【WORD格式论文原稿】基于最小二乘法及多项式拟合的气温变化预测

1、免费查阅标准与论文：基于最小二乘法及多项式拟合的气温变化预测曹绪，张倩，刘红星 辽宁工程技术大学理学院，辽宁阜新 （123000） e-mail：zh an gqianf x8751摘 要：近几十年来，由于人口急剧增加，工业迅猛发展，温室效应日益加剧。气温的异常 变化给人们生产、生活带来了严重的影响。因此，掌握气温变化规律对帮助人们开展各项生 产活动有着重大意义。本文通过利用最小二乘法及多项式拟合的方法，利用 matlab 软件 ， 计算出一天气温变化规律的计算公式，并分别利用多项式拟合理论及所给数据可以求出不同 时段的气温变化预测函数及拟合图。关键词：最小二乘法；多项式拟合；matlab；气

2、温变化预测中图分类号：o0241. 引 言自工业革命以来，伴随着人口的迅猛增加，国家经济的快速发展，人类向大气中排入的 二氧化碳等吸热性强的温室气体逐年增加，大气的温室效应也随之增强，已引起全球气候变 化等一系列严重问题，得到了全世界各国的关注。其中，气温变化现象明显。由于整个大气 系统调节失去平衡，导致气温忽高忽低，气压连续上升或是连续下降，空气干燥，人们的生 产劳动受到一定影响。尤其是昼夜温差加大，生物生长周期发生变化。因此，掌握气温的变 化情况是人们发展生产，组织活动的重要条件。在现实的物理研究过程中，有一些问题很难由经典物理理论推导出物理量的函数表达 式，或者此推导出的表达式也十分复杂

3、，不利于进一步的分析。但由于研究需要，又很希望 能得到这些量之间的函数关系，这时就可以利用曲线拟合的方法，用实验数据结合数学方法 得到物理量之间的近似函数表达式。用matlab 处理实验数据仅需编写十几行几乎像通常笔 算式的简练程序，运行后就可得到所需要的结果。应用它进行数值计算变成了一种简单、直观的可视化操作过程，且能较准确地标记实验数据点和绘出拟合曲线4。2. 最小二乘法与多项式拟合模型2.1 最小二乘法应用最小二乘法原理可以求得各时间段和气温之间的函数关系。最小二乘法概念及原理 如下：设给定一组数据 ( xi , yi ) = ( xi , f ( xi ), i = 0,1, , m

4、及个点的权系数 ( xi ) （可信程度），要求在函数 = span 0 ,1 , ,n 中函数0 0 1 1nn n k ks* ( x) = a* ( x) + a* ( x) + + a* ( x) =k = 0a* ( x)m n（1）满足2( )(* ( )2min( )( ( )2（2）mm2 = xii= 0s x yi= s i= 0x s xi yin式中 s( x) = akk ( x) 为 中的任意函数。称这种函数近似表达式的方法为数据的最小二k =0乘拟合，称 s* ( x) 为最小二乘解。在指定的函数类 中求拟合已知数据的最小二乘解的关键在于求系数k2a* (k =

5、0,1,l, n), 使得 s* ( x) 满足式（2）。令2mmnf (a0 , a1,l, a n ) =i =0 (xi )(s(xi ) y i ) =i =0 (x i )(aj =0j j (x i ) y i )（3）则 (a*, a*,l, a * ) 是多元函数 f (a , a ,l, a ) 取得极小值的点。0 1 n0 1 n由极值点的必要充分条件，则数据的最小二乘问题转化成求方程组n ( j , k )ai = ( f , k )j= 0k = 0 ,1, , n（4）即求解线性方程组(0 ,0 ) (0 ,1 )l (0 ,n ) a0 ( f ,0 ) ( ,)

6、( , ) l ( ,) a ( f , ) 1 0 1 1 1n 1 = 1 （5） mmm m m (n , 0 ) (n , 1 )l (n ,n ) an ( f ,n )式中mm( j ,k ) = (x) j (xi )k (xi ), ( f ,k ) = (xi )yik (xi )（6）i =0i =0称（4）或（5）为法方程组，当0 ,1 ,l,n 线性无关时，方程组（4）（或（5）有唯一解 a = a* ,k = 0,1,l, n.于是有kks* ( x) 为所求的最小二乘拟合函数5。s* ( x) =nk =0*akk ( x)2.2 多项式拟合对于给定的一组数据 (

7、xi, yi ) (0,1, 2) ，求作 n 次多项式 ( n m)pn (x) = a0 + a1x + + a xnnk= ak x nk =0使其满足nf =( p ( x2) y ) =m n2a xk y = mini= 0nji i= 0 k = 0k ii 即将拟合函数取为多项式，这样的曲线拟合问题又叫多项式拟合问题2。3. 问题求解3.1 原始数据假设某天的气温变化记录如下表：表1 气温变化记录表时间 t01234567温度 x(t)1514141414151618时间 t89101112131415温度 x(t)2022232528313231时间 t16171819202

8、12223温度 x(t)29272524222018173.2 利用最小二乘法求解气温变化率的精确解析式（1）建立 m 文件：functionyhat = myfun(beta, x)b1 = beta(1); b2 = beta(2); b3= beta(3);yhat = b1*exp(-b2*(x-b3).2);（2）利用函数求解参数nlintool(x, y, myfun, 0.1,0.1,0.1)beta =27.93600.005814.1460于是得到所求函数为： x(t) = 27.9360e0.0058( t14.1460) 2，此函数即为气温变化率的精确解析式。3.3 多项

9、式拟合图 1 最小二乘法温度变化图用精确的解析式子描述一天的气温变化规律是不可能的也是没有必要的，但根据所测得 的数据，可以用拟合数据方法求出近似的解析式子。根据一天内气温的变化趋势，我们可以 用多项式拟合的方法来描述。（1）建立拟合函数的m文件 function p=nafit(x,y,m) a=zeros(m+1,m+1);for i=0:mfor j=0:ma(i+1,j+1)=sum(x.(i+ j);endend b(i+1)=sum(x.i.*y);a=ab;p=fliplr(a);（2）利用拟合函数画出拟合曲线x=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1

10、4 15 16 17 18 19 20 21 22 23;y=15 14 14 14 14 15 16 18 20 22 23 25 28 31 32 31 29 27 25 24 2220 18 17 plot(x,y,o); grid onhold onp=nafit(x,y,3) x1=0:0.01:24; y1=polyval(p,x1); plot(x1,y1,r)图2 三次拟合温度变化图图2的图形可以大致反映该天的天气变化，如果想知道某一时刻的大致温度，我们可以 从图中估计出来，当然也可以利用我们所做数据拟合的曲线方程求出大致的温度。在上面的 程序中，运行后会得到p 的值，即为多项

11、式的系数，由高次向低排列4。如果想了解18点的大致温度，我们可以利用polyval函数，它是求多项式在某一点处的函 数值，其格式为x(t)=polyval(p,x) 式中，p是多项式的系数，x(t)是拟合多项式在点x 处的值。 在本例题中求得p= -0.0102，0.2602 ，-0.6101，13.9305, 即拟合的曲线方程为：x(t) * = 0.0102t3 + 0.2602t 2 0.6101t + 13.9305所以在18点的温度为：x(18) = 0.0102 183 + 0.2602 182 0.6101 18 + 13.9305 = 27.7674. 总结本文运用最小二乘法，

12、根据已有的数据，利用matlab软件计算出气温变化的预测公 式，然后再根据多项式拟合的方法，利用matlab软件绘制出了三次拟合图像，并求出了 曲线方程，由此可以求出各个时间段的大致气温。通过这种方法，可以很好的对气温的变化 做出预测，给生产生活提供一定的参考。同时，本方法还可以应用到类似模型的其他很多问 题中，对简化问题的求解给出一定的参考。参考文献1杨启帆，方道元数学建模m,浙江：浙江大学出版社，1999:6970. 2陆诚煜我国私人汽车保有量的分析及预测d,南京：南京财经大学本科，2007. 3薛毅. 数值分析与实验m.北京：北京工业大学出版社,2005. 4姜健飞，胡良剑，唐俭.数值分

13、析及其matlab 实验m.北京：科学出版社,2004 5王可等.基于matlab实现最小二乘曲线拟合j.北京广播学院学报，2005,12(2):5256.polynom ial fitting based on least-sq uares method and thetemperat ure change pro jectionscao xu，zha ng qian，liu hongxingdepartment of basic science, liaoning technical un iversity, fuxin 123000abstractin recent decades, d

14、ue to rapid population increas e, rapid industrial development, the greenhouse effect is increas ing. abnorma l changes in air temperature to the people to produce, life has brought a serious impact. thus, taking advantage of the temperature variation of helping people carry out various production activities have great s ignificance. in this paper, the use of leas t square method and polynomia l fitting method, us ing matlab software to calculate the day of the temperature variation of the formu la, and use, res pectively, an