Z变换及Z传递函数[高教书苑]

1、第2章 Z变换及Z传递函数 第第2章章 Z变换及变换及Z传递函数传递函数 2.1 Z变换定义与常用函数变换定义与常用函数Z变换变换 2.2 Z变换的性质和定理变换的性质和定理 2.3 Z反变换反变换 2.5 线性定常离散系统的差分方程及其解线性定常离散系统的差分方程及其解 2.6 Z传递函数传递函数 第2章 Z变换及Z传递函数 2.1 Z变换定义与常用函数变换定义与常用函数Z变换变换 2.1.1 Z变换的定义变换的定义 已知连续信号已知连续信号f(t)经过来样周期为经过来样周期为T的采样开关后，的采样开关后， 变成离散的脉冲序列函数变成离散的脉冲序列函数f *(t)即采样信号。即采样信号。 对

2、上式进行拉氏变换，则对上式进行拉氏变换，则 0 * )()()( k kTtkTftf 第2章 Z变换及Z传递函数 对上式进行拉氏变换，则对上式进行拉氏变换，则 根据广义脉冲函数的性质，可得：根据广义脉冲函数的性质，可得： * 0 0 ( )( )( ) ()() ()() Ts Ts k Ts k FsLftftedt fkTtkTedt fkTtkTedt 0 * )()( k kTs ekTfsF 第2章 Z变换及Z传递函数 上式中，上式中，F*(s)是离散时间函数是离散时间函数f *(t)的拉氏变换，因复变的拉氏变换，因复变 量量s含在指数含在指数e-kTs中是超越函数不便于计算，故引

3、一个新中是超越函数不便于计算，故引一个新 变量变量z=eTs，设设 并将并将F*(s)记为记为F(z)则则 式中式中F(z)就称为离散函数就称为离散函数f *(t)的的Z变换。变换。 0 )()( k k zkTfzF 第2章 Z变换及Z传递函数 在在Z变换的过程中，由于仅仅考虑的是变换的过程中，由于仅仅考虑的是f(t)在采样瞬在采样瞬 间的状态，所以上式只能表征连续时间函数间的状态，所以上式只能表征连续时间函数f(t)在采样时在采样时 刻上的特性，而不能反映两个采样时刻之间的特性，从刻上的特性，而不能反映两个采样时刻之间的特性，从 这个意义上来说，连续时间函数这个意义上来说，连续时间函数f(

4、t)与相应的离散时间函与相应的离散时间函 数数f *(t)具有相同的具有相同的Z变换。即变换。即 * 0 ( )( )( )() k k F zf tftf kT z Z ZZ Z 第2章 Z变换及Z传递函数 求取离散时间函数的求取离散时间函数的Z变换有多种方法，常用的有两种。变换有多种方法，常用的有两种。 1级数求和法级数求和法 将离散时间函数写成展开式的形式将离散时间函数写成展开式的形式 对上式取拉氏变换，得对上式取拉氏变换，得 )()()2()2()()()() 0( )()()( 0 * kTtkTfTtTfTtTftf kTtkTftf k k zkTfzTfzTffsFzF)()2

5、()() 0 ()()( 21* 第2章 Z变换及Z传递函数 例例2.1 求求f(t)=af(t)=at/T t/T 函数（ 函数（a为常数）的为常数）的Z变换。变换。 解：根据解：根据Z变换定义有变换定义有 az az z az zazaaz zkTfzF kk k k 1 221 0 1 1 1 )()( 第2章 Z变换及Z传递函数 2部分分式法部分分式法 设连续时间函数的拉氏变换为有理函数，将展开成设连续时间函数的拉氏变换为有理函数，将展开成 部分分式的形式为部分分式的形式为 因此，连续函数的因此，连续函数的Z变换可以由有理函数求出变换可以由有理函数求出 n i i i ss a sF

6、1 )( n i ts i i ez za zF 1 )( 第2章 Z变换及Z传递函数 例例2.2 已知已知 （a为常数）为常数） 求求F(Z)F(Z) 解：将解：将F(s)F(s)写成部分分式之和的形式写成部分分式之和的形式 )( )( ass a sF assass a sF 11 )( )( assaa 2121 011 aTaT aT aT ezez ze ez z z z zF )1 ( )1 ( 1 )( 2 第2章 Z变换及Z传递函数 2.1.2 常用信号的常用信号的Z变换变换 1单位脉冲信号单位脉冲信号 )()(ttf 0 ( )( )()1 k k F ztkT z Z Z

7、2单位阶跃信号单位阶跃信号 )( 1)(ttf 0 12 1 ()1() 1 1 1 (1) 1 k k FzkTz zz z z z z 第2章 Z变换及Z传递函数 3单位速度信号单位速度信号 ttf)( 0 123 2 () (23) (1) (1) k k FzkT z Tzzz T z z z 第2章 Z变换及Z传递函数 4指数信号指数信号 at etf )( 0 122 1 ( ) 1 1 1 kaTk k aTaT aT at F zez ezez ez z ze 第2章 Z变换及Z传递函数 5正弦信号正弦信号 ttfsin)( 2 2 1 sin() 2 1 ( )() 2 1

8、2 1 2 1 2()1 sin 2cos1 jtjt jtjt jtjt jTjT jTjT jTjT tee j F zee j ee j zz jzeze ee jzeez zT zzT Z Z Z ZZ Z 第2章 Z变换及Z传递函数 2.2 Z变换的性质和定理变换的性质和定理 1线性定理线性定理 设设a,a1,a2为任意常数，连续时间函数为任意常数，连续时间函数f(t),f1(t),f2(t) 的的Z 变换分别为变换分别为F(z),F1(z),F2(z)、及，则有及，则有 11221122 ( )( ) ( )( )( )( ) af taF z a fta fta Fza Fz Z

9、 Z Z Z 第2章 Z变换及Z传递函数 2滞后定理滞后定理 设连续时间函数在设连续时间函数在t0时，时，f(t)=0，且且f(t)的的Z变换为变换为F(z)， 则有则有 证明：证明： ()( ) k f tkTzF z Z Z 0 (1)(2) 12 ()() (0)( )(2 ) (0)( )(2 ) ( ) n n kkk k k f tkTf nTkT z fzf T zfT z zff T zfT z zF z Z Z 第2章 Z变换及Z传递函数 3超前定理超前定理 设连续时间函数设连续时间函数f(t)的的Z变换为变换为F(z)，则有则有 证明：证明： 1 0 ()( )() k k

10、km m f tkTz F zf mT z Z Z 0 12 (1)(2) 1 00 1 0 ()() ()(1) (2) ()(1) (2) () ()() ( )() n n kkkk km m k k kmm mm k kk m m f tkTf nTkT z f kTfkT zfkT z zf kT zfkT zfkT z zf mT z zf mT zf mT z z F zf mT z Z Z 第2章 Z变换及Z传递函数 4初值定理初值定理 设连续时间函数设连续时间函数f(t)的的Z变换为变换为F(z)，则有则有 证明：证明： 所以所以 (0)lim( ) z fF z 12 0

11、( )()(0)( )(2 ) k k F zf kT zff T zfT z )(lim)0(zFf z 第2章 Z变换及Z传递函数 5终值定理终值定理 设连续时间函数设连续时间函数f(t)的的Z变换为变换为F(z)，则有则有 证明：证明： )() 1(lim)()1 (lim)( 1 1 1 zFzzFzf zz )( )()2()0()()()0( )()( )()( )()(lim )()(lim)()1 (lim 0 00 00 1 1 1 1 1 f TfTffTfTff TkTfkTf TkTfkTf zTkTfzkTf zFzzFzFz k kk kk kk z zz 第2章

12、Z变换及Z传递函数 6卷积和定理卷积和定理 设连续时间函数设连续时间函数f(t)和和g(t)的的Z变换分别为变换分别为F(z)及及G(z)，若若 定义定义 则则 00 ()()()()()*() kk ii g iT f kTiTg kTiT f iTg kTf kT ()*()( )( )g kTf kTG z F zZ Z 第2章 Z变换及Z传递函数 证明：证明： 由于当由于当i k时时 0)( iTkTf 00 00 () 00 () 00 ()*()() () () () () () () () ( ) ( ) k k ki k ki k ii ki k ii k ii g kTf k

13、Tg iT f kTiT z g iT f kTiT z fki T zg iT z fki T zg iT z F z G z Z Z 第2章 Z变换及Z传递函数 7求和定理求和定理 设连续时间函数设连续时间函数f(t)和和g(t)的的Z变换分别为变换分别为F(z)及及G(z)，若若 有有 则则 k i iTfkTg 0 )()( 1 1 )( )( z zF zG 第2章 Z变换及Z传递函数 证明：证明： 1 1 1 0 0 1 )( )( )()()( )()()( )()( )()( z zF zG zFzGzzG kTfTkTgkTg jTfTkTg iTfkTg k j k i 第

14、2章 Z变换及Z传递函数 8 8位移定理位移定理 设设a为任意常数，连续时间函数为任意常数，连续时间函数f(t)的的Z变换为变换为F(z)，则有则有 证明：证明： ( )() ataT f t eF z e Z Z 0 0 ( )() ()() () atakTk k aTk k aT f t ef kT ez f kTez F ze Z Z 第2章 Z变换及Z传递函数 9 9微分定理微分定理 设连续时间函数设连续时间函数f(t)的的Z变换为变换为F(z)，则有则有 证明：证明： ( ) ( ) z d F z tf tTz d Z Z 00 1 00 ( ) ()() 1 ()()()()

15、1 ( ) kk kk zzz kk kk d F zdd f kT zf kTz ddd f kTk zf kTkT z Tz tf t Tz Z Z 第2章 Z变换及Z传递函数 2.3 Z反变换反变换 所谓所谓Z反变换，是已知反变换，是已知Z变换表达式变换表达式F(z)，求相应离散求相应离散 序列序列f(kT)或或f*(t)的过程，表示为的过程，表示为 Z反变换主要有三种方法，即长除法、部分分式法和反变换主要有三种方法，即长除法、部分分式法和 留数计算法留数计算法 1 ()( )f kTF z Z Z 第2章 Z变换及Z传递函数 1长除法长除法 设设 用长除法展开得用长除法展开得： 由由Z

16、变换定义得：变换定义得： 比较两式得：比较两式得： 则：则： n nn m mm azaza bzbzb zF 1 10 1 10 )( k k zczcczF 1 10 )( k zkTfzTffzF)()()0()( 1 ,)(,)(,)0( 10k ckTfcTfcf )()2()()( 210 * kTtcTtcTtcctf k 第2章 Z变换及Z传递函数 2部分分式法部分分式法 又称查表法又称查表法 ，设已知的设已知的Z变换函数变换函数F(z)无重极点，先求出无重极点，先求出 F(z)的极点，再将的极点，再将F(z)展开成如下分式之和展开成如下分式之和 然后逐项查然后逐项查Z变换表，

17、得到变换表，得到 则：则： n i i i zz za zF 1 )( 1 ()1, 2, i i i a z fkTin zz Z Z 01 * )()()( k n i i kTtkTftf 第2章 Z变换及Z传递函数 3留数法留数法 设已知设已知Z变换函数变换函数F(z)，则可证明，则可证明，F(z)的的Z反变换反变换 f(kT)值，可由下式计算值，可由下式计算 根据柯西留数定理，上式可以表示为根据柯西留数定理，上式可以表示为 n表示极点个数，表示极点个数，pi表示第表示第i个极点。即个极点。即f(kT)等于等于F(z)zk- -1的的 全部极点的留数之和。全部极点的留数之和。 1 1

18、()( ) 1 ( ) 2 k z c f kTF z F z zd j Z Z 1 1 ()Res( ) i n k zp i f kTF z z 第2章 Z变换及Z传递函数 即：即： 11 1 1 Res( )lim() ( ) ()lim() ( ) i i i kk i zp zp n k i zp i F z zzp F z z f kTzp F z z 第2章 Z变换及Z传递函数 2.5 线性定常离散系统的差分方程及其解线性定常离散系统的差分方程及其解 对于单输入、单输出的计算机控制系统，设在某一对于单输入、单输出的计算机控制系统，设在某一 采样时刻的输出为采样时刻的输出为y(kT

19、)， 输入为输入为u(kT)，为了书写方便，为了书写方便， 用用y(k)表示表示y(kT)，用用u(k)表示表示u(kT)。 在某一采样时刻的输出值在某一采样时刻的输出值y(k)不但与该时刻的输入不但与该时刻的输入 u(k)及该时刻以前的输入值及该时刻以前的输入值u(k- -1)，u(k- -2)，u(k- -m) 有关，且与该时刻以前的输出值有关，且与该时刻以前的输出值y (k- -1)，y (k- -2)， y(k- -n)有关，即：有关，即： 或或 1201 ( )(1)(2)()( )(1)() nm y kay ka y ka y k nbu kbu kb u k m 0112 (

20、) ( )(1)() (1)(2)() mn y kbu kbu kb u k may ka y ka y k n 第2章 Z变换及Z传递函数 上式称为上式称为n阶线性定常离散系统的差分方程，其中阶线性定常离散系统的差分方程，其中ai、 bi由系统结构参数决定，它是描述计算机控制系统的数学由系统结构参数决定，它是描述计算机控制系统的数学 模型的一般表达式，对于实际的应用系统，根据物理可模型的一般表达式，对于实际的应用系统，根据物理可 实现条件，应有实现条件，应有k0。当当k0时，时，y(k)=u(k)=0。 用用Z Z变换解常系数线性差分方程和用拉氏变换解微分变换解常系数线性差分方程和用拉氏变

21、换解微分 方程是类似的。先将差分方程变换为以方程是类似的。先将差分方程变换为以z z为变量的代数方为变量的代数方 程，最后用查表法或其它方法，求出程，最后用查表法或其它方法，求出Z Z反变换。反变换。 第2章 Z变换及Z传递函数 若当若当k0时，时，f(k)=0，设设f(k)的的Z变换为变换为F(z)，则根据则根据 滞后定理关系可推导出滞后定理关系可推导出 1 2 ( )( ) (1)( ) (2)( ) ()( ) n f kF z f kz F z f kz F z f knzF z Z Z Z Z Z Z Z Z 第2章 Z变换及Z传递函数 例例2.8 若某二阶离散系统的差分方程为：若某

22、二阶离散系统的差分方程为： 设输入为单位阶跃序列。设输入为单位阶跃序列。 解：对差分方程求解：对差分方程求Z变换得变换得 ( )5 (1)6 (2)( )y ky ky ku k 12 12 ( )5( )6( )( ) 1 1 ( ) 1 156 9 1 4 2 1223 z Y zz Y zz Y zU z z z Y z z zz zzz zzz 第2章 Z变换及Z传递函数 取取Z反变换得反变换得 )23( 2 1 3 2 9 24 2 1 22 kk k k ky 第2章 Z变换及Z传递函数 2.6 Z传递函数传递函数 2.6.1 Z传递函数的定义传递函数的定义 设设n阶定常离散系统的

23、差分方程为：阶定常离散系统的差分方程为： 在零初始条件下，取在零初始条件下，取Z Z变换变换 则则G(z)就称为线性定常离散系统的就称为线性定常离散系统的Z传递函数。即：在零传递函数。即：在零 初始条件下离散系统的输出与输入序列的初始条件下离散系统的输出与输入序列的Z变换之比。变换之比。 )() 1()()() 1()( 101 mkubkubkubnkyakyaky mn )()()()1 ( 1 10 1 1 zUzbzbbzYzaza m m n n n n m m zaza zbzbb zU zY zG 1 1 1 10 1 )( )( )( 第2章 Z变换及Z传递函数 2.6.3 Z

24、传递函数的求法传递函数的求法 1用拉氏反变换求脉冲过渡函数用拉氏反变换求脉冲过渡函数 2将将g(t)按采样周期按采样周期T离散化，得离散化，得g(kT) 3应用定义求出应用定义求出Z传递函数，即传递函数，即 G(z)不能由不能由G(s)简单地令简单地令s=z代换得到。代换得到。G(s)是是g(t)的拉氏的拉氏 变换，变换，G(z)是是g(t)的的Z变换。变换。G(s)只与连续环节本身有关，只与连续环节本身有关， G(z)除与连续环节本身有关外，还要包括采样开关的作用。除与连续环节本身有关外，还要包括采样开关的作用。 为了讨论方便，将上述过程简记为为了讨论方便，将上述过程简记为 )()( 1 s

25、GLtg 0 )()( k k zkTgzG ( )( )G zG s 第2章 Z变换及Z传递函数 例例2.9 已知已知 解解 式中式中e-Ts相当于将采样延迟了相当于将采样延迟了T T时间。根据时间。根据Z Z变换的线性定变换的线性定 理和滞后定理，再通过查表，可得上式对应的脉冲传递理和滞后定理，再通过查表，可得上式对应的脉冲传递 函数为函数为 1 1 ss K s e sG Ts 2 1 (1) 1 T s GsKe ss s 1 1 21 1 1 11 11 (1) 1 1 1 ()() (1)(1) T TTT T Tz G zKz z z ez KzTeeTez zez 第2章 Z变

26、换及Z传递函数 2.6.4 开环开环Z传递函数传递函数 1串联环节的串联环节的Z传递函数传递函数 串联环节的串联环节的Z传递函数的结构有两种情况：传递函数的结构有两种情况：种是两种是两 个串联环节之间没有采样开关存在，即串联环节之间的个串联环节之间没有采样开关存在，即串联环节之间的 信号是连续时间信号，如图信号是连续时间信号，如图2.3所示。所示。 G1 (s) Y(s) T U(z) U(s) Y1(s) Y(z) 图2.3串联环节间无采样开关 G2 (s) G(z) 第2章 Z变换及Z传递函数 输出输出Y(z)与输入与输入U(z)之间总的之间总的Z传递函数并不等于两个环传递函数并不等于两个

27、环 节节Z传递函数之积。因为两个环节之间的信号传递是一个传递函数之积。因为两个环节之间的信号传递是一个 连续时间函数，即连续时间函数，即 上式对应的上式对应的Z Z传递函数为传递函数为 上式中符号上式中符号 是是 的缩写，它表示先的缩写，它表示先 将串联环节传递函数将串联环节传递函数G1(s)与与G2(s)相乘后，再求相乘后，再求Z变换的变换的 过程。过程。 )()()()()()( 21 sUsGsUsGsGsY 1212 ( )( )( )( )G zG sGsG GzZ Z )( 21 zGG 12 ( )( )G sGsZ Z 第2章 Z变换及Z传递函数 另一种是两个环节之间有同步采样

28、开关存在，如图另一种是两个环节之间有同步采样开关存在，如图 2.4所示。所示。 G1 (s) T U(z) U(s) T Y1(z) G2 (s) Y(z) 图2.4串联环节间有采样开关 G(z) 第2章 Z变换及Z传递函数 两个串联环节之间有采样开关，可由两个串联环节之间有采样开关，可由Z传递函数约定义直传递函数约定义直 接求出。接求出。 串联环节总的串联环节总的Z Z传递函数为传递函数为 )( )( )( )( )( )( 1 2 1 1 zY zY zG zU zY zG )()( )( )( )( )( )( )( )( 21 1 1 zGzG zY zY zU zY zU zY zG

29、 第2章 Z变换及Z传递函数 由上式可知，两个串联环节之间有同步采样开关隔开的由上式可知，两个串联环节之间有同步采样开关隔开的 Z传递函数，等于每个环节传递函数，等于每个环节Z传递函数的乘积。传递函数的乘积。 在一般情况下，很容易证明：在一般情况下，很容易证明： 在进行计算时，应引起注意。在进行计算时，应引起注意。 )()()( 2121 zGzGzGG 第2章 Z变换及Z传递函数 结论：结论： n个环节串联构成的系统，若各串联环节之间有同步个环节串联构成的系统，若各串联环节之间有同步 采样开关，总的采样开关，总的Z传递函数等于各个串联环节传递函数等于各个串联环节Z传递函数传递函数 之积，即之

30、积，即 如果在串联环节之间没有采样开关，需要将这些串如果在串联环节之间没有采样开关，需要将这些串 联环节看成一个整体，求出其传递函数联环节看成一个整体，求出其传递函数 然后再根据然后再根据G G( (s s) )求求G G( (z z) )。一般表示成一般表示成 )()()()( 21 zGzGzGzG n )()()()( 21 sGsGsGsG n 1212 ( )( )( )( )( ) nn G zG s GsGsG GGzZ Z 第2章 Z变换及Z传递函数 2并联环节的并联环节的Z传递函数传递函数 对于两个环节并联的离散系统，输入采样开关设在总对于两个环节并联的离散系统，输入采样开关

31、设在总 的输入端，其效果相当于在每一个环节的输入端分别设的输入端，其效果相当于在每一个环节的输入端分别设 置一个采样开关，如图置一个采样开关，如图2.5所示。所示。 G1 (s) Y(s)T U(s) Y1(s) Y(z) (b) 采样开关在总输入端 G2 (s) TY2(s) G1 (s) T U(s) Y1(s) (a) 采样开关在各个环节输入端 G2 (s) Y2(s) 图2.5 并联环节 Y(s) Y(z) 第2章 Z变换及Z传递函数 根据图根据图2.5可知，总的可知，总的Z传递函数等于两个环节传递函数等于两个环节Z传递传递 函数之和，即函数之和，即 上述关系可以推广到上述关系可以推广

32、到n个环节并联时、在总的输出端与输个环节并联时、在总的输出端与输 入端分别设有采样开关时的情况。总的入端分别设有采样开关时的情况。总的Z传递函数等于各传递函数等于各 环节环节Z传递函数之和，即传递函数之和，即 12 12 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) Y z G z U z GsGs GzGz Z Z )()()()( 21 zGzGzGzG n 第2章 Z变换及Z传递函数 2.6.5 闭环闭环Z传递函数传递函数 设闭环系统输出信号的设闭环系统输出信号的Z变换为变换为Y(z)，输入信号的输入信号的Z 变换为变换为R(z)，误差信号的误差信号的Z变换为变换为E(z)，则有如

33、下定义：则有如下定义： 闭环闭环Z传递函数：传递函数： 闭环误差闭环误差Z传递函数：传递函数： )( )( )( zR zY zW )( )( )( zR zE zWe 第2章 Z变换及Z传递函数 例例2.11 设离散系统如图设离散系统如图2.6所示，求该系统的闭环误差所示，求该系统的闭环误差Z 传递函数及闭环传递函数及闭环Z传递函数。传递函数。 Y(z)E(z)R(z) y(t) e*(t) r(t)e(t) T H(s) G(s) 图2.6 例2.11线性离散系统 第2章 Z变换及Z传递函数 解：解：G(s)与与H(s)为串联环节且之间没有采样开关，则有为串联环节且之间没有采样开关，则有

34、闭环误差闭环误差Z传递函数：传递函数： 又：又： 闭环闭环Z Z传递函数：传递函数： )()()()(zEzGHzRzE )(1 )( )( zGH zR zE )(1 1 )( )( )( zGHzR zE zW e )(1 )()( )()()( zGH zRzG zEzGzY )(1 )( )( )( )( zGH zG zR zY zW 第2章 Z变换及Z传递函数 2.6.6 Z传递函数的物理可实现性传递函数的物理可实现性 从物理概念上说就是系统的输出只能产生于输入信号从物理概念上说就是系统的输出只能产生于输入信号 作用于系统之后。这就是通常所说的作用于系统之后。这就是通常所说的“因果

35、因果”关系。关系。 设设G(z)的一般表达式为的一般表达式为 ： 不失一般性，假定其中的系统不失一般性，假定其中的系统m0，n0，其余系其余系 数为任意给定值，则其对应的差分方程为数为任意给定值，则其对应的差分方程为 由上式知，由上式知，k时刻的输出时刻的输出y(k)不依赖于不依赖于k时刻之后的输入，时刻之后的输入， 只取决于只取决于k时刻及时刻及k时刻之前的输入和时刻之前的输入和k时刻之前的输出。时刻之前的输出。 故故G(z)是物理可实现的。是物理可实现的。 1 01 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 m m n n bb zb zY z G z U z a za z )() 1()() 1()()( 110 nkyakyamkubkubkubky nm 第2章 Z变换及Z传递函数 若设若设G(z)的一般表达式为的一般表达式为 不失一般性，假定其中的系统不失一般性，假定其中的系统m0，n0，其余系其余系 数为任意给定值，则数为任意给定值，则 如果如果G(z)是物理可实现的，则要求是物理可实现的，则要求nm。否则，否则