4.四面体的体积公式及其使用方法

1、中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明四面体的体积公式及其使用方法立体几何中的基本问题三 几何体的体积问题是立体几何所特有的问题,因任何多面体都可以分割成一些四面体,因此,四面体的体积是最根本的,也是高考的热点问题.母题结构:求四面体的体积公式和使用方法.母题解析:在解答题中,唯一可以使用的四面体abcd体积公式va-bcd=sbcdh(h是点a到平面bcd的距离),由此公式求四面体abcd的体积可分为:先证后算、换底方法和转换技巧等. 1.先证后算 子题类型:(2013年课标高考试题)如图,直三棱柱abc-a1b1c1中,d,

2、e分别是ab,bb1的中点.()证明:bc1平面a1cd;()设aa1=ac=cb=2,ab=2,求三棱锥c-a1de的体积.解析:()连结ac1交a1c于点f,则f为ac1中点,又d是ab中点,连结df,则bc1df,bc1平面a1cdbc1平面a1cd;()由ca=cbcdab;又由aa1平面abcaa1cdcd平面aa1b1bcd是三棱锥c-a1de的高;在abc中,由ac=cb=2,ab=2cd=;在矩形aa1b1b中,由d、e分别是ab、bb1的中点,aa1=2,ab=2a1de的面积s=三棱锥c-a1de的体积v=scd=1.点评:求四面体的体积,其中的两个基本量须精心计算求出,一

3、是高,二是底面面积.其中的关键是求高,作出高或寻找隐蔽于几何体中的高,先证明,后计算,是求四面体体积的基本特点. 2.换底方法 子题类型:(1996年全国高考试题)如图,在正三棱柱abc-a1b1c1中,ab=a,e,f分别是bb1,cc1上的点且be=a,cf=2a.()求证:面aef面acf;()求三棱锥a1-aef的体积.解析:()分别取ac、af的中点m、n,则bmacbm平面acf;由mncf,且mn=amnbe,且mn=beenbmen平面acf面aef面acf;()由三棱锥a1-aef的体积=三棱锥e-aa1f的体积=sbd=a2a=a3.点评:对四面体a-bcd,va-bcd=

4、vb-acd=vc-abd=vd-abc,因此,求四面体体积的关键是灵活确定底面,即巧妙换底,换底的原则是该底面三角形的面积及该底上的高易求. 3.转换技巧 子题类型:(2012年辽宁高考试题)如图,直三棱柱abc-,bac=900,ab=ac=,a=1,点m,n分别为b和的中点.()证明:mn平面ac;()求三棱锥-mnc的体积.解析:()取的中点p,由点m,n分别为b和的中点pn,pmb平面pmn平面acmn平面ac;()由三棱锥-mnc的体积=三棱锥n-mc的体积=三棱锥n-amc的体积;三棱锥b-n的体积=三棱锥c-n的体积=三棱锥-abc体积的一半=;由三棱柱abc-的体积=1三棱锥

5、-mnc的体积=(1-2-)=.点评:求四面体体积的转换包括两个技巧:一是利用转换求高:寻找或作出过顶点且与底面平行的直线,并着意于该直线与底面垂直平面的交点,易于作高,或利用比例转换求高;二是利用转换求底面面:利用平行扩展底面,从而拓展你的解题空间. 4.子题系列:1.(1983年全国高考试题)如图,已知一块直角三角形板abc的bc边在平面内,abc=600,acb=300,bc=24cm,a点在平面内的射影为n,an=9cm.求以a为顶点的三棱锥a-nbc的体积(结果可以保留根号).2.(1984年全国高考试题)如图,经过正三棱柱底面一边ab,作与底面成300角的平面,已知截面三角形abd

6、的面积为32cm2,求截得的三棱锥d-abc的体积.3.(2014年北京高考试题)如图,在三棱柱abc-a1b1c1中,侧棱垂直于底面,abbc,aa1=ac=2,bc=1,e、f分别为a1c1、bc的中点.()求证:平面abe平面b1bcc1;()求证:c1f平面abe;()求三棱锥e-abc的体积.4.(2015年北京高考试题)如图,在三棱锥v-abc中,平面vab平面abc,三角形vab为等边三角形,acbc,且ac=bc=,o,m分别为ab,ea的中点.()求证:vb平面moc;()求证:平面moc平面vab;()求三棱锥v-abc的体积.5.(2012年陕西高考试题)直三棱柱abc-

7、a1b1c1中,ab=aa1,cab=.()证明:cb1ba1;()已知ab=2,bc=,求三棱锥c1-aba1的体积.6.(2013年湖南高考试题)如图,在直棱柱abc-a1b1c1中,bac=900,ab=ac=,aa1=3,d是bc的中点,点e在棱bb1上运动.()证明:adc1e;()当异面直线ac,c1e所成的角为600时,求三棱锥c1-a1b1e的体积.7.(2012年广东高考试题)如图所示.在四棱锥p-abcd中.ab平面pad.abcd.pd=ad.e是pb的中点,f是dc上的点且df=ab,ph为pad边上的高.()证明:ph平面abcd;()若ph=1,ad=,fc=1,求

8、三棱锥e-bcf的体积;()证明:ef平面pab.8.(2013年四川高考试题)如图,在三棱柱abc-a1b1c1中,侧棱aa1底面abc,ab=ac=2aa1=2,bac=1200,d,d1分别是线段bc,b1c1的中点,p是线段ad上异于端点的点.()在平面abc内,试作出过点p与平面a1bc平行的直线l,说明理由,并证明直线l平面add1a1;()设()中的直线l交ac于点q,求三棱锥a1-qc1d的体积.9.(2013年福建高考试题)如图,在四棱锥p-abcd中,pd平面abcd,abdc,abad,bc=5,dc=3,ad=4,pad=600.()当正视方向与向量的方向相同时,画出四

9、棱锥p-abcd的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程);()若m为pa的中点,求证:dm平面pbc;()求三棱锥d-pbc的体积.10.(1997年全国高考试题)如图,在正方体abcd-a1b1c1d1中,e、f分别是bb1、cd的中点.()证明:add1f;()求ae与d1f所成的角;()证明:面aed面a1fd1;()设aa1=2,求三棱锥f-a1ed1的体积vf-.11.(2015年湖南高考试题)如图,直三棱柱abc-a1b1c1的底面是边长为2的正三角形,e,f分别是bc,cc1的中点.()证明:平面aef平面b1bcc1;()若直线a1c与平面a1abb1所成的角为450,求三棱锥

10、f-aec的体积.12.(2014年课标高考试题)如图,四棱锥p-abcd中,底面abcd为矩形,pa平面abcd,e为pd的中点.()证明:pb平面aec;()设二面角d-ae-c为600,ap=1,ad=,求三棱锥e-acd的体积.13.(2011年江西高考试题)()如图,对于任一给定的四面体a1a2a3a4,找出依次排列的四个相互平行的平面1,2,3,4,使得aii(i=1,2,3,4),且其中每相邻两个平面间的距离都相等;()给定依次排列的四个相互平行的平面1,2,3,4,其中每相邻两个平面间的距离为1,若一个正四面体a1a2a3a4的四个顶点满足:aii(i=1,2,3,4),求该正

11、四面体a1a2a3a4的体积. 5.子题详解:1.解:作nebc于e,由an平面anbcbc平面aenbcaeae=6ne=3a-nbc的体积=108.2.解:设正abc的边长为2a,作ceab于e,则ced=300,ce=ade=2aabd的面积=2a2=32a=4三棱锥d-abc的体积v=.3.解:()由bb1底面abcbb1ab,又abbcab平面b1bcc1平面abe平面b1bcc1;()取ab的中点d,则dfec1,且df=ec1c1fedc1f平面abe;()三棱锥e-abc的体积=.4.解:()由o,m分别为ab,ea的中点omvbvb平面moc;()由ac=bccoab,又平面

12、vab平面abcco平面vab平面moc平面vab;()由acbc,ac=bc=ab=2ov=三棱锥v-abc的体积=.5.解:()在直三棱柱abc-a1b1c1中,由ab=aa1四边形abb1a1是正方形ba1ab1;又caab,caaa1ca平面abb1a1caba1ba1平面ab1cba1cb1cb1ba1;()由ab=2,bc=ca=1三棱锥c1-aba1的体积=abaa1ac=.6.解:()由bb1平面abcbb1ad,又由ab=ac,d是bc的中点adbcad平面bb1c1cadc1e;()由aca1c1a1c1e=600,a1c1=ec1=2a1e=b1e=2三棱锥c1-a1b1

13、e的体积=.7.解:()由ab平面pad平面pad平面abcd,又phadph平面abcd;()由e是pb的中点e到平面abcd的距离h=ph=;又由ad=,fc=1sbcf=三棱锥e-bcf的体积v=;()取pa的中点g,则geabdf,de=ab=dfefdg;由pd=addgpa;由ab平面pad平面pab平面pad dg平面pabef平面pab.8.解:()在平面abc内,过点p作直线lbc,由于直线l不在平面a1bc内,而bc在平面a1bc内直线l平面a1bc平行;由ab=ac,d,d1分别是线段bc,b1c1的中点bcad,dd1bb1aa1dd1底面abcdd1bcbc平面add

14、1a1l平面add1a1;()由ab=ac=2aa1=2,bac=1200d到平面aa1c1c的距离h=,三棱锥a1-qc1d的体积=三棱锥d-a1qc1的体积=.9.解:()在梯形abcd中,ceab于e,四边形adce为矩形ae=cd=3;直角三角形bce中,bc=5,ce=ad=4be=3ab=6;在直角三角形pad中,pad=600,ad=4pd=4四棱锥p-abcd的正视图如图所示:()取pb得中点为n.则mn平行且等于ab,由cd平行且等于abmn和cd平行且相等mncd为平行四边形dmcndm平面pbc;()由三棱锥d-pbc的体积vd-pbc=vp-bcd=sbcdpd=8.1

15、0.解:()在正方体abcd-a1b1c1d1中,ad平面cdd1c1add1f;()取ab的中点g,则d1fa1g,且a1gaeae与d1f所成的角=900;()由aea1g,a1d1平面abb1a1a1d1a1ga1d1面aed面aed面a1fd1;()vf-=ve-=ve-=2=1.11.解:()由b1b平面abcb1bae,又e是bc的中点aebcae平面b1bcc1平面aef平面b1bcc1;()取b1c1的中点h,则a1haea1h平面b1bcc1a1ch=450ch=a1h=cc1=三棱锥f-aec的体积=.12.解:()设bd与ac交于点o,则o是bd的中点oepb,又pb平面aecpb平面aec;()延长ae至m连结dm,使得amdm,在四棱锥p-abcd中,底面abcd为矩形,pa平面abcdcd平面amdcmd是二面角d-ae-c的平面角=600;由ap=1,ad=aop=300,pd=2,dm=adsinmad=adsinpda=cd=dmtancmd=;由e为pd的中点三棱锥e-acd的体积v=adcdap=;13.解:()将四面体a1a2a3a4放置于平行六面体aa3ba4-a1ca2d中,且将线段a1