极限计算方法总结

1、7极 线 的 运 算 法 则班级: 组名： 组员:高等数学是理工科院校最重要的基础课之一，极限是高等数学的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难， 而极限学的好坏直接关系到 高 等数学后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。一、极限定义、运算法则和一些结果1 定义：(各种类型的极限的严格定义参见高等数学函授教材，这里不一一叙述)。；0 ,当 |q|c1 时不存在,当|q徉1时说明：(1) 一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明，例如：lim = 0

2、 (a,b为常数且 a = 0) ； lim(3x - 1) = 5 ；nanx 2lim qnn r-.i(2)在后面求极限时，(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。2 极限运算法则定理1已知lim f(x) , lim g(x)都存在，极限值分别为A, B，则下面极限都存在,且有 (1) lim f (x) _ g(x) = A _ B(2) lim f (x) g(x)二 A B(3) lim丄凶二-,(此时需B- 0成立)g(x) B说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时,不能用。3 两个重要极限(1)lim Sx=

3、Qx=1(2)哩(宀广说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式,作者简介：靳一东，男，(1964),副教授。例如:sin 3x limx 0 3xxlim (1)3 二 e；等等。x ,X4 .等价无穷小定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。定理3当xt 0时，下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价，即有:X sin x tanx arcs in x arctanx In (1 x)ex - 1说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时(g(x)T 0),仍有上面的等价关系成立，例如：当x 0时，e -13x ； In(1 - X2)-

4、x 定理4如果函数 f (x), g(x), f,x), g(x)都是xx时的无穷小，且f (x)f1(X),g(x)g,x),则当lim唄存在时，lid也存在且等于x 凶 g1(x)x 凶f(x) liim，即 讪3=怖空1 X 凶 g1(x)X 凶 g(x) X x0 g1 (x)5洛比达法则定理5假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时，函数 f (x)和g(x)满足:(1) f (X)和g(x)的极限都是0或都是无穷大；(2) f (x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0；.f (X)(3) lim存在(或是无穷大)；g (x)则极限lim 丄也一定存在，且等于 lim f (

5、x)，即lim 丄凶 =lim f (x) g(x)g (X)g(x)g(x)说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件(1 )是否满足，即验证所求极限0 00是否为“丄”型或“一”型；条件(2) 一般都满足，而条件(3)则在求导完毕0后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。6连续性定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果X。是函数f (x)的定义去间内的一点,则有 lim f (x) = f (xo)。X xo7 极限存在准则定理7 (准则单调有界数列必有极限。

6、定理8 (准则已知Xn ,yn ,Zn为三个数列，且满足:(1)yn乞 Xn 乞 Zn , (n =1,2,3,)(2) limyn 二 a, lim Zn 二 an_则极限lim xn 一定存在，且极限值也是 a，即n_lim xn = a。n ：:、求极限方法举例1.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限例1 lim_2xj(、.3x 1)2 -223x-3解：原式=limlimJ1 (x_1)&3x+1 +2)xj (x_1)(j3x+1 +2)注：本题也可以用洛比达法则。例 2 lim . n( i n 2-7n -1)njn【(n + 2) - (n 1)分子分母同除以 解：原式

7、=nm_厂2一匚厂=上下同除以3n解：原式nim 2。(f)n 12.利用函数的连续性(定理 6)求极限1例 4 lim x2eXXT2解：因为12 x0 =2是函数f （x）二x ex的一个连续点,所以1原式=2 e_ = 4e 。3.利用两个重要极限求极限1 - cos x例 5 lim2JO 3x2 x2 x2sin2 si n -2 2 解：原式=lim 2 lim7 3xx 23x 12 0例7 lim戶)nn* _3n解：原式=lim (13)n 1n +1n+l= lim(1 鼻)乜市on 4. 利用定理2求极限2 . 1 sinx解：原式=0（定理2的结果）。5. 利用等价无穷

8、小代换（定理4）求极限xl n(1 3x)例 9arctan(x2)22解： x； O寸，ln(1 3x)3x , arctan(x )x ,原式= lim今=3 oT x2例 10 limxtx sin x e - ex -sin xsin x x _sin xsin x /e (e -1) e (x_si nx),x sin xx si n x解：原式=limlim1 oxtx si n x 7注：下面的解法是错误的原式=limXsin x(e -1)-(e -1)x -sin x-lim X sin X =1 o x 50 x - sin x10正如下面例题解法错误一样tan x-s i

9、nx lim 3X Qx3tan (x2 sin )例 11 limxt sin x解：；当x； 0时，x2 sin1是无穷小，.tan(x2sin1)与x2 sin丄等价，XXX所以,2 . 1x sinXX划xsinO。（最后一步用到定理6. 利用洛比达法则求极限说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。1 - cosx例 12 lim2(例 4)T 3X解：原式=limXsin x6x16。（最后一步用到了重要极限）例 13 limxT解: X cos一2x -1兀兀Xsin -22 =x s inx 例 14 l

10、im01 - cosx sin x 12x 0 3x解：原式=lim = xmi 6 = 6 （连续用洛比达法则，最后用重要极限）例 15 limx 0sin x-xcosx 2.x sin x解:原式sin x xcosx =limX;0x2xsin xcosx (cosx- xsin x) = limx )03x2=limx 03x2例 18 lim 丄-x 0 xIn(1x)x_；0 - x解：错误解法：原式= Iim-H0。 c x正确解法:原式二 lim ln(1 x) 一 xxln(1 x)二 lim ln(1 x) 一 xx )01二 lim 1 xx 02x-limx 02x(

11、1 x)应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例例19 lim匸込Xr 3x cosx解：易见：该极限是“ 0 ”型，但用洛比达法则后得到：lim 1 _2cosx，此极限0x护 3 sinx不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下:2sin x1 -原式= limxxcosx （分子、分母同时除以 x）亠 I wUo A31（利用定理1和定理2）37. 利用极限存在准则求极限例20已知x1 =2Xn i 二 2 Xn , (n =1,2, )，求 lim xn解：易证：数列Xn单调递增，且有界（0 Xn2）,由准则1极限lim Xn存在,设lim Xn = a。对已知的递推公式xn41 = J2 + xn两边求极限，得：a = a，解得：a = 2或a = -1 (不合题意，舍去)所以 lim xn = 2。nTo1 1 1例 21 lim ()Jn2 +1 Jn2 +2 In2 +n解:易见:因为lim , n = 1