高等光学教程

1、第五章部分相干光理论5.1证明解析信号u（t）的实部u和虚部u们之间互为希尔伯特变换，即它们之间有下面的关系u(t) Jp.V.u(r)(t) 一1P. V i-dt证明：（1 ）由（5-10）式，解析函数的实部u(t) =2Re o U ( .)exp(-j2t)d、.(5.1-11)而 u(r)(t)二 Reu(t)，比较以上两式，可见有关系式QOu(t) =2U(r)C )exp4j2 t)d .L0(5.1-13)上式可表示为aOu(t) =(1 sgn .)U (r)( . )exp(-j2dt)d、.(5.1-18)_nO又因为U(t)二 U c )exp( j2d t)d u P

2、i，t 7-Ug,t -勺lim*2u P2，t 沌 一 cu*P2,t2I C丿2 t2(P5.2-2)展开并改变求时间平均与极限的顺序，得到下列四项2u Pi,tLtiP2,t 二2%u Pi,tu Pi,tP2,t_f2 ic因而(P5.2-2)式可化为-i2 也_.寸2_：i2 耳_i2 -选lim.ti，丄t2r0首先对：t2 0求极限，有下面的结果lim-i2 :-tit2 - - i2ci3clim寸20-i2_At2 +2i + Fi22-iIc丿1 c丿：t2而当赵1一； 0时，有下面结果J 0CTc :. i2(P5.2-i )式右边第三项为i2：M2CT;:.22 -ic

3、2 一 ri用同样的方法，(P5.2-1)式右边第四项化为将以上结果代入(P5.2-1 )式，得到 Q点的光强为i(Q) = I(1) (Q) +I (Q) _2KiK2 Re(P5.2-3)(3 )窄带光可用下式来表示u(p,t) = A(p,t)exp( -j2二t)对于窄带光来说，式屮 相干函数A(p,t)相对于exp(-j2t)来说是一个缓变函数。窄带光的互】12()=，A(pi,t.) A * (p2,t)：exp(-j2 二厂.)CT2对i2(J求导时，求时间平均的部分可视为常数。-12()的二阶导数为：A(pi,t .)A*(P2,t)：ej2F(-4-：22)=4:22i2C)

4、令5 二 )dq _ -2二 j厂Ki i=i,2将以上结果代入(P5.2-3 )式，得到窄带光的光强公式l(Q)=l (Q) +1 (2) (Q) -(rjr2D2)Rejri2卜(-2心可I c Z亠(Q) |(2)(Q2KiK2Ri2 吁-1(i) (Q) I (Q) 2KiK2 Re 丨仁互I I c 丿J在得到最后一个等式时考虑到了 K i、K 2是纯虚数，因而有 K iK 2二-KK2。5.3 证明(5.2-16)式，即 0 乞 i2 C )1证明：Schwartz不等式告诉我们，如果 X (p,q)和Y(p,q)是(p,q)的两个任意复值函数，那 么2JJXY dpdq 兰口|

5、X |2 dpdqjjl Y |2 d pdq由上式可直接写出1 /2|】12（）性【】11（0）】22（0）将上式两边归一化，并利用得到-12（）】11（0）】22（0）0| 12 （-）115.4（1）证明图5-7（a）中条纹的空间周期为L = 证明图5-7（b）中沿x 轴条纹包络的单宽度Del d解答：（1）由教材中（5.3-7）式，在余弦函数的相位因子中，令：=? 12（ ）（2 - 1）ZD2 TT亠 （x ：亠 y= ：） = 2n二-D图（a）中相邻两直线之间An =1，两直线的方程分别为x. ： yD（2 n二一）2兀 i. dx -亠 y 2（n1）二-:2兀在图（a）中先求

6、y轴上A、B两点之间的距离，令 用仝讨，在上述两方程中令 X =0 , 求出yA和yB后相减得 y =，又令y =yc （常数），两方程相减求得.x = xb - xc二，再由直角 ABC，得到l=，式中d - C： ）2 G ）2 。d（2 ）光源的相干长度 干涉条纹强度最大值处1 1r2 -r1（译-评）-一（: x Jy）=0条纹第一次消失r2巾C：2 ;12） 丄（x iy）-2DDAvCD参考图（b），对于BC段x值相同，y值不同，由上面方程组求得 3=；。对于Av 3AB段y值相同，x值不同。由上面方程组求得CDAvi-条纹很密近似取整数条纹，由AB BC 二 AC ：l 得.：l

7、 二DC二 d式中d(厶)25.5 图p5-5所示为一洛埃(Lloyd )镜干涉实验的几何关系图，一点光源置于一全反射平面镜上距离S处，在距该点源d处的屏幕上观察干涉条纹。光源的复相干度为(.)=exo(-二.：.|. |)exo( -j 2. .)假设S I： d及x： d，并考虑反射时场的符号变化(偏振方向平行于反射镜)，试求(1) 干涉条纹的空间频率；(2) 假设相干涉的两束光具有相等的强度，干涉条纹作为x函数的可见度。5yr-rX-5V/? /? / /7z/4/*77/z /.J虚见点图 p5-5解答：洛埃镜的干涉条纹是由光源直接射到屏幕上的光与先入射到反射镜而后反射到屏幕上的光相干

8、涉而形成的， 它可以看成是光源与其镜像虚光源发出的光相干涉而产生的。光在掠入射时反射后有 二相位跃变，根据图中所设坐标系，实光源发出的光波记作U(S,t)，虚光源发出的光波记作 u(-s,t)er：。设窄带光的复相干度用(J表示，由实点光源入射到屏上Q点的光波为U1(Q,t) = K1U s,t 丄 I -)N n KN 4)/2其中为模式间隔，厂为中心模式频率，为简单起见假设N为奇数。(1)试证明相应的复相干度的包络为()二（2）画出 N =3, 0 ： . ：4 二.-时相应的曲线。证明：（i）归一化功率谱密度 G?c.）反映了光源的光谱特性，复相干度（.）与G?e）之间有下面的关系qQ(

9、)=d.L 0将题中所给的G?c.）表达式代入上式，得到N 11 r 2 (N 0 NJ送(ej2气.n =0N J2_j2；. yej2 二 n= N Jn 2N.J丁盒+ Z (e-jg)n-1其中N J丁x-(2二. .)n N 41 j2Mvt-1 -e 2-1 _ej2 心.N d丁、 (e-C. .、n _ 1 _e(e_j2f.n =0n =0因而- -exp(j2，) exp j2 :N -1N -1N 1什exp厂j 2兀伉 一一 exp卩2兀仇 一jexp j2 二:.- 22 - exp( j2.) - exp( - j2二.)a N 1a N +1cos2 兀 -cos

10、2 兀二丄 e -j 2 衣.22N1 -cos2：s1. j2 p sin ： NeNsin 二由上式得出复相干度的包络为sin w NN sin 二：.(2)当N =3时sin 3.3sin 二;v(.)一 2 .的函数曲线如图 P5.8所示。5.9证明任何单色光波在时间平均意义上都是完全相干的。 证明：设u(p,t)表示一单色光波场，它可用以下复指数形式来表示u(p,t) = u(p)ex( _j2n .)式中U( p)为该单色光波场的复振幅，为其频率。光场中任意两点 Pl和P2的复振幅分别表 示为U(P1)=0(pi)ej(pi)，U(P2)l(P2)ej (p2)在时间上相差任意间隔

11、.的光扰动之间的相干性可用其互相干函数来表示丨(P1, P2, ) =.U(Pi,t) u *(P2,t).=.U(Pi) u*(P2)：exp(j2 .)复振幅u (p)与时间无关，在时间平均意义上-(Pi , P2 , )可简化为-(Pi, P2, ) =fl(Pi)l(P2)expj j l(Pi) 一(P2)bexp(j2d .)将上式归一化得到复相干度(Pi, P2,)二exp：-j 1(pi) - 5) Fexp(-j2二.)由上式看出对于任意的pi、p2及均有| (Pi,P2,)戶i5.i0假定一个激光源具有 r和、2两个频率十分接近的辐射(例如2 -X =108Hz)，若相应于

12、每一个频率的带宽都是无限窄，并且辐射强度分别为li和12,当l l2时试计算 I Y )1解答：因为每一个频率的光带宽都是无限窄二 Ui(t) =Uio exp*j2兀Vit) ,U 2(t) =U2o exp fj2网2t)2 2由定义可求出r(.) =U 10 exp(_j2j. 1.) U 20 exp( _j 2-. 2.)=11 exo( _ j 2二. 1 .)12 exp( _ j2曲:2 )Y()二r(0) I2e-j2n2.1112vr，1I Y()h 1 +r1 +r -2 - 2rcos(2二:)2| y () I =| COS(H 心)|95.11有一氦氖激光器，发射出

13、波长为633nm的光，具有的多普勒展宽为15 10 Hz。按Man del提出的方法计算其相干时间和相干长度lc二c（ c为光速）。再对多普勒展宽为75 109 Hz的氩离子激光器 488nm谱线做同样的计算。解答：多普勒展宽的功率谱接近于高斯型，作为近似处理，我们按高斯型归一化功率谱进行计算欽r2 ln2局 vexp2 ln2式中为半功率谱宽度，相应的复相干度为e xp(j2匸.)根据Man del提出的方法，相干时间为屯=门 Y(O|2dJ exd-2J dT=J二 l I2J1 n2 丿 j 2ln2 11:0.664 一31 iviv相干长度为111lc =c c =1.99 1011

14、( mm)Av氦氖激光器发出的光波长为633nm，设其多普勒展宽为1.5 109Hz，代入计算得10c =4.33 10 秒lc =132.7 mm氩离子激光器发出的光波长为488nm，设其多普勒展宽为 7.5 109 Hz，代入计算得c =8.85 10秒lc = 26.5 mm5.12 结合图p5-12，假设到达Q点相干涉的两束光归一化的功率谱相同，证明Q点的复相干度11(.) ARe 12( 2 - 1)1 + ARe?i2(i2 )(1)i (2)式中的常数I(1)I(2)| |y (0)=(1 图p5-12讨论交叉谱纯条件所用的几何图示证明：设U,t)和U2(t)均为统计平稳的窄带光

15、场，假设它们分别从杨氏实验的两个针孔P1、P2中发出，经历了不同的时间延迟1、.2之后，在Q点处叠加，合成的场为u(t)- j)K2U2(t - 2)下面讨论合成场u(t)的功率谱与各分量场功率谱之间的关系。功率谱是自相干函数的傅里叶变换，因此首先讨论Q点处合成场的自相干函数】Q(.)二 U (t J U *(t) ：斗 K1 I2 -11( ) | K2|2 -22( )| K1II K212( 2 一 )I K1 | K2121 一 2)式中 ij ( J = Ui(t .) Uj(t) ：( i, j =1,2)利用关系式丨21(J=】12(-J，上式化为2 2 *-q()日 K1 |

16、11( ) | K 2 | 22 ( ) | K1 | K2 | - 12( 2 - 1) | K1 | K 2 | - 12( 2 - 1 - )(P5.12-1)根据假设，到达 Q点相干涉的两束光归一化的功率谱相同，则它们的复自相干度11 ( ) = 22 ()。K1 |2 -11(0)， I (2) =| K 2 |2 - 22 (0)I(2)1 ARe 12( 2 - 1)用:q（0）将（P5.12-1）式两边归一化，得到方程的左边Q（） * Yi（l） + Y2（E +2 S） + Y2（ E +场一J） I因此有右边二2 - -M） ARe 冰2一 1）11 AReY2（ 2 -

17、1）15.13 证明教材中（5-159）式。证明：9 ?匚？及0，二？均有小量。12 C。）= Y2（0）0丿=乂2（0） e W2八12 （ 0 ： -） = 12（ 0）exp（-j2 ：、_ ）5.14如图p5-18所示，一单色平面波垂直入射到紧靠着的两块散射板上，这两块散射板以 相同速度沿相反方向上运动。该散射板对的振幅透过率假设为t A 二 t1（x, y vt）t2（x, y vt）其中t1和12假设是由相互统计独立的两个系综取出的，从一个散射板的信息并不能得到另一个散射板的任何信息。如果两块散射板都具有高斯型的自相关函数i （ x,. ：y）二 exp 二 a（ ：x）2 （ :

18、y）2 匚试证明由这两块板透过的光是交叉谱纯的。图p5-14测量透过运动漫射体的光的互相干函数证明：不失一般性可假设垂直入射到散射板上的单色平面波频率为,振幅为1，即入射光场可写为ui（x, y,t） =exp（-j2 t）透过漫射板的光场则可以表示为u(x, y, t) =t|(x,y_vt)t2(x,y vt)exp( _j2二vt)其互相干函数可表示为-(R,P2, ) = u(Xi,yi,t .)u* (X2, y2,t)*L-vt -v )t2(x!, y( vt v)t| (x2, y2 -vt)t2(屜，y2 vt) exp(- j2=)由于ti与12相互统计独立，则F(P,FV

19、) = (ti(xi,yi vt vt)ti-vt)(ti(xi,yi +vt + w;)+vt)exp(j2砂)= r（P,P）Tt2（P,P2,y）exp（-j2 弭 vr）一般地讲，散射板都是空间平稳随机过程，具有各态历经性，因而上式中时间平均代之以统计自相关函数。进一步归一化后得到透过散射板后出射光的复互相干度YPRp） = y（R,P2,p） Y2（P,P2,E）exp（ -j2兀ve ）=exp ： a | (lx)2(ly v )2 I exp：-a |(lx)2 (二y - vt)2 丨；exp(- j2於)二exp：- 2a (. ：)()2 (iy)2 ?exp(_ j 2

20、二.-2av2 . 2)式中右端第一个因子仅与空间变量有关，后一部分却为时间差函数，令皿：x, ：y） = exp2a |（ ：x）2 （ ：y）2 /YS =exp（_j2兀仇 _2av2i2）因而复互相干系数可以分解为仅与时间差有关的复自相干系数和仅与空间坐标差有关的复 相干因子的乘积：YP,P2,e）= xQy） 丫这表明透过两块相对以同样速度运动的散射板的单色光场是交叉谱纯的。5.i5由非单色光衍射公式出发证明由li面传播到12面（参考图p5-i5）上的互相干函数r (Qi, q2,)可表示为r (QiQ,)八rr,b；CTg空込门碍c 2 二的2 二 cr2式中r（Qi,Q2,）为i

21、i面上的互相干函数。图p5-15互相干性传播的几何示意图k C) k (匕)ds,ds2(P5.15-1)证明：由(4-54)式，非单色光衍射公式为k (B ) dru Q,t)=u (R,t-丄)dSji =1,2V 2 兀 cri dtc根据定义，Q1与Q2两点光场的互相干函数为】(Q1,Q2, ) = u(Q1,t.)u*(Q2,t).1 uR,t2u*仏-空：dt (c 丿dt I c 丿(2 二 ca )(2 二 cr?)其中时间平均项可根据导数定义展开，再交换求平均与求极限运算顺序，计算如下:：.lim0(n fnu R,t +卫 +也可一|一u R,t + tIc丿I(lim.爲

22、一0cL ?2(P5.15-2) (A B 二 lin1 j0 . ： . 1. 2.：2 0式中A= u P1,t亠”亠养-u R,tIc.c*2 P?, : 2 IC丿根据互相干函数定义，时间平均中四项分别表示为P1, P2,2 -1cP1 ,t 亠亠 *1=一R , P2, 十巾_门+也刼j_ 1： u P|=_TP1 , P2 , T +2 -ri;,t “ 匕u* P2,t十血2丄I一从2 i!( U p,t+i_ iu*.|p2,t-殳代入（P5. 15-2）式，式中所表示的极限中进一步化简得CDlimlim. 2.2PR,22lim二0(r_r、 f其中2 -1C =1 R,P2

23、;e + +也一也卫2 |.R, P2P +D= r 1 P1,P2；EZU2 iF fP1,P2；T +代入（P5. 15-1）式得到Qi与Q2两点互相干函数:-(Qi,Q2, ) P,P2；CT 、-ri )k(d) k(日2)ds1ds22 二 cri 2 二 cr25.16试证明在准单色条件下互强度Ji2满足一对亥姆霍兹方程 2J12 (k)2J12 =0、2J12 (k)2J12 =0-2. 2- 2- 2 ： 2 2其中 k=2x/k 而疋=+厶+-V2 =+ 1 - 2 - 2 - 2， 2 - 2 - 2 - 2；x-i:y卡：x2: y2：z2证明：由(5-196 )式，互相

24、干函数满足一对如下的波动方程：1 - 12 ( J =cj.2-12()2. 1 2 - 12 ( ) = 2cr2j.2-12 ()在准单色光条件下，互相干函数可用互强度来表示见（5.3-30）式:】12( ) = J12 exo( _j2二.)代入上述波动方程有2 1 2 2（巧 J12） exp（j2兀讥）=p J 12（兀 v ）exp（j2兀讥） c2 1 2 2G 2J12） exp（-j2二.）2 J 12（一4二 2） exp（-j2二.）消去两边指数函数并整理便得、2J12(k)2 J12 =0、2J12(k)2 J12 =0式中-2二厂 kc5.17在图p5-17所示的杨氏

25、双缝干涉实验中,采用缝宽为a的准单色缝光源，辐射光强均匀分布为1，中心波长为，=600nm，（1）写出Q1和Q2点的复相干因子。（2）若a =0.1mm, z=1m，d=3mm,求观察屏上杨氏条纹的可见度。（3） 若z和d仍取上述值，要求观察屏上的可见度为0.41，缝光源的宽度a应为多少?解答:因此-C：x)=CO 化0rect 防屮即“sine锂 k hz丿0 化 0rect ; d所以Qi、Q2两点的复相干因子为(d) =sinc(2)在观察屏上观察到的干涉条纹的可见度由Qi、Q2两点的复相干因子的模决定,V =P(d)=由已知数据算出二ad z -2V =- : 0.64ji(3)若要求

26、查表可知即V = (d)=sin 二 adIXz丿adn z= 0.41ad 2 二 za 二-1.3mm3d叫2 = lim 12 a a(1 - cos2 二 f0 )d / 25.18在上题所示的杨氏双缝干涉实验中，用一个很大的均匀发光光源与一个空间频率为 的正弦光栅相迭加来代替光源，正弦光栅的强度透过率为1T( )(1 cos2二 f。)为了获得高的可见度，f0与两缝间距d应满足什么条件。解答：由于光源和正弦光栅很大，可近似视为无穷，先假设光栅宽度为2a，然后让a：求极限，由范西特一泽尼克定理可得双缝上的复相干因子为z2dsinsin4兀d r(d r )04f0zUz 。丿0a泄金2兀fo-I0(1 cos2二 f0 )exp I jdJim sin 三 daa 2： da zsin2二芒z f0 asin2二 2 十Z-f0 ad .f df。a4 1f。a z1扎z.o (dJsin2兀亍-f0 a zy=lim a :由此式可见，只有当(d. z-f0) =0时,即d = zfo时，上式的极限值(即最大值)为12 ,也就是说对于一个很大的非相干光源,在其上叠加一个正弦光栅，它的空间频率f0与双缝间距d满足关系d二 zfo，也可以得到较大的干涉条纹可见度。5.19.将太阳看作是一个非相干的亮度均匀的圆盘，在地球上的一个观察屏 v垂直于00,