89 . 36 . 0 )56( 89 . 36 . 0 )( 2 2 2 sss ss sss ss sY 第二章机电系统数学模型 2.2 线性微分方程的拉普拉斯变换求解方法 2.2.5 2.2.5 用拉普拉斯变换求解线性微分方程用拉普拉斯变换求解线性微分方程 解：解：进行部分分式展开 51 )( 321 s C s C s C sY 5 8 )5)(1( 89 . 36 . 0 0 2 1 s s sss ss C 40 47 ) 1

15、( )5)(1( 89 . 36 . 0 1 2 2 s s sss ss C 40 7 )5( )5)(1( 89 . 36 . 0 5 2 3 s s sss ss C )5(40 7 ) 1(40 47 5 8 )( sss sY 0, 40 7 40 47 5 8 )()( 51 teesYLty tt 第二章机电系统数学模型 传递函数是经典控制理论中一个很重要的数学模型。 是在用拉氏变换方法求解微分方程过程中引出的一种数 学模型。 传递函数是一种对系统的外部描述，它表达了系统输入 量与输出量之间的传递关系。 只与系统本身的结构和特征参数有关，而与输入量无关。 利用传递函数不必求解微分

16、方程，可以研究初始条件为 零的系统在输入信号作用下的动态过程。 利用传递函数可给系统的性能分析带来方便，另一方 面，也可把对系统性能的要求转换为对传递函数的要求， 从而给系统的设计提供简捷的方法。 2.3 传递函数与方框图 第二章机电系统数学模型 2.3.1 2.3.1 传递函数的定义传递函数的定义 对于一个线性定常系统，在零初始条件下，系统输出信号 的拉普拉斯变换与输入信号的拉普拉斯变换 之比，称为该系 统的传递函数。 传递函数表示为： )( )( )( sR sY sG 在MATLAB里，可直接用分子、分母多项式系数构成的两个 向量num与den表示系统，即 n nn m mm asas

17、bsbsb sden snum sR sY sG 1 1 1 10 )( )( )( )( )( 调用格式为：),(dennumtfsys 2.3 传递函数与方框图 第二章机电系统数学模型 2.3.2 2.3.2 传递函数的性质传递函数的性质 传递函数具有如下性质： （1）传递函数只适用于线性定常系统； （2）传递函数是在零初始条件下定义的； （3）传递函数是可以有量纲的； （4）传递函数只描述系统的输出变量与输入变量之间的动态 关系，称为系统的外部描述。 描述系统的内部特性的表示方法为状态空间法，将在下 一小节介绍。所以，同一个系统，由于描述不同的端口关系， 其传递函数可能不同；不同的系统，

18、其传递函数可能相同； 2.3 传递函数与方框图 第二章机电系统数学模型 2.3.2 2.3.2 传递函数的性质传递函数的性质 传递函数性质： （5）连续系统传递函数表达式用系 统增益、系统零点和系统极点来表示 的，则称为系统的零极点增益模型。 是传递函数模型的一种特殊形式 n i i m i i ps zsk sG 1 1 )( )( )( MATLAB中，控制系统可直接用向量z （零点）、p（极点）、k（增益）构 成的矢量组z，p，k表示系统，即 , , 21 21 kk pppp zzzz n m ),(dennumzpksys 调用格式为： 2.3 传递函数与方框图 第二章机电系统数学模

19、型 2.3.3 2.3.3 简单方框图的传递函数简单方框图的传递函数 1. 方框图 系统的方框图是线图方式的数学模型，是系统的每个元件 或子系统的功能和信号流向的图形表示，可以用来描述控制 系统的系统结构关系。 图中用箭头表示了信号传递的方向。方框图包含了与系统 动态特性有关的信息，但已经脱离了物理系统的模型，因此， 许多完全不同的系统可以用同一个方框图来表示。此外，对 一个确定的系统来说，方框图也不是唯一的。 2.3 传递函数与方框图 第二章机电系统数学模型 2.3.3 2.3.3 简单方框图的传递函数简单方框图的传递函数 2. 方框图的化简 系统一般由多个环节组成，为了便于系统分析和设计，

20、常 常需要对系统的方框图进行简化（等效变换），方框图简化需 要遵循一定的基本原则，即简化前后的数学关系不变，保证前 向通道传递函数的乘积不变，回路传递函数的乘积不变。方框 图简化（等效变换）的一些基本规则见教材表2.5。 简化方框图一般可以反复采用合并串联和并联方框、消除 反馈回路，然后移动引出点和比较点，出现新的串联和并联方 框、反馈回路，再合并串联和并联方框、消除反馈回路，不断 重复上述步骤，最后简化为一个方框。但很多情况上述步骤不 是最佳方法，可以采用其他更简单的方法，如可以移动所有引 出点和比较点以后，将所有反馈回路合并，然后消除反馈回路， 使整个方框图变为一个方框。 2.3 传递函数

21、与方框图 第二章机电系统数学模型 2.3 传递函数与方框图 2.3.3 2.3.3 简单方框图的传递函数简单方框图的传递函数 例2.9：简化图2.6(a)所示两级RC滤波网络的方框图 第二章机电系统数学模型 2.3.3 2.3.3 简单方框图的传递函数简单方框图的传递函数 例2.9：简化图2.6(a)所示两级RC滤波网络的方框图 2.3 传递函数与方框图 第二章机电系统数学模型 2.3.3 2.3.3 简单方框图的传递函数简单方框图的传递函数 3. 方框图模型简化的MATLAB实现 2.3 传递函数与方框图 第二章机电系统数学模型 2.3.3 2.3.3 简单方框图的传递函数简单方框图的传递函

22、数 3. 方框图模型简化的MATLAB实现 具体实例见教材，课后上机练习 2.3 传递函数与方框图 第二章机电系统数学模型 2.3.3 2.3.3 简单方框图的传递函数简单方框图的传递函数 4. 方框图的传递函数 典型的闭环控制系统如图2示。 R(s)为参考输入（设定值）； Y(s)为系统输出（被控量）； E(s)为误差（偏差）信号； N(s)为扰动信号； D(s)为控制器的传递函数； G(s)为被控对象（过程）的传递函数； M(s)为控制变量（控制器的输出）； F(s)为反馈元件的传递函数； B(s)为反馈信号B(s)=F(s)Y(s)； Gq(s)为前向通道的传递函数 Gq(s)=D(s)

23、G(s)。 2.3 传递函数与方框图 第二章机电系统数学模型 2.3.3 2.3.3 简单方框图的传递函数简单方框图的传递函数 4. 方框图的传递函数 典型的闭环控制系统如图2示。 R(s)为参考输入（设定值）； Y(s)为系统输出（被控量）； E(s)为误差（偏差）信号； N(s)为扰动信号； D(s)为控制器的传递函数； G(s)为被控对象（过程）的传递函数； M(s)为控制变量（控制器的输出）； F(s)为反馈元件的传递函数； B(s)为反馈信号B(s)=F(s)Y(s)； Gq(s)为前向通道的传递函数 Gq(s)=D(s)G(s)。 2.3 传递函数与方框图 第二章机电系统数学模型

24、2.3.3 2.3.3 简单方框图的传递函数简单方框图的传递函数 4. 方框图的传递函数 1）系统的开环传递函数 令扰动信号 。系统的开环传递函数是指在闭环系统中 定义了一个开环传递函数，即断开反馈通道，使闭环系统工作在开 环状态下。 0)(sN )()()()()( )( )( )(sFsGsDsFsG sE sB sH qO 2.3 传递函数与方框图 第二章机电系统数学模型 2.3 传递函数与方框图 2.3.3 2.3.3 简单方框图的传递函数简单方框图的传递函数 4. 方框图的传递函数 2）系统的闭环传递函数 时被控信号 对于控制信号 的闭环传递函数0)(sN )(sY)(sR )()(

25、)()()()( )()()( sYsFsRsBsRsE sGsEsY q )()()(1 )()( )()(1 )( )( )( )( )()()()()( sFsGsD sGsD sHsG sG sR sY sH sYsFsRsGsY q q q 消去中间变量E(s) 第二章机电系统数学模型 2.3 传递函数与方框图 2.3.3 2.3.3 简单方框图的传递函数简单方框图的传递函数 4. 方框图的传递函数 3）系统的误差（偏差）传递函数 以误差（偏差）信号为输出量，以控制量或者扰动量为输 入量的闭环传递函数称为误差（偏差）传递函数。这是闭环 系统的另一个重要的关系式，在进行系统的误差分析是

26、很有 用，特别是后续离散系统中也会用到。 在此，分别写出控制量和扰动量为输入量时引起的系统输 出，然后进行叠加获取误差（偏差）信号的输出量进而得到 其传递函数。 第二章机电系统数学模型 2.3 传递函数与方框图 2.3.3 2.3.3 简单方框图的传递函数简单方框图的传递函数 4. 方框图的传递函数 3）系统的误差（偏差）传递函数 （1）令 为N(s)=0误差（偏差）信号E(s)对于控制 信号R(s)的闭环传递函数。从式中，消去中间变量Y(s) )( )( )( sR sE sH e )()()(1 1 )()(1 1 )( )( )( )()()()()( sFsGsDsFsGsR sE s

27、H sFsGsEsRsE q e q 等效变换方框图 第二章机电系统数学模型 2.3 传递函数与方框图 2.3.3 2.3.3 简单方框图的传递函数简单方框图的传递函数 4. 方框图的传递函数 3）系统的误差（偏差）传递函数 （2）令 为R(s)=0误差（偏差）信号E(s)对于扰动 信号N(s)的闭环传递函数。令RY(s)=0，根据反馈运算： 等效变换方框图 )( )( )( sN sE sH EN )()()(1 )()( ) 1)()()(1 ) 1)()( )( )( )( sFsGsD sFsG sFsGsD sFsG sN sE sH EN 第二章机电系统数学模型 2.3 传递函数与

28、方框图 2.3.3 2.3.3 简单方框图的传递函数简单方框图的传递函数 4. 方框图的传递函数 3）系统的误差（偏差）传递函数 （3）当控制信号与扰动信号同时作用时，根据叠加原理，可 得系统总的误差为： )()()()( )()()(1 1 )( )()()(1 )()( )( )()()(1 1 )()()()()( sNsFsGsR sFsGsD sN sFsGsD sFsG sR sFsGsD sNsHsRsHsE ENe 第二章机电系统数学模型 2.3 传递函数与方框图 2.3.3 2.3.3 简单方框图的传递函数简单方框图的传递函数 4. 方框图的传递函数 4）系统的扰动传递函数

29、考虑当N(s)0时，闭环控制系统的传递函数。此时系统有两 个输入信号，一个为控制信号（参考输入），另一个为扰动信 号。 根据线性系统的叠加原理，系统的总输出为两个输入信号单 独作用所得到的输出叠加。 第二章机电系统数学模型 2.3 传递函数与方框图 2.3.3 2.3.3 简单方框图的传递函数简单方框图的传递函数 4. 方框图的传递函数 4）系统的扰动传递函数 （1）令R(s)=0，将方框图等效变换为 )()()(1 )( )( )( )( )()()()()()( sFsGsD sG sN sY sH sGsDsFsYsNsY N N NN 第二章机电系统数学模型 2.3 传递函数与方框图

30、2.3.3 2.3.3 简单方框图的传递函数简单方框图的传递函数 4. 方框图的传递函数 4）系统的扰动传递函数 （2）令N(s)=0，R(s)0，将方框图等效变换为 )()()(1 )()( )( )( )( sFsGsD sGsD sR sY sH R 第二章机电系统数学模型 2.3 传递函数与方框图 2.3.3 2.3.3 简单方框图的传递函数简单方框图的传递函数 4. 方框图的传递函数 4）系统的扰动传递函数 （3）令N(s)和R(s)同时作用时，系统总输出Y(s)为： )()()( )()()(1 )( )( )()()(1 )( )( )()()(1 )()( )()()()()(

31、)()( sNsRsD sFsGsD sG sN sFsGsD sG sR sFsGsD sGsD sNsHsRsHsYsTsY NNR 思考思考 总结：总结：求闭环传递函数的规律 第二章机电系统数学模型 2.4 状态空间模型 2.4.1 2.4.1 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 1. 一般步骤 对于不同的控制系统，根据其机理及相应的物理和化学定理， 就可建立系统的状态空间表达式，其一般步骤是： （1）选择状态变量。 （2）列出描述系统动态特性或运动规律的微分方程。 （3）消去中间变量，得出状态变量的一阶导数与各状态变量、输入 变量的关系式即输出变量与各状态变量、输入变量的关系式。

32、 （4）将方程整理成状态方程、输出方程的标准形式。 l选取的状态变量一定要相互独立，即不能由其它变量导出某一变量； l状态变量的个数应等于系统中独立储能元件的个数，并能完全决定 了系统的状态。 l选择状态变量一般有三条途径：选择系统中储能元件的输出物理量 作为状态变量；选择系统的输出变量及其各阶导数作为状态变量； 选择能使状态方程成为某种标准形式的变量作为状态变量。 第二章机电系统数学模型 2.4 状态空间模型 2.4.1 2.4.1 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 例例2.132.13：建立如图2.3所示系统的状态空间表达式 系统有两个独立的储能元件，即电容C 和电感 L 选取电容

33、电压 和电感电流 作为状态变量)(tuo)(ti dtti C tuxtix o )( 1 )(),( 21 i uxRxxL x C x 211 12 1 i u L x L x L R x x C x 11 1 211 12 第二章机电系统数学模型 2.4 状态空间模型 2.4.1 2.4.1 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 例例2.132.13：建立如图2.3所示系统的状态空间表达式 系统状态方程 uL x x C LL R x x 0 1 0 1 1 2 1 2 1 系统输出方程 2 1 2 10 x x xy 第二章机电系统数学模型 2.4 状态空间模型 2.4.1 2.4.1 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 例例2.132.13：建立如图2.3所示系统的状态空间表达式 系统状态空间表达式 式中： Cxy BuAx x 10, 0 1 , 0 1 1 , 2 1 CLB C LL R A x x x 自学自学：选取电容电荷 和电感电流 作为状态变量时的系 统状态空间表达式。 )(tqc )(ti 第二章机电系统数学模型 2.4 状态空间模型 2.4.1 2.4.1 状态空间表达式的建立状态空间表达式的建立 例例2.142.14