2011年重庆高考文科数学试题及答案详细解析（选择、填空、解答全解全析）

1、2011年普通高等学校招生全国统一考试重庆文科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。二.填空题，本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.2011年普通高等学校招生全国统一考试重庆文科数学全解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。.在等差数列中，, ,则 （）（） （）（）【解析】本题考查等差数列通项公式，是送分题.,=2，=18，故选d.设,，则=（）

2、0,2（） （）（）【解析】本题考查一元二次不等式解法和集合的补集运算，是容易题.由题知=|0或2，=0,2，故选a.3.曲线在点（1，2）处的切线方程为(a) (b) (c) (d)【解析】本题考查利用导数求函数的切线，是容易题.=,切线斜率为3，则过（1,2）的切线方程为，即，故选a.4.从一堆苹果中任取10只称得它的质量如下（单位：克）125 120 122 105 130 114 116 95 120 134则样本数据落在114.5,124.5）内的频率为(a)0.2(b)0.3 (c)0.4 (d)0.5【解析】本题考查统计数据分析与处理、频率的计算，是容易题.有数据知样本数据落在1

3、14.5,124.5）内的频数为4，样本数据落在114.5,124.5）内的频率为0.4,故选c.5. 已知向量=(1,) ,=(2,2) ,且与共线,那么的值为（a）1 （b）2 （c）3 （d）4【解析】本题考查向量共线的充要条件、向量数量积的计算，是简单题.=(3,), 与, ,解得=1，=4，故选d.6.设=,=,=,则,的大小关系是(a) (b) (c) (d) 【解析】本题考查对数函数的图像与性质，是简单题.与在（0，+）都是减函数，且01,01，=0，=0，又在（0，+）上是增函数，且01，=0，即最小，只有b符合，故选b.7.若函数=（2）在=处有最小值，则=（a） （b） （

4、c）3 （d）4【解析】本题考查利用均值不等式求最值，考查学生转化与化归能力、运运算求解能力，是中档题.2，=4，当且仅当即=3时，即=3，=4，故选c.8.若的内角满足=，则（a） （b） （c） （d）【解析】本题考查正余弦定理及其应用，是中档题.由=得，：=2:3:4，由正弦定理知，：=2:3:4，设=2，=3，=4，（0），则=，故选d.9.设双曲线的左准线与两条渐近线交于 两点，左焦点为在以才为之直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为（a） （b） （c） （d）【解析】本题考查双曲线的性质、点与圆的位置关系，考查学生转化与化归能力、解不等式能力，难度较大.双曲线的左准线为=，渐

5、近线方程为，联立解得（，），=，根据题意得，即，即，即，即，即，又1，1，故选b.10.高为的四棱锥的底面是边长为1的正方形，点、均在半径为1的同一球面上，则底面的中心与顶点之间的距离为（a） （b） （c） （d）【解析】本题考查四棱锥与其外接球的相关知识，考查空间想象能力、转化化归能力以及运算求解能力，是难题.如图，设四棱锥的外接球球心为，则面，在中，=1，,=，设四棱锥的高=，且=，取的中点，连结，则四边形为矩形，=，在中，=1，则=，=，在中，= ,故选a.二.填空题，本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上11. 的展开式中的系数是 .【解析】本题考查二项展

6、开式的通项公式及组合数公式，是容易题.是展开式的第5项，其系数为=240.【答案】24012.若=，且，则 【解析】本题考查同角三角函数基本关系，是简单题.=，且，=.【答案】13.过原点的直线与圆相交所得的弦长为2，则该直线的方程为 .【解析】本题考查圆截直线所得弦长计算以及直线方程,是容易题.圆化为标准方程为，知圆心为（1,2），半径为1，又相交弦长为2，直线过圆心，直线方程为.【答案】14.从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动，则所选3位中有甲但没有乙的概率为 【解析】本题考查组合计算和等可能事件的概率计算，是中档题.1 0位同学任选3人共有种选法,其中含甲不含乙共有种选法，故所

7、选3位中有甲但没有乙的概率为=.【答案】15.若实数，满足=,=，则的最大值是 .【解析】本题考查基本不等式的应用，指数、对数等相关知识，考查了转化与化归思想，是难题.=，4，又=，=，=4，即4，即0，=，的最大值为.【答案】三、解答是：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分13分，()小问7分，()小问6分.)设是公比为正数的等比数列，=2,=.()求的通项公式; ()设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和.【思路分析】本题考查等比数列的通项公式和等比数列、等差数列的前项和公式，考查函数与方程思想和运算求解能力，是简单题.()由解出等

8、比数列的公比，又，即得通项公式; ()数列为等比数列，为等差数列，他们的前n项和的和即为数列的前n项和。【解析】()设等比数列的公比为，由=2,=知，即，解得=2或=1（舍去），=2，的通项公式=（）；() =.17.(本小题满分13分，()小问6分，()小问7分.)某市公租房的房源位于a、b、c三个片区.设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的.求该市的4位申请人中:()没有人申请a片区房源的概率;()每个片区的房源都有人申请的概率.【思路分析】本题考查应用排列组合知识和两个计数原理求等可能事件的概率、独立重复试验，考查运用概率知识分析解决问题能力，是中档题

9、.（i）思路一：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是4个人中，每一个人有3种选择，共有34种结果，事件“没有人申请a片区房源”即“4个人中每一个申请人只申请中的一个片区的房源，共有种结果，利用古典概型概率公式即可；思路二：对每位申请房源作为一次试验，因为每人申请房源相互独立，因此4人申请房源可以看成4次独立重复试验，从而可以利用4次独立重复试验恰好发生0次的概率公式求解。()要使每个片区的房源都有人申请必然有两个人要申请同一个片区的房源，可以分两步完成，第一步从4人中选出2人看做一个整体，有中方法；第二步，相当于三个人选择三个片区的房源，有种。由（i）知总的实验结果共有34种，利用

10、古典概型概率公式即可得解。【解析】() (法1)设事件a表示“没有人申请a片区房源”所有可能的申请方式有种，其中没有人申请a片区房源方式有种，则没有人申请a片区房源的概率为=.（法2）设“申请a片区房源”为事件a，每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，=,对每位申请房源作为一次试验，应为每人申请房源相互独立，4人申请房源可以看成4次独立重复试验，故没人申请a片房源的概率为=；()记“每个片区的房源都有人申请”为事件b,所有可能的申请方式有种，其中每个片区的房源都有人申请的方式有种，每个片区的房源都有人申请的概率为=.18. (本小题满分13分，()小问7分，

11、()小问6分.)设函数=（）.()求的最小正周期;()若函数的图象按=（，）平移后得到函数的图象,求在0，上的最大值.【思路分析】本题考查诱导公式、两角和与差的正余弦公式、周期公式、向量平移、三角函数在某个区间上的最值求法和运算求解能力，是中档题. ()求三角函数的最小正周期必须将其化为一个角的三角函数的一次形式，观察的表达式可以考虑二倍角公式及逆用两角和的正弦公式进行化简，然后利用周期公式；()本题考查运用向量平移三角函数的图像，向量平移基本公式为y=f(x) 将图像按v=（a,b）平移后，所得函数解析式为y=f(x-a)+b，由此得到函数的解析式，再借助图像求解即可。【解析】() = =，

12、 的最小正周期为=.()依题意得= = 当0,时， 在0,的最大值为.19. (本小题满分12分，()小问5分，()小问7分.)设=的导数为,若函数=的图象关于直线=对称，且=0.()求实数,的值;()求函数的极值.【思路分析】本题考查考查利用导数求函数的极值、二次函数的图像与性质，考查方程与不等式思想、转化和化归思想，属容易题. ()函数的导函数为二次函数，其对称轴为，从而，再结合可求出a,b；()由得到函数的极值点，得到函数的单调递增区间，得到函数的单调递减区间，结合极值的定义就容易求解了。【解析】()=, 若函数=的图象关于直线=对称，且=0,=且，解得=3，=12. ()由()知=，=

13、，的变化如下：（，2）2（2,1）1（1，+）+00极大值21极小值6当=2时，取极大值，极大值为21，当=1时，取极小值，极小值为6.20.(本小题满分12分，()小问6分，()小问6分.如图，在四面体中，平面平面，=2，=1.()求四面体的体积;()求二面角的平面角的正切值.【思路分析】：本题考查简单几何体的体积计算、二面角的求法，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及转化与化归思想，是中档题.思路一：（i）要求四面体abcd的体积，必须确定它的高和底面，由已知，可将abc作为底面。由于平面平面，根据平面与平面垂直的性质定理，在平面中作ac的垂线df，即为四面体abcd的高，从而求

14、得四面体abcd的体积；() 由（i），利用三垂线定理作出二面角cabd的平面角，在直角三角形中求出正切值。思路二：以ac的o中点为坐标原点，oc为x轴建立空间直角坐标系，利用空间向量知识求解。 二面角是高考理科数学试题的高频知识点，二面角的求法主要有：定义法：分别向交线作垂线，求两线的夹角； 垂面法：找出交线的垂面，并作出垂面与半平面的交线，求夹角； 三垂线法：过某一半平面内一点向另一半平面和交线作垂线，作出射影角求解； 向量法：分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得；（注意该夹角并不是二面角，而是它的补角！） 射影面积法：二面角的余弦值等于某一个半平面在另一个半平面的射影的面积和该

15、平面自己本身的面积的比值。【解析】() 如图，过作于，平面平面，平面，则是四面体的面上的高，设中点为，=2，=,=, =,在中，=,=,四棱锥的体积=.()（几何法）过作与，连结，由()知面，由三垂线定理知，为二面角的平面角，在中，=,在中， , =,在中，=.21. (本小题满分12分，()小问4分，()小问8分.)如图，椭圆的中心为原点，离心率=,一条准线的方程是=.()求椭圆的标准方程;()设动点满足:=,其中,是椭圆上的点，直线与的斜率之积为.问:是否存在定点,使得与点到直线：=的距离之比为定值？若存在,求的坐标;若不存在,说明理由.【思路分析】：本题考查了椭圆标准方程的求解与椭圆的定值问题，考查学生综合运用知识解决问题能力、运算求解能力和探究问题能力，难度较大.（）根据离心率和准线方程求得a和c，则b可得，则椭圆的方程可得；() 设出p，m，n的坐标，根据题设等式建立等式，把m，n代入椭圆方程，整理求得x2+2y2=20+4（x1x2+2y1