数列求和常用的五种方法

1、1、2、3、4、5、数列求和常用的五种方法、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法n(at an)Sn等差数列求和公式:等比数列求和公式:Snk n(n 1)k 12na1印(1 qn)nk2k 1Sn1.n(n 1)d2a a.q1 q(q 1)(q 1)丄n(n 1)(2n6k3k 1已知log3 x解：由log 3 x2Snx x1)1尹n 1)log2 3log 2 31，求xx2x3的前n项和.log3 x log 3 2由等比数列求和公式得_x(1 xn)_2(1寺)2- = 11212n二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前 方法主要用

2、于求数列an bn的前 等差数列和等比数列.例2.求和：Sn项和公式时所用的方法，这种n项和，其中 an 、 bn 分别是23n 1 3x 5x 7xn 1(2n1)x解：由题可知，(2n 1)xn1的通项是等差数列2n - 1的通项与等比数列xn1的通项之积当 X 1时，Sn1 3 5IZ2n 11 2n 1 n2设xSn 1x3x25x3 7x4(2n1)xn（设制错位）一得（1x)S1 2x2x2342x 2xn 1n2x (2n1)x（错位相减）公式得：(1 X)Sn112x 1(2n1)xSnn 1(2n1)xn1)x (1 x)2(2n(1 x)例3.已知a 0,a1，数列an是首

3、项为a,公比也为a的等比数列,bn an lg a(nN)，求数列bn的前n项和Sn。解析:anSn aSnn .a ,bnn(a 2a2/23(a 2aan l 3a3 3a4Ig annanna)lg a1)lg a-得：（1a)S但 a2an n an1)|gaS alg aSn2(1 a)1 (1n na)an 。点评：设数列an的等比数列，数列bn是等差数列，则数列anbn的前n项和Sn求解，均可用错位相减法三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数 列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(ai an).11例4.函数f(x)对任意x

4、 R，都有f(x) f (1 x) 。( 1)求f (丄)和22f(1) f(2-1)nn的值；(2)数列 an 满足：an f(0) f($ f(-)f(-)f(1)，数n nn列an是等差数列吗？请给与证明。(3 ) bn, Sn 32 16 ,4an 1nTn b,2 b22bn2试比较Tn与Sn的大小。解: (1)令x 2,可得 f(1) 4,(2)anf(0)f (丄) nf(Z) nf(1)1n 2、anf(-)f(-)nn2anf(0)f(1)f)f(n 1)nnn 1an4(3)4 bn,Tn16(11 1.2 2n2316c32Snnf(6 f (口) f)f(1 -) 4n

5、nnn 2f(n1-)f(1)nf(3fQ) f(0)nnf(1) f(0)D1 1 1 12)16(1 -)n122 3(n 1) n四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列 适当拆开，可分为几个等差、 将其合并即可.例5.求数列的前n项和：等比或常见的数列，然后分别求和,解:组）求和）例6.Sn = 21, n 1a(丄a1,1a1(r 7)a7,3n 2，设 Sn （1 1）（a将其每一项拆开再重新组合得Sn (1-a当a= 1时,4)1)(1Sn(3n 1)n2_ (3n_ 23n 2)3n2)1)n（分组1n a11 a求数列n(n+1)(2n+1)的前

6、当a 1时，SnIZ(3n 1)n2n项和.(3n1)n2解：设 ak k(k i)(2k 1) 2knSnk(k 1)(2kk 13 3k2 kn31) _(2kk 123k k)将其每一项拆开再重新组合得nnk33k 1k 1nk2 kk 1（分组）_ 2(13 2n3) 3(1222n2) (1 2n) n2(n 1)2n(n1)(2 n 1)n(n1) n(n 1)2(n2).裂项法的实质 使之能消去一些项,五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合, 最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：(1)f(n 1) f(n)(2)sinlcos n cos(n 1)tan(n 1)tan n(3) a1 1n(n 1) n(4)an(2n)2(2n 1)(2 n 1)的）(5)_ 1 n(n1)( n 2)(n 1)(n(6)ann 2n(n 1)2(n1) n n(n 1)缶则S1 (n 1)2n例7.求数列 1.2 I 2 bln 、n 1的前n项和.解：设a（裂项）则