19.4综合与实践--多边形镶嵌课件沪科版[行稳教育]

1、 19.4 综合与实践综合与实践 多边形的镶嵌多边形的镶嵌 1基本课堂 好漂亮的地板好漂亮的地板! !这是怎么铺这是怎么铺 设的设的? ?一点空隙也没有一点空隙也没有. . 课题学习课题学习 镶嵌镶嵌 用一些不重叠摆放的多边形把平面的用一些不重叠摆放的多边形把平面的 一部分完全覆盖，这叫做一部分完全覆盖，这叫做平面镶嵌平面镶嵌。 镶嵌也叫镶嵌也叫密铺密铺。 注意：注意：各种图形拼接后要既各种图形拼接后要既无缝隙无缝隙， 又又不重叠不重叠 定义：定义： 仅用仅用一种一种正多边形镶嵌，哪几种正多正多边形镶嵌，哪几种正多 边形能镶嵌成一个平面区域？边形能镶嵌成一个平面区域？ 探究探究 （一）（一）

2、( (一）正三角形的平面镶嵌一）正三角形的平面镶嵌 60 60 60 60 60 60 6 6个正三角形可以镶嵌个正三角形可以镶嵌 （二）正方形的平面镶嵌（二）正方形的平面镶嵌 90 4 4个正方形可以镶嵌个正方形可以镶嵌 （三）正六边形的平面镶嵌（三）正六边形的平面镶嵌 120 120 120 3 3个正六边形个正六边形可以镶嵌可以镶嵌 1 2 3 1+2+3=?1+2+3=? （四）用边长相同的（四）用边长相同的正五边形正五边形能否镶嵌？能否镶嵌？ 思考：思考： 为什么边长相等的为什么边长相等的正五边形正五边形不能不能 镶嵌，而边长相等的镶嵌，而边长相等的正六边形正六边形能能 镶嵌？镶嵌？

3、 要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌 一个平面区域，需使得一个平面区域，需使得拼接点拼接点处处的的 所有内角之和等于所有内角之和等于360 还有还有其它其它正多边形能镶嵌吗？正多边形能镶嵌吗？ 还能找到能镶嵌的其他正多边形吗？还能找到能镶嵌的其他正多边形吗？ 。 k (n-2)180 n = 360 。 (n-2)(k-2)=4 k=6 n=3 k=4 n=4 k=3 n=6 设在一个顶点周围有设在一个顶点周围有 k k 个正个正 n n 边形的角，则有边形的角，则有 k 为正整数，为正整数， n 为大于等于为大于等于 3 的正整数的正整数 解为解为 正多边形可以镶嵌

4、的条件：正多边形可以镶嵌的条件： 每个内角都能被每个内角都能被360360o o 整除。整除。 用用两种两种正多边形镶嵌，哪些能镶嵌正多边形镶嵌，哪些能镶嵌 成一个平面区域成一个平面区域? ? 探究（二）探究（二） （一）正三角形与正方形（一）正三角形与正方形 2 m+3 n=12 m=3 n=2 m60 +n90 =360 设在一个顶点周围有设在一个顶点周围有 m m 个正三角形的角个正三角形的角,n ,n 个正方形的角，则有个正方形的角，则有 m,n 为正整数为正整数 解为解为 3 3个个正三角形正三角形+2+2个个正方形正方形 （二）正三角形与正六边形 m+2n=6 m=2m=2 n=2

5、n=2 m=4 n=1 m60 +n120 =360 设在一个顶点周围有设在一个顶点周围有 m m 个正三角形的角个正三角形的角,n ,n 个正六个正六 边形的角，则有边形的角，则有 m,n 为正整数为正整数 解为解为 2 2个个正三角形正三角形+2+2个个正六边形正六边形 4 4个个正三角形正三角形+1+1个个正六边形正六边形 1 1个个正方形正方形+2+2个个正八边形正八边形 （三）正方形与正八边形 2 2个个正五边形正五边形+1+1个个正十边形正十边形 （四）正五边形与正十边形 （五）正三角形与正十二边形 1 1个个正三角形正三角形+2+2个个正十二边形正十二边形 收获收获 当拼接点处的

6、当拼接点处的所有角之和所有角之和是是360360 时，时， 就能拼成一个平面图形。就能拼成一个平面图形。 思考：思考： 能否用三种正多边形，如用能否用三种正多边形，如用正三角形，正三角形， 正方形，正六边形正方形，正六边形（边长相同）（边长相同）能铺能铺 满地面？满地面？ 1 1个个正三角形正三角形+2+2个个正方形正方形+1+1个个正六边形正六边形 探究（三）探究（三） 仅用同一种形状、大小完全相同的仅用同一种形状、大小完全相同的 多边形能进行平面镶嵌吗？多边形能进行平面镶嵌吗？ 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2

7、3 1 （一）同一种任意三角形的镶嵌（一）同一种任意三角形的镶嵌 结论：结论：形状、大小完全相同的任意三角形能镶嵌成形状、大小完全相同的任意三角形能镶嵌成 平面图形。平面图形。 通过探究我发现：通过探究我发现： 1.1.任意形状、大小相同的三角形都任意形状、大小相同的三角形都_镶嵌镶嵌, , 2.2.在每个拼接点处有在每个拼接点处有_个角，而这个角，而这_个角个角 的和恰好是这个三角形的内角和的的和恰好是这个三角形的内角和的_倍，倍， 也就是它们的和为也就是它们的和为_._. 可以可以 六六六六 两两 360o 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2

8、 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 （二）同一种任意四角形的镶嵌（二）同一种任意四角形的镶嵌 结论：结论：形状、大小相同的任意四边形能镶嵌成平面图形。形状、大小相同的任意四边形能镶嵌成平面图形。 通过探究我发现：通过探究我发现： 1.1.任意形状大小相同的四边形任意形状大小相同的四边形_镶嵌镶嵌. . 2.2.在每个拼接点处有在每个拼接点处有_个角，而这个角，而这_个个 角的和恰好是这个四边形的四个内角之角的和恰好是这个四边形的四个内角之 _,_,也就是它们的和为也就是它们的和为_. _. 可以可以 四四四四 和和 36

9、0360 上面我们讨论的一般上面我们讨论的一般三角形和四三角形和四 边形边形都可以平面镶嵌，因为三角都可以平面镶嵌，因为三角 形的内角和是形的内角和是180，四边形内，四边形内 角和是角和是360它们的内角和是整它们的内角和是整 数倍都是数倍都是360，那么其它的一，那么其它的一 般多边形能进行镶嵌吗？般多边形能进行镶嵌吗？ 例如：例如：在在五边形中，五边形中，内角和内角和540，已，已 经超过经超过360，即每一个内角拼接在一，即每一个内角拼接在一 起时有重叠部分，不符合平面镶嵌的起时有重叠部分，不符合平面镶嵌的 含义。当边数越大时，内角和也越大，含义。当边数越大时，内角和也越大， 更不符合要求，因此边数大于更不符合要求，因此边数大于4的一般的一般 多边形不可以平面镶嵌。多边形不可以平面镶嵌。 结论：结论： 1.1.要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面区域，要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面区域， 需使得需使得拼接点处拼接点处的所有角之和等于的所有角之和等于360360。 2.2.任意形状但全等的三角形都可以进行镶嵌任意形状但全等的三角形都可以进行镶嵌 3.3.任意形状但全等的四边形也都可以进行镶嵌任意形状但全等的四边形也都可以进行镶嵌 4.4.