数列求与问题(教师版)2份

1、课题数列求和问题一、知识归纳：数列求和的主要方法：（1）公式法：能直接用等差或等比数列的求和公式的方法。（2）拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（等差、等比、常数列）然后分别求和的方法。（3）并项求和法：将数列相邻的两项或几项并成一组，得到一个新的更易求和的数列的方法。（4）裂项相消法：将数列的通项分成二项的差的形式，相加消去中间项，剩下有限项再求和的方法。常用技巧有：11 ( 11 ) ；1n1 ( n kn )n(n k ) k n n kn kk(2n11)1 (111) ； n n! (n 1)! n!1)( 2n22n2n11111n( n1)( n2)1)(n2 n(n1)(

2、n 2)（5）错位相减法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，也即是仿照推导等比数列前n项和公式的方法。 若 an 为等差、 bn 为等比数列，则求数列 anbn 的前n 项和可用此法。（6）倒序求和法：即仿照推导等差数列前n 项和公式的方法1/10二、例题分析：例 1 求和：（1） (a1) (a22)( ann)（2） 1311135(2n 1)( 2n 1)（3） 1 2x3x2nx n 1 ( x1)解：（ 1） Sn( a1)(a22)(ann)(aa2an )(12n)当 a1时， Snn n( n 1) n n222当 a1时， S

3、a (1an )n(n1)n1a2（2） Sn1111335(2n1)(2n1)1 (11 )1(1 1)1(1 1)1 (111)1 (11)n12323525722n2n122n12n（3） Sn12x3x2nxn1xSnx2x23x3(n1)xn 1nxn因为 x1 则 (1 x)Sn1 x x2x3xn 1nxn1 xnnx nxnnxn1x故 Sn1(1x)21x例 2在等差数列 an中， a11，前 n 项和 Sn 满足条件 S2 n4n2 , n1,2, ，Snn1（）求数列 an的通项公式；（）记 bnan pan ( p0) ，求数列 bn的前 n 项和 Tn 。解：（）设等

4、差数列an的公差为d , 由S2n4n2得：a1a23，所以 a22 ，Snn 1a1即 da2a11，所以 ann 。（）由 bnan pan ，得 bnnpn 。所以 Tnp2 p23 p3(n 1) pn 1 npn ，当 p1时， Tn1；n2当 p1 时， pT p22 p33p 4(n 1) pnnpn 1，n(1P)Tnp2p3pn 1pnn1p(1pn )npn1pnp1pn 1,p1即 T2。nnp(1p )npn1, p11p例 3正项数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 2 Snan1.（1）求数列 an 的通项公式；2/10（2）设 bnan1, 数列 bn 的前

5、n项和为 Tn , 求证 : Tn1 .an12解（ 1） 2S1a1 1, a1 =1 an0,2Snan1,4Sn(an1) 2 4Sn1(an11)2 (n2)，得 4anan22anan22an 11即 ( anan1 )(anan 12)0而 an0, anan 12(n 2)故数列 an 是首项为 1，公差为 2 的等差数列。 an2n 1（2） bn11)1 (11)( 2n 1)(2n22n 12n1Tnb1b2bn1 (11)1(1 1)1 (111)1 (11)2323522n2n122n11(11)111)1 Tn122n122( 2n22数列求和习题数列 an 的通项公

6、式是 an1(nN) ，若它的前项和为 10，则其项1nn1n数 n 为A11B99C120D121ann1n ，则由 Snn1110，得 n120 ，选 C2数列 1,12,1,121,的前 n 项和为1123nA 2n1B 2nC n 2D n12nn1n12nan122( 11) ，则 Sn2(11 )2n，选 B1 2n n(n 1)n n 1n 1n 13数列 an 的通项是 an4n1， bna1a2nan，则数列 bn 的的前 n 项和为A n2B n(nC n(nD n(2n 1)1)2)a1a2ann(34n1)n(2n1) ，则 bn2n12b1b2bn135(2n1)n2

7、 ，选 A4已知数列 an 的前 n 项和为 Snn24n1，则 | a1 | a2 | a3 | a10 |的值是A65B67C61D56由 an SnSn 1n，得n3，2503/10则原式a1a2a3a10S10 2S2 616 67，选 B5数列 1 1 ,31,51 , (2n1)1n,的前 n 项和为 Sn ，则 Sn2482A n21B n21C 2n21D n2112n12n 1n 1 2nn 12n1分析：代入检验，因S112，故选 A6在等比数列 an 中， a1a2an2n1 ，则 a12a22an2A (2n 1)2B (2n1)2C 4n1D 4n133分析：有 a1

8、1, a1a21 q2213，则 q2 ， an2n1 ， an24n 1故原式14424n114n1 (4n1)，选 D1437 数列 1, (12),(1222), (122n12的通项公式),an 2n1，前 n项和2Sn 2n 1n2 .8若数列 an 满足 a12， nan 1(n1)an2，则数列 an 的通项公式 an 4n29数列 an 中， a11, a22， an2an1(1)n (nN) ，则 S1002600。n 为奇数时 an 2an0 ， ana11； n 为偶数时，an2an2， annS100(a1a3a99 )(a2a4a100 )50(24100)5050(

9、2 100)2600210数列n中， 12n 1，则此数列的前2009 项之和为 _1003.， n a a1aa10由题设可知， a2k11， a2k0 （ k1），则 S2009100311已知数列 an 是等差数列，其前 n 项和为 Sn , a31S36.2（I ）求数列 an 的通项公式；（II ）求和： 111 .S1S2Sn（）解：设等差数列an的公差是 d，依题意得，a12d63a13212.d2解得 a12, , 数列 an的通项公式为 ana1(n1)d2n.d2.（）解： an2n ， Snn(a1a n )n(n 1).2 111111S1S2Sn1223n(n 1)=

10、(1 1) (1 1)(1 1)( 11) 11.1 22 32 3n n 1n 14/1012设数列 an 的前 n 项和为 Sn2n2 ， bn 为等比数列，且 a1b1 , b2 (a2a1 )b1.（）求数列 an 和 bn 的通项公式； （）设 cnan ，求数列 cn 的前 n 项bn和 Tn .解：（ 1）：当 n1时， a1 S12;当n2时, anSnSn 12n22(n1) 24n2,故 an的通项公式为 an 4n2 ，即 an 是 a12 ，公差 d4 的等差数列设 bn 的通项公式为 q,则 b1 qdb1 , d4, q1 .4故 bn b1q n 121，即 bn

11、 的通项公式为 bn24 n 14n1（II ） cnan4n2(2n1)4 n 1 ,bn24n1Tnc1c2cn1341542(2n 1) 4n1 4Tn14342543( 2n3)4n1(2n1)4n 两式相减得3Tn1 2(414Tn1 ( 6n5)4923n 1n1n44)(2n1)4( 6n5) 45n5.13. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且对任意正整数 n ， anSn 4096 。（1）求数列 an 的通项公式（2）设数列 log 2 an 的前n项和为 Tn,对数列 n ，从第几项起 Tn509 ？（参考T数据： 460167.8）解(1) anSn 4096,

12、 a1 S1 4096, a12048当 n2时, anSnSn 1(4096an )(4096an 1 )an 1an an= 1an2048 ( 1 )n 1212 nan 122(2) log 2 anlog 2 212 n12 n ,Tn1 ( n223n) .2由 Tn234601509 , 解得 n2, 而 n 是正整数 , 于是 n46.5/10从第 46 项起 Tn509 .14数列 an 的前 n 项和为 Sn ，满足：a11，3tSn( 2t3)Sn 13t ，其中 t0 ，nN且 n 2（）求证：数列 an 是等比数列；（）设数列 an 的公比为 f (t) ，数列 bn

13、 满足 b11,bnf ( 1)( n2), 求 bn 的通项bn1式.（）记 Tnb1b2b2b3b3 b4b4b5b2n 1b2nb2n b2 n1, 求证： Tn20 .9解（）当 n2时， tStSt ,tStSt 3n (2 3)n 133 n 1(2 3)n3得：31( 23)an0an 12t 3（ n2 ）tantan3t又 a11,3t (a1a2 )(2t3)a13t ，解得： a22t3 ,3ta2a3an12t 3a1a2an3t an 是首项为 1，公比为 2t 3 的等比数列。3t23（） f (t)2t 3 ,bnbn 13bn 12bn 12 ,3t333bn1

14、bnbn 12 , 则 bn1 (n 1) 2 2 n13333（） Tnb2 (b1b3 )b4 (b3b5 )b2 n (b2 n 1b2n1 )4 n(54n1433)2n(4n6)423(b2b4b2 n )3299 (2n3n)当n时,2n23n为增,45202Tn9915已知数列 ann2 ，数列 bn 中 b1的前 n 项和 Sn2,bn 2bn 1(n 2)为奇数（1）求 an , bn ；（ 2）若 cnan , n，求 Cn的前 n 项和 Tnbn , n为偶数6/10数列求和习题1数列 an 的通项公式是 an1(nN ) ，若它的前 n 项和为 10，则其项nn 1数

15、n 为（）A11B99C120D1212数列 1,12,13, ,21,的前 n 项和为（）1121nA 2n1B 2nC n 2D n2nn1n12n13数列 an 的通项是 an4n1， bna1 a2an，则数列 bn 的的前 n 项和为n（）7/10A n2B n(n1)C n(n2)D n(2n1)4已知数列 an 的前 n 项和为 Snn24n1 ，则 | a1 | a2 | | a3 | a10 | 的值是（）A65B67C61D565数列 11,31,51, (2n1)1n ,的前 n 项和为 Sn ，则 Sn（）2482An211Bn211C2n2n 11Dn2n 112n2

16、n 12n2n6在等比数列 an 中， a1a2an2n1 ，则 a12a22an2（）A (2n 1)2B (2n1)2C 4n1D 4n17数列 1,(133，前 n 项和 Sn.2),(1 222 ),(12 222n 1 ),的通项公式 an8若数列 an 满足a12 ， nan 1(n 1)an2 ，则数列 an 的通项公式 an _9数列 an 中， a11, a22， an2an1(1)n (nN) ，则 S100_。10数列 an 中， a1 1， an2an 110，则此数列的前2009 项之和为 _.11已知数列 an 是等差数列，其前 n 项和为 Sn , a31S36.

17、2（I ）求数列 an 的通项公式；（II ）求和： 111 .S1S2Sn12设数列 an 的前 n 项和为 Sn2n2 ， bn 为等比数列，且 a1b1 , b2 (a2a1 )b1.（）求数列 an 和 bn 的通项公式；（）设 cnan ，求数列 cn 的前 n 项bn和 Tn .13. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且对任意正整数 n ， an Sn 4096 。（1）求数列 an 的通项公式（2）设数列 log 2 an 的前 n 项和为 Tn , 对数列 Tn ，从第几项起 Tn509 ？（参考数据：460167.8）8/1014数列 an 的前 n 项和为 Sn ，满足：a11，3tSn(