1992考研数三真题及解析

1、1992年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上)(1)设商品的需求函数为Q =100 5P ,其中Q, P分别表示为需求量和价格,如果商品需求弹性的绝对值大于1,则商品价格的取值范围是级数(X 2)的收敛域为n 土 n4交换积分次序 fdyj；* f(x,y)dx =设A为m阶方阵，B为n阶方阵,且A=a, B=b,C=j0IBA,则 C =0丿精品文档23将C,C,E,E, I, N,S等七个字母随机地排成一行，那么，恰好排成英文单词 SCIENCE的概率为二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.在每小题给出的四

2、个选项中，只有一项 是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设 F(x)x= f f(t)dt,其中f(x)为连续函数，则limF(x)等于X -a aT(A) a2(B)a2f(a)不存在(D)(C) 0当XT 0时，下面四个无穷小量中，哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量(A) x2(B)1-cosx(C) J1 -X2 -1(D)X -ta nxAx = 0仅有零解的充分条件是(B)(D),事件C必发生，则A的列向量线性相关A的行向量线性相关()设A为m X n矩阵，齐次线性方程组 (A) A的列向量线性无关(C) A的行向量线性无关 设当事件A与B同时发生时(A) P

3、(C) P(A) + P (B)1P(C) = P(AU B)设n个随机变量X1,X2(,Xn独立同分布，D(X1)=b2,XXi，n iTS2=丄艺(Xi-X)2,则n -1 14(A)S是CT的无偏估计量(B)S是CT的最大似然估计量(C)S是b的相合估计量（即一致估计量）（D）S与X相互独立三、（本题满分5分）In cos(x 1),X H1,设函数f(x)=1-sinx问函数I 1,X =1.改函数在x=1处的定义使之连续.四、（本题满分5分）五、（本题满分5分）f（x）在x = 1处是否连续？若不连续，修-.2设Z =Sin（xy） +W（x,-）,求上三，其中W（u,v）有二阶偏导

4、数.ycxsy六、（本题满分5分）x2求连续函数f(x),使它满足f (x)+2 f (t)dt =x七、（本题满分6分）1 2 x兀求证：当 X 知时,arctanx - - arccos2 =2 1+x24八、（本题满分9分）设曲线方程y=ej（x0）.（1）把曲线y=e；x轴，y轴和直线x=r（E：0）所围成平面图形绕 x轴旋转一周，得一旋转体，求此旋转体体积V（）；求满足V（a） = 1 limV梓）的a .（2）在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大 出该面积.,并求九、（本题满分7分）设矩阵A与B相似,其中02r-1001L3L0(1)求x和y的值.(2

5、)求可逆矩阵P,使得PAP =B.十、(本题满分6分)已知三阶矩阵B H 0,且B的每一个列向量都是以下方程组的解为 + 2x2 2x3 =0, 2x1 血 + 几X3 = 0,3x1 + X2 X3 =0.(1)求几的值；(2)证明B =0.卜一、(本题满分6分)设A、B分别为m、n阶正定矩阵，试判定分块矩阵 C（A是否是正定矩阵.十二、(本题满分7分)假设测量的随机误差X L N(0,102),试求100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率a ,并利用泊松分布求出a的近似值(要求小数点后取两位有效数字).附表12345670.368 0.135 0.0500.01

6、8 0.007 0.002 0.001十三、(本题满分5分)一台设备由三大部分构成，在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20 和0.30.假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的数学期望EX和方差DX .十四、(本题满分4分)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为Je0cxy,f（x，y）=i0,其他,(1)求随机变量X的密度fx(x); (2) 求概率PX+Y 0,得价格P 1,解得P 10.1005 P所以商品价格的取值范围是(10,20.(2)【答案】(0,4)【解析】因题设的幕级数是缺项幕级数,故可直接用比值判别法讨论其收敛性首先当x-2=0即x

7、= 2时级数收敛.当X H 2时，后项比前项取绝对值求极限有(x-2)2(tlimF (n +1)4n4n吋(x】2)2n3心=口4 m+14当(X-2)241,即当0 卜2 2= 0cxc2或21时收敛；当p1时发散.nMn二 n所以正项级数 1是发散的.心n综合可得级数的收敛域是（0, 4）.C tn注：本题也可作换元（x-2）2=t后,按如下通常求收敛半径的办法讨论幕级数Z 一n的收心n4【相关知识点】收敛半径的求法:an +如果P = lim 匹，其中an,a卄是幕级数送anxn的相邻annT两项的系数，则这幕级数的收敛半径0 P 十处,R才亦,0,p = 0,P = -Hef(X,

8、y)dy旋a/TZX2f(x,y)dy + J1 dxf0【解析】这是一个二重积分的累次积分 ，改换积分次序时，先表成：原式=JJ f （x, y）dxdy.D由累次积分的内外层积分限确定积分区域D : D二(x,y)|0yE1,7?xw7V，即D中最低点的纵坐标 y = 0,最高点的纵坐标y =1, D的左边界的方程是 x = H即y =x2的右支，D的右边界的方程是X = J2 - y2即X2 + y2 = 2的右半圆，从而画出D的图形如图中的阴影部分，从图形可见A OA *OA* Amn1* B=O B=ABB*=B O=()A IB【相关知识点】两种特殊的拉普拉斯展开式：设A是m阶矩阵

9、，B是n阶矩阵，则1【答案】 1260【解析】按古典概型求出基本事件总数和有利的基本事件即可1_y2所以dy.亍f(x,y)dx=J02D1 =(x,y)|0ExE1,0兰 y EX ,D2 =(x,y) 1 x J2,0 y J2 -X2.f(x,y)d；1 dxj01 X2dxff (x,y)dy.【答案】(1)mnab【解析】由拉普拉斯展开式(-1)mnIA|B/ A、mn 1=(1) ab.设所求概率为P(A),易见，这是一个古典型概率的计算问题，将给出的七个字母任意排成一行，其全部的等可能排法为7!种，即基本事件总数为 n = 7!,而有利于事件 A的样本点212 1数为2! 2!,

10、即有利事件的基本事件数为4,根据古典概型公式 P(A).7!1260二、选择题(本题共5小题，每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(B)【解析】方法1: lim F(x)为“XT所以可应用洛必达法则.型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在，limF(x)也 xaaX5af (t)dt =a2limXf f(t)dt a= lim 辿3a1=a2f (a).故应选(B).X2f 2dt =2a2.a方法2:特殊值法.取 f(X)=2,则 lim F(x) =limTXT X - a显然(A),(C),(D)均不正确，故选(B).【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：G(t)若 F(

11、t)=打)f(x)dx,a(t), P(t)均一阶可导，则F(t) =P(t)计卩(t)-(t)计a(t).(2)【答案】(D)【解析】由于 XT 0时,1-cosx1x2,j1-x2 -121 2 2 2一一x ,故 x ,1_COSX,j1-X -1是同阶无穷小，可见应选(D).【答案】(A)【解析】齐次方程组 Ax = 0只有零解二r(A) = n.由于r(A) = A的行秩=A的列秩，现A是mx n矩阵,r(A) =n,即A的列向量线性无关.故应选(A).【相关知识点】对齐次线性方程组Ax = 0,有定理如下：对矩阵A按列分块，有A=(%,a2，IH,an ),则Ax = 0的向量形式

12、为102，川,Xi% +%2口2 +川 + XNn =0.那么，Ax=0有非零解二aie2IZn线性相关【答案】(B)【解析】依题意：由“当事件1,5,川,5)V nu r( A)v n.A与B同时发生时,事件C必发生”得出 ABU C ,故P(AB) P(C);由概率的广义加法公式P(AUB) = P(A) + P(B) -P(AB)推出P(AB)= P(A) + P(B)-P(AUB)；又由概率的性质 P(aUb) P(AB) =P(A) +P(B) -P(AUB) P(A) + P(B) -1,因此应选(B).(5)【答案】(C)【解析】根据简单随机样本的性质，可以将X1,X2,川，Xn

13、视为取自方差为CT2的某总体X的简单随机样本，X与S2是样本均值与样本方差.2 2 2由于样本方差S是总体方差的无偏估计量，因此ES ,ESHb ,否则若ES=b ,则(ES)2 =cr2, DS =ES2 -(ES)2 = 0.故不能选(A).对于正态总体，S与X相互独立，由于总体 X的分布未知，不能选(D).同样因总体分布未知，也不能选(B).综上分析，应选(C).进一步分析，由于样本方差S2是b 2的一致估计量,其连续函数S = 屈一定也是b的一致估计量.三、(本题满分5分)【解析】函数f(x)在X = X0处连续，则要求lim f(x)=f(X0).X_方法1:利用洛必达法则求极限li

14、m f (X),因为lim f (x)为1母在点0处导数都存在，所以连续应用两次洛必达法则，有si n(x-1) cos(x-1)i ”型的极限未定式，又分子分. /、. ln cos(x-1).lim f(X)= lim = limX j兀 XT1 Si n 21兀兀X-cos2 2ZlimMx-1)兀y兀Xcos2二 lim cos2 1)limf(x)=limln1)XT /XT ,1 Si n2ln costlim-T ,兀t1 - cos2In 1 + (cost-1)1-cosW2= limT 12cost 12J24-丄t2 lim T兀 2t28 lim兀H. Jix.兀(-S

15、in)2 2而f (1)=1,故lim f(X)H1,所以f(x)在x=1处不连续.4若令f(1)=-T7,则函数f(x)在X=1处连续.1方法2:利用变量代换与等价无穷小代换，XT 0时，cosx1U -一X2 ； In(1 +x)LI x.2求极限lim f (x),令X -1 =t,则有以下同方法1.四、(本题满分5分)【解析】用分部积分法：- Jarccotexde=-ej arccot ex ，-x-JeXe j_ 2x1 +edx2x-x, x=-e arccot eJ(1-x +11 n(1 +e2x)+C ,注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题 算,最后甚至算不出结

16、果来.在做题的时候应该好好总结-x丄 X=-e arccot e其中C为任意常数.,如果选择不当可能引起更繁杂的计 ,积累经验.【相关知识点】分部积分公式：假定U =u(x)与V =v(x)均具有连续的导函数，则Juvdx =uv - Ju Vdx, 或者judv = uv- jvdu.五、(本题满分5分),重要的是要分清函数是如何复【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关，所以本题可以先求,再求J!(竺)excy ex1由复合函数求导法，首先求z；,由题设z； = ycos(xy)+叫+ 2,y再对y求偏导数,即得1 1zxy =cos(x

17、y) -xysin(xy)+(叫)；+-(申2)； -需fx)=cos(xy) -xysin(xy) +护121 ly丿yIF X e ”1 (p I12 飞 22 22 .y yx= cos(xy) -xysin(xy)-字申 y【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数U = W(X, y), v =屮(x, y)都在点(x, y)具有对x及对y的偏导数,函数Z = f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数z = f(x,y),屮(x,y)在点(x, y)的两个偏导数存在，且有1ererczcz cucz cv=+Lcreexcu excv ex二 f1 段+exfv

18、；ex六、(本题满分5分)ercz需z cu 丄 cz cv=+recycu cycv cy【解析】两端对 x求导，得f(X)+2f(x)=2x.记P(x)=2,Q(x)=2x,有通解f(X)=e_Fx)dx( jQ(x)e Fx)dXdx + c)=e4x( j2xe2Xdx + C) =Ce4x +x-2其中C为任意常数.1 11由原方程易见(0)=0,代入求得参数r.从而所求函数尹+二【相关知识点】一阶线性非齐次方程y + P(x)y =Q(x)的通解为_p(x)dxy =eJQ(x)e)dx+c,其中C为任意常数.XJ七、(本题满分6分)12x T【解析】方法1 :令f(xarctan

19、-arccos-,则f (x) =2 2+M(12+mo(xA1).2 2 2 21 +x 2 (x -1)(1 + x )因为f (x)在1, +处)连续,所以f(x)在1, +处)上为常数,因为常数的导数恒为 0.1 2 xJ!故 f(X)= f (1) = 0,即 arctanx - arcco 丄.2 1+x241 2x -tt-方法 2：令 f(x)=arctanx-arccos上-二，则 f(x)在1,x上连续，在(1,x)内可导,2 1 + x24由拉格朗日中值定理知，至少存在一点(1,x),使得f(x)-f(1)= f 徉)(x-1).由复合函数求导法则，得f(x)=右啜:阳？

20、三 021),1 +x 2 (x -1)(1 + x )12x所以 f(xf(1).由 f =0可得,当时,arctan-2arccos【相关知识点】复合函数求导法则如果U = g(x)在点x可导，而y = f(X)在点U = g(X)可导，则复合函数y = fg(x)】在点x可导,且其导数为齐fT)dy dy du dx du dx八、(本题满分9分)【解析】对于问题(1),先利用定积分求旋转体的公式求v(),并求出极限iimv().问题(2)是导数在求最值中的应用，首先建立目标函数，即面积函数，然后求最大值.(1)将曲线表成y是x的函数，套用旋转体体积公式-2xHf 2F 匕 _2x兀-2

21、 E兀_2 aV(r) J。y2dx J。e dx = 5(1-e J,V(a) =3(1-e ),乂兀兀tmvGwlmye X?.兀o。兀1由题设知一(1e)- ,得a=Tn2.242 过曲线上已知点(xo,yo)的切线方程为y-yo =k(x-xo),其中当/(x。)存在时,k =y(X0).设切点为（a,e），则切线方程为y-e=-e（x-a）.令 X = 0,得 y+a),令 y =0,得 x =1 + a .1由三角形面积计算公式，有切线与两个坐标轴夹的面积为S =丄（1 + a）2e .21 1因 S = （1 +a）e-（1 +a）2e=11-a2）e,令 S = 0,得 a1,

22、a -1（舍去）.由于当a1时，S0.故当a=1时，面积S有极大值，此问题中即为最 大值.故所求切点是（1,e二）,最大面积为s 2 宀2r.【相关知识点】由连续曲线y = f(x)、直线X = a, X = b及X轴所围成的曲边梯形绕 X轴旋转一周所得的旋转体体积为:bV =兀faf 2(x)dx.九、（本题满分7分）【解析】因为 AL B,故可用相似矩阵的性质建立方程组来求解参数X和y的值.若PAP = A,则A是a的特征向量.求可逆矩阵P就是求a的特征向量.几E-B,即（1）因为AL B,故其特征多项式相同，即aE A -2(a+2)a -(X +1)a+(x2)=仏+1)(几一2)(几

23、一y).由于是A的多项式，由A的任意性，令 A = 0,得 2( X - 2) = 2 y .令).=1,得 3 (2) =2(1-y).由上两式解出y = -2与X = 0.-2001r-10 2 L 01_3111_0由（1）知 20 102因为B恰好是对角阵，所以马上可得出矩阵A的特征值，矩阵A的特征值是1当打=1 时，由(一E - A) X = 0 , 2 1L-30-2-1-210L002得到属于特征值 A = -1的特征向量 % = (0, 2,1)T .4当 电=2 时，由（2E -A）x=0,-201-21001-1L00当 Z3 = -2 时，由（2E -A）x=0, -23

24、-1-2t310L0100得到属于特征值 A = -2的特征向量僅3 =（1,0,-1）T.0-2那么令 P = （口1,（/2,口3）=L1,有 PAP = B.-1-1得到属于特征值 A =2的特征向量2=(0,1,1)丁.2（1）方法 1：令 A = i2-111用行列式的等价变换，将第三列加到第二列上-1-2A-1=0,再按第二列展开，有十、(本题满分6分)【解析】对于条件AB=0应当有两个思路：一是B的列向量是齐次方程组 Ax = 0的解；另一个是秩的信息即r(A) +r(B) n .要有这两种思考问题的意识-2)，对3阶矩阵 A，由AB = 0, B H 0知必有 A = 0,否则

25、A可逆,从而B =A(AB) = A0 =0,这与BH0矛盾.故-2A-1解出A -1 .方法2：因为B H 0,故B中至少有一个非零列向量.依题意，所给齐次方程组 Ax = 0有非零 解，得系数矩阵的列向量组线性相关 ，于是12-22 -1Z3 1-1以下同方法 反证法：对于 AB=O,若BhO,则B可逆,那么A=（AB）b/=OB/=0.与已知条件A HO矛盾.故假设不成立,B =0.【相关知识点】对齐次线性方程组Ax = 0,有定理如下：对矩阵A按列分块，有）,则Ax = o的向量形式为捲口1 +%2口2 +ill XnCtn =0.那么，Ax=0有非零解二02,川,J线性相关二（，02

26、，川宀）v nu r（A）v n.对矩阵B按列分块,记B =（际6,氏），那么AB =A(Pi, p2,p3)=(APi,Ap2,Ap3)=(0,0,0).因而 aR =0 i =(1,2,3),即 Pi 是 Ax =0 的解.十一、（本题满分6分）【解析】在证明一个矩阵是正定矩阵时，不要忘记验证该矩阵是对称的方法1:定义法.因为A B均为正定矩阵，由正定矩阵的性质，故A A, B B ,那么a 0 屮叮A 0、.0B,10 B丿0 .又因为B是正定矩阵，故对任意的n维向量丫，恒有YTAY 0 .于是zTcz=(xT，yT)A BHTax+丫。即ZTCZ是正定二次型，因此C是正定矩阵.方法2：

27、用正定的充分必要条件是特征值大于0,这是证明正定时很常用的一种方法因为A B均为正定矩阵,由正定矩阵的性质,故A, B ,那么CT(A 0、T b B丿0 0、BVl0 B 丿设A的特征值是 為，兀2,川，為，B的特征值是 出卍2,川卍n.由A, B均正定,知禹0, 4j 0 (i =12111, m, j =12111, n).因为aE C =kEm - A00AEn - B=XEm - A=(几一 SIDm X 气 j 11(几-于是，矩阵C的特征值为几川，Am,叫，#2，川，瞪.因为C的特征值全大于0,所以矩阵C正定.十二、(本题满分7分)【解析】设事件 A = “每次测量中测量误差的绝

28、对值大于19.6 ”，因为 XL N(0,102),即19.6-4cEX =0,DX =cr2 =102.根据正态分布的性质则有:=P (A) =P jx| a19.6 = P jX=P= PX|I 101010九96X1=1 - P1.96 =1 -(1.96) -(-1.96) I10J=1 (1.96) (1 -(1.96) =22 (1.96) =2(1 -(1.96) =0.05.设丫为100次独立重复测量中事件A出现的次数，则丫服从参数为n =100, p=0.05的二项分布.根据二项分布的定义，P 丫=讣=需pk(1 -P)nk =0,1,2 II i),则至少有三次测量误差的绝

29、对值大于19.6的概率a为:J =PY 3 =1 P丫 100, P 3 =1 - PY c 3 =1 - PY = 0 - PY = 1 - PY = 2Z20! 1! 2! 2= 1-e5(1 +5+ 52)787.2十三、（本题满分5分）【解析】令随机变量Xir，第i个部件需调整，,1,2,3.0,第i个部件不需调整，依题意X1,X2,X3相互独立，且X1,X2, X3分别服从参数为0.1,0.2,0.3 的0 1分布，即(1) PX =0 =PX1 +X2 + X3 =0 =PX1 =0,X2 =0,X3 =0= PXi =0PX2 =0PX3 =0 =0.9x0.8x0.7 =0.504 ,PX =1 = PX1 +X2 +X3 =1=P Xj =1,X2 =0,x3 =0+ PXj =0,X2 =1,X3 =0 + PX1 =0,X2 =0, X3 =1=P Xj =1 PX2 =0 PX3 =0+ P Xj =0PX2 =1 PX3 =0 +P Xj =0 PX2 =0 PX3 =1=0.1 X0.8 X0.7 +0.9X 0.2 X 0.7 +0.9 X0.8X0.3 =0.398,PX =3 = PXi +X2 +X3 =3 = PXi =1,X2 =1,X3 =1= P