28.长方体的模型功能之底面为菱形的四棱锥

1、中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明长方体的模型功能之底面为菱形的四棱锥模型解题法之七 因为矩形四边中点连线构成菱形,所以,底面为菱形的四棱锥是长方体的子体,长方体模型可衬托该子体的结构特征;以菱形为底面的四棱锥是高考试题的又一重要载体.母题结构:已知在如图所示的长方体中,a、b、c、d、a1、b1、c1、d1均为长方体所在棱的中点,试在以菱形abcd为底面的四棱锥a1-abcd、b1-abcd和p-abcd中,分析其中的垂直关系;母题解析:在四棱锥a1-abcd中,直线ac、bd、aa1两两垂直;直线bd平面a1ac;平面a

2、1bd平面a1ac;在四棱锥b1-abcd中,直线ac、bd、bb1两两垂直;直线ac平面b1bd;平面a1ac平面b1bd;在四棱锥p-abcd中,直线ac、bd、po两两垂直;平面pac、pbd、abcd两两垂直. 1.放置方法 子题类型:(2013年安徽高考试题)如图,四棱锥p-abcd的底面abcd是边长为2的菱形,bad=600.已知pb=pd=2,pa=.()证明:pcbd;()若e为pa的中点,求三棱锥p-bce的体积.解析:()把四棱锥p-abcd放置到长方体中,如图,设ac与bd交于点o,则oa=oc=,ob=od=1,bdac,由pb=pdbdopbd平面pacbdpcpc

3、bd;()由e为pa的中点三棱锥p-bce的体积=三棱锥b-ace的体积三棱锥p-bce的体积=vp-abcd;由pb=pd=2po=,又pa=ao2+po2=pa2poaopo平面abcd四棱锥p-abcd体积=2三棱锥p-bce的体积=.点评:对以菱形为底面的四棱锥,先把底面菱形放置于长方体的下底面上,然后在长方体的上底面内确定顶点的位置. 2.模型功能 子题类型:(2008年安徽高考试题)如图,在四棱锥o-abcd中,底面abcd四边长为1的菱形,abc=,oa底面abcd,oa=2,m为oa的中点.()求异面直线ab与md所成角的大小;()求点b到平面ocd的距离.解析:()把四棱锥o

4、-abcd放置到长方体中,如图,由abcdmdc为异面直线ab与md所成的角(或其补角);由oa底面abcdoaac,oaad;又oa=2,m为oa的中点am=1md=;作ahcd于h,由abc=adc=ah=mh=sinmdh=mdc=直线ab与md所成角的大小=; ()由abcdab平面ocd点b到平面ocd的距离=点a到平面ocd的距离=点a到直线oh的距离d;由ohd=ahaod=2d=.点评:对以菱形为底面的四棱锥问题,首先把它放置于长方体中,充分发挥长方体的衬托功能,把握其结构,解决问题. 3.解题方法 子题类型:(2015年课标高考试题)如图,四边形abcd为菱形,g为ac与bd

5、的交点,be平面abcd.()证明:平面aec平面bed;()若abc=1200,aeec,三棱锥e-acd的体积为,求该三棱锥的侧面积.解析:()由be平面abcdbeacacbe;又在菱形abcd中,acbdac平面bed平面aec平面bed;()设菱形abcd的边长为a,由abc=1200ga=gc=a,gb=gd=a;由aeecge=ac=abe=a;由三棱锥e-acd的体积v=acgdbe=a3=a=2ace的面积=acge=3;由ad=2,ae=,ed=cde的面积=ade的面积=该三棱锥的侧面积=3+2.点评:对以菱形为底面的四棱锥问题,把它放置于长方体中分析求解,是解该载体问题

6、的基本方法. 4.子题系列:1.(2014年重庆高考试题)如图,四棱锥p-abcd中,底面是以o为中心的菱形,po底面abcd,ab=2,bad=,m为bc上一点,且bm=.()证明:bc平面pom; ()若mpap,求四棱锥p-abmo的体积.2.(2004年湖南高考试题)如图,在底面是菱形的四棱锥p-abcd中,abc=600,pa=ac=a,pb=pd=a,点e是pd的中点.()证明:pa平面abcd,pb平面eac;()求以ac为棱,eac与dac为面的二面角的正切值.3.(2013年重庆高考试题)如图,四棱锥p-abcd中,pa底面abcd,pa=2,bc=cd=2,acb=acd=

7、,()求证:bd平面pac;()若侧棱pc上的点f满足pf=7fc,求三棱锥p-bdf的体积.4.(2013年浙江高考试题)如图,在四棱锥p-abcd中,pa平面abcd,ab=bc=2,ad=cd=,pa=,abc=1200,g为线段pc上的点.()证明:bd平面apc;()若g为pc的中点,求dg与平面apc所成的角的正切值;()若g满足pc平面bgd,求的值. 5.子题详解:1.解:()由po底面abcdpobc;又由oc=,ocm=300,cm=bcombc平面pom;()由mpapap2+pm2=am2ao2+op2+op2+om2=am2po=四棱锥p-abmo的体积v=.2.解:()由paab,paadpa平面abcd;设ac与bd交于点p,则oepbpb平面eac;()分别取oa、ad的中点h、f,则ef=a,fh=atan=tanehf=.3.解:()由pa底面abcdpabd;又由bc=cd=2,acb=acd=bdacbd平面pac;()作fhac于h,则fh=pa=,sbcd=vf-bcd=,vp-bcd=2三棱锥p-b