实变函数 样章new

1、样 章第1章 集合一级标题，居中，小二号宋体本章介绍集合的一般理论，主要包括集合的概念及运算、集合的对等与基数（势）、可数集与不可数集、中的开集、闭集与完全（备）集. 1.1集合运算二级标题，居中，小三号宋体1.1.1集合的概念三级标题，顶格，小四号黑体集合是数学中最原始的概念之一，一般不加以精确定义，概括地说，集合是指把具有某种特征或满足一定性质的所有对象或事物视为一个整体时，这一整体就称为集合，而这些事物或对象称为该集合的元素.例如,自然数全体组成一个集合，常记为N；有理数全体组成一个集合常记为Q；实数全体构成一个集合，常记为；定义在闭区间a,b上的连续函数全体构成一个集合，常记为Ca,b

2、，等等.一般地，集合的符号常用大写字母A，B，C,，X，Y，Z,表示，集合中的元素常用小写字母a,b,c,表示.设X是一个集合，若为X的元素则记为; X表示不是X的元素.对一个集合X来说，某事物或对象，或者是X的元素，或者不是X的元素，二者必居其一.表示一个集合通常有两种方法，一种是穷举法，即将该集合的所有元素都列举出来，例如正文，五号宋体，为了使稿子版面看起来清晰明朗，建议设为1.5倍行距.又如1, 2, 3, n,.另一种是描述法，将具有某种性质p的元素全体记为.例如. 例1例题以小节为单位排序，序号用五号黑体，前空两格 表示空集，即该集合中无元素；表示单元素集；表示n个元素集合；表示实数

3、轴上开区间.定义1.1 定义以章为单位排序，序号用五号黑体，前空两格 设有两个集合A，B，若A，必有B，则称A是B的子集或B包含A，记为 . （1.1）公式以章为单位排序号，右顶格排若，且存在B满足A，则称A是B的真子集.如果且，则称A与B相等或相同，记为.显然.例2 设是定义在上实值函数，c为某一实数，集合 表示满足上且属于E的全体.例3 且N为的真子集，为的真子集.例4 设A是任一集合，集合为A的一切子集构成的集合，称为A的幂集.显然是非空的.定义1.2 设是一个非空集合，对于每个，指定一个集合，于是得到许多集合，它们的总体称为集合族,记为.特别地，若，则称为集合列（简称集列）.1.1.2

4、 集合的运算定义1.3 设A，B是两个集合.（1）称集合为A与B的并集，即由A与B的全部元素构成的集合；（2）称集合为A与B的交集，即由A与B的公共元素构成的集合.若，则称A与B互不相交；若，则称A与B相交.例5 若是定义在上实值函数，a, b, c为实数且,则关于集合的交和并的运算可推广到任意多个集合的情形，设有集合族，定义其并集与交集分别为 特别地，当时，记 例6 设.例7 设 ，则.定理1.1 定理以章为单位排序，序号用五号黑体，前空两格（1）交换律 ；（2）结合律 ；（3） 分配律 ； .更一般地有（4） ；（5） ；（6）为两集列，有 .证明“证明”二字，五号黑体，前空两格 仅证（5

5、）.若.若有，从而.若则有，故, 从而 .反之，若，则有，即，若，有.若，有,.，所以 .定义1.4 设A，B是两个集合，称集合 是A与B的差集，即在集合A中而不在集合B中的一切元素构成的集合.如果BA，则称AB为B相对于A的补集或余集.通常在讨论问题的范围内，所涉及的集合总是某个给定集合X的子集，称X为全集，简称集合 为B的补集或余集，也可简记. 容易证明集合的差集和余集有下列性质.定理1.2 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）.定理1.3 （De.Morgan法则）（1） ；（2） . 特别地，若X为全集，有（3） ；（4） .证明 仅证（3），其余留作习题.任取. 即对一切有，也即对一切，故.反之，若，即对一切 定义1.5 设X和Y是两个集合，称集合 是X与Y的直积集，简称的直积，其中是指.一般地，可定义任意多个集合的直积 例8 ；.习题1 （会上讨论并确定题型、题量）注：各参编老师请将习题参考答案附在后面，题号对应，最后由主编统一置于书后。注：各参编老师请将参考文献附在后面，最后由主编统一置于书后。参考文献（格式如下）1 孙清华.复变函数M.武汉：华中科技大学出版社，1996 .2 李学银，等.线性代数（第2版）M.武汉：华中科技大学出版社，2004.3 Gill, R. Mastering English